苏科版初一上数学6.2角以及角的运用学案（含答案）

角
一、知识点总结
角的定义：
定义 1（静态的角）：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两边。
定义 2（动态的角）：
由一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针旋转到另一个位置所成的图形，初始位置所在的是它的始边，终止位置所在的是它的终边
角的计算
①角的单位：度、分、秒
度：周角 360 等分，1 份称为 1 度，记作 1°； 分：一度角 60 等分，1 份称为 1 分，记作 1′； 秒：一分 60 等分，1 份称为 1 秒，记作 1″
②单位换算：1°= 60′=3600″
③加减运算：同单位相加减，其中加法够 60 进 1，减法不够减的从上一位借 1
乘法运算：乘法从低到高，满 60 进 1
除法运算：除法从高到低，余数乘 60 到下一位
余角与补角
如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，即每一个角是另一个角的余角。类似地，如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角单位补角。
二、典型例题
例 1：角的换算
1. 32.48°×2 = ° ′ ″
2. 56°48′= °
3. 4.3° = ° ′．
4. 77°53′26″+ 43°22′16″= ° ′ ″
【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以 60 为进制．将度的小数部分化为分，将分的小数部分化为秒；1 度=60 分，即 1°=60′，1 分=60 秒，即 1′=60″解答．
【解答】解： 32.48°×2=64 度 57 分 36 秒；
56°48′=56.8°；
4.3°=4°18′；
77°53′26″+43°22′16″=121°15′42″
【点评】此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以 60 为进制即可．
例 2：找出有多少角
已知：O 为直线 AB 的一点，画出射线 OC（如图 1），则图中有 个角（除平角外）；在画出射线 OD（如图 2），则图中有 个角（除平角外）；
在画出射线 OE（如图 3），则图中有 个角（除平角外）；…；依此类推，图 10 中有 个角（除平角外）．
【分析】依据图形中角的个数的变换规律，即可得到结论．
【解答】解：如图 1，图中有 2 个角（除平角外），2=2；如图 2，图中有 5 个角（除平角外），5=2+3；
如图 3，图中有 9 个角（除平角外），9=2+3+4；
…；
依此类推，图 10 中的角有：2+3+4+5+…+11==65（个）；故答案为：2，5，9，65．
【点评】本题主要考查了角的概念，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
例 3：角的计算
在同一平面内，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，则∠DOC 的度数是 ．
【分析】先画出图形，再根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图所示：
如图 1，∠DOC=∠AOB﹣∠AOC+∠BOD=40°，
如图 2，∠DOC=∠BOD﹣（∠AOB﹣∠AOC）=20°， 如图 3，∠DOC=∠AOB+∠AOC+∠BOD=120°，
如图 4，∠DOC=∠AOB+∠AOC﹣∠BOD=60°． 故∠DOC 的度数是 40 或 20 或 120 或 60． 故答案为：40 或 20 或 120 或 60．
【点评】考查了角的计算，关键是熟练掌握角的和差关系，难点是正确画出图形，做到不重复不遗漏．
二、课后练习
角的换算：
98.42° = ° ′ ″
32°28′15″+15°23′48″= ° ′ ″
（1）如图 1，已知 O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC 内，∠COE=2∠BOE，∠DOE=70°，求∠COE 的度数．
（2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD 的度数；
③请通过计算说明 OE 是否平分∠BOC．
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以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP 的度数为 ．
三、练习答案
角的换算：
98.42°= 98°25′12″ ．
32°28′15″+15°23′48″= 47°52′3″ ．
【分析】进行度、分、秒转化运算，注意以 60 为进制；把度、分、秒分别相加，最后满 60
进 1 后即可得出答案．
【解答】解： 98.42°=98°25′12″．
32°28′15″+15°23′48″=47°52′3″．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意：1°=60′，1′=60″．
（1）如图 1，已知 O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC 内，∠COE=2∠BOE，∠DOE=70°，求∠COE 的度数．
（2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD 的度数；
③请通过计算说明 OE 是否平分∠BOC．
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【分析】（1）先设∠BOE=x，根据∠BOE=∠EOC，得出∠COE=2x，再根据角平分线的定义， 得出∠AOD=∠DOB=70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC=180°，列出方程 70°﹣ x+70°+2x=180°，求得 x 的值即可；
（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，得出∠AOD=25°，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOD 进行计算即可；③先根据∠AOC=50°，得出∠BOC=180°﹣
50°=130°，再根据∠DOE=90°，求得∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，进而得出∠ BOE=∠BOC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图 1，设∠BOE=x，
2756535104775∵∠BOE= ∠EOC，
∴∠COE=2x，
∵OD 平分∠AOB，
∴∠AOD=∠DOB=70°﹣x，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC=180°，
∴70°﹣x+70°+2x=180°，
解得 x=40°，
∴∠EOC=80°；
（2）①由图可得，图中有 9 个小于平角的角， 故答案为：9；
∴∠AOD=25°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；
③如图 2，∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°﹣50°=130°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
∴∠BOE= ∠BOC，
∴OE 平分∠BOC．
170624591440
【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP 的度数为 ．
【分析】分射线 OP 在∠AOB 的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：如图 1，当射线 OP 在∠AOB 的内部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，∵∠AOB=
∠AOP+∠BOP=5x=17°，
解得：x=3.4°， 则∠AOP=10.2°，
如图 2，当射线 OP 在∠AOB 的外部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，
∵∠AOP=∠AOB+∠BOP， 又∵∠AOB=17°，
∴3x=17°+2x， 解得：x=17°， 则∠AOP=51°．
792480643890故∠AOP 的度数为 10.2 或 51． 故答案为：10.2 或 51．
【点评】本题考查了角的计算，关键是分两种情况进行讨论．