附件2
全国中小学教师教育技术能力建设计划应用成果评比与展示活动优秀教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：余弦定理是解三角形的一个重要工具，学生在此之前已经学习了正弦定理，对于怎样解斜三角形有了一定了解，所以这一节课探求与发现余弦定理是主要内容。考虑到课时的安排，这节课是要在一课时内完成的，如果把学生的探究活动放在课堂上进行，不但学生没有充足的时间准备，对于教学任务来说也是比较紧张的，既费时又费力。因此，基于以上原因，决定把学生的探究活动以问题的形式放在课前进行。首先将学生分成不同的小组，分组基本是按照学生的意愿进行，但是考虑学生的能力因素，尽量做到公平分配。然后要求学生进行课前预习：（1）查阅有关解三角形的资料；（2）鼓励学生利用信息技术手段进行探究。在课上学生要将自己小组所发现的方法展示给全班同学，最后教师总结并提出更高的要求和探究课题。这样让学生的内在能量释放出来，让他们在课堂上‘活’起来，从原有的静听模式中走出来。使课堂教学充满活力，充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力，使他们学得主动，学得轻松，使其个性、特长自由发展，素质得到全面提高1．知识与技能：（1）掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2．过程与方法：（1）经历实验观察、实例探究讨论交流的过程，体验三角形的边角关系。（2）利用向量关系证明余弦定理。3．情感、态度与价值观：（1）注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则；（2）体验自主学习过程，养成乐于观察、勤于思考和合作交流的能力和学习习惯。（3）注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值。
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描述）：众所周知，数学学习在高中阶段对学生有更新更高的要求，在各方面对学生来说均是一个飞跃。其中相当一部分的飞跃需在高一阶段完成的。如从定性到定量的飞跃，从形象思维到抽象思维的飞跃，从单因素的简单逻辑思维到多因素的复杂逻辑思维的飞跃。因此高一阶段是学生学习道路上的一个重要时期，同时高一阶段也是学生心理发展上的一个关键时刻，所以在高一数学教学中乃至整个教学中保护培养与发展学生学习数学的兴趣和思维是至关重要的。所以本节课从向量法通过实探究的方法进行深化，最后得出余弦定理并应用于生活中。 从数学学科本身知识结构特点来看，高一阶段是苦练基本功，打好基础的重要年级，数学既要讲究思维，又要重视方法的一门学科，研究问题的方法具有多样性，从而增加了学习数学的困难，教师要足够地认识到这个问题，学生也惧怕心理，教师要帮助学生度过这心理难关。另外教师要教会学生能正确地评价自已，正确对待高中数学的成绩。帮助学生改进学习方法，尽快建立一套适合高中数学学习的方法。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：1、通过教材中向量式转化数量式，并通过分组合作的方法进行问题的探究。从而充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力；2、通过学生勾股定理，教会学生分析问题的科学方法；3、通过对比归纳出三角形的余弦定理；4、通过三种证法，可以培养学生的探索精神和创新精神；5、通过具体实例体现解三角形在测量学、运动学、力学等领域的应用体验数学的工具性6、让学生学会应用所学的知识解决生活中的一些实际问题（比如估算某一楼房的高度、河的宽度），让学生体验数学来源生活，走进生活。
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：生活中的实例、多媒体课件和视频、教材中的图片情景
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：1、组员自评2、小组互评3、教师评价《余弦定理》 教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）1、背景说明： 三角形是最基本的几何图形。三角形中数量关系在天文、地理、航海等领域中有着极其广泛的应用，我们将在以前的学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用他们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、课题的意义：课题是在学习了三角函数与平面向量的基础上，对任意三角形的边长和角度关系所作的探索和研究，是知识的迁移和应用部分，因此本节是本章的一个比较重要的、典型的应用型知识点。表现其一：教材先引导学生回顾用向量的数量积证明正弦定理的方法，然后提出，还有其他方法将向量等式数量化吗？从而，得出余弦定理，体现了向量方法在解三角形中作用，让学生进一步感受数学的和谐美，也有助于培养学生的探究能力．其二，这是一个与日常生活密切的问题，能激发学生的学习兴趣和体会数学的生活化。3、课题介绍：课题选自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修5）第一章《解三角形》第一节《余弦定理》。
问题设计 1、正弦定理是怎样由向量等式转化为数量关系的？2、你还有其他途径将向量式数量化吗？3、余弦定理与勾股定理是怎样的关系？4、除了用向量法，你还有那些方法来证明余弦定理？5、余弦定理能解决哪些斜三角形的问题？
教学构想：余弦定理是解三角形的一个重要工具，学生在此之前已经学习了正弦定理，对于怎样解斜三角形有了一定了解，所以这一节课探求与发现余弦定理是主要内容。考虑到课时的安排，这节课是要在一课时内完成的，如果把学生的探究活动放在课堂上进行，不但学生没有充足的时间准备，对于教学任务来说也是比较紧张的，既费时又费力。因此，基于以上原因，决定把学生的探究活动以问题的形式放在课前进行。首先将学生分成不同的小组，分组基本是按照学生的意愿进行，但是考虑学生的能力因素，尽量做到公平分配。然后要求学生进行课前预习：（1）查阅有关解三角形的资料；（2）鼓励学生利用信息技术手段进行探究。在课上学生要将自己小组所发现的方法展示给全班同学，最后教师总结并提出更高的要求和探究课题。这样让学生的内在能量释放出来，让他们在课堂上‘活’起来，从原有的静听模式中走出来。使课堂教学充满活力，充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力，使他们学得主动，学得轻松，使其个性、特长自由发展，素质得到全面提高。整节课的教学设计流程如图：教学目标:1．知识与技能：（1）掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2．过程与方法：（1）经历实验观察、实例探究讨论交流的过程，体验三角形的边角关系。（2）利用向量关系证明余弦定理。3．情感、态度与价值观：（1）注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则；（2）体验自主学习过程，养成乐于观察、勤于思考和合作交流的能力和学习习惯。（3）注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值。
教学重点： 掌握余弦定理证明
教学难点： 探究余弦定理证明过程
教学方法： 实验探究法活动教学法合作学习法
所需设备： 电脑多媒体辅助设备
教师活动 学生活动 设计意图
新课引入：设置5个问题，让学生课前分组讨论、思考。 学生根据个人兴趣进行分组，并且交流和探讨选择的问题 充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力。
授课过程：1、用向量法证明勾股定理2、用向量法证明余弦定理3、师生合作探究：（1）坐标法（2）三角法4、教师总结归纳：（1）余弦定理证明的三种方法；（2）余弦定理解决三角形的类型。 学生了解：向量法学生理解：（1）勾股定理与余弦定理的关系（2）由特殊到一般学生感悟：解决问题的多途径 （1）运动对比法，使学生认识到解决问题的多样性。（2）进一步认识解决问题的多途径。（3）通过学生活动和查阅资料，自行证明余弦定理。（4）激发学生的学习数学的兴趣
5、运用余弦定理 学生动手：借助计算器解决量大的问题 让学生自己参与，既活跃了课堂气氛，又让学生加深了印象，可以让学生在玩的过程中学到了知识，这样会收到很好的效果。
课堂小结： （1）余弦定理的内容（2）余弦定理证明的三种方法；（3）余弦定理解决三角形的类型。 让学生明白本节课的主要内容。
课外延伸：学会应用余弦定理处理生活中的一些问题（估测建筑物的高度、河的宽度等） 让学生体验数学来源生活，走进生活，为生活服务。(共12张PPT)
余弦定理
余 弦 定 理
1、向量的数量积：
2、勾股定理：
A
a
B
C
b
c
证明：
余 弦 定 理
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,
CA=b,求AB边c.
A
B
C
a
b
c
解：
余 弦 定 理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
A
B
C
a
b
c
余 弦 定 理
证明：以CB所在的直线为X轴，
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
余 弦 定 理
b
A
a
c
C
B
证明：以CB所在的直线为X轴，
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
余 弦 定 理
A
B
C
a
b
c
D
当角C为锐角时
证明：过A作AD CB交CB于D
在Rt 中
在 中
余 弦 定 理
当角C为钝角时
证明：过A作AD CB交BC的延长线于D
在Rt 中
在 中
b
A
a
c
C
B
D
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600
=49
定理的应用
解：
a=7
变式练习：
1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形的形状.
余 弦 定 理
课堂小结：
1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。《余弦定理》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
围绕本章的教学目标，本小节要注重数学知识的应用性，体现学以致用，让学生自主体验数学在解决问题中的作用，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识；注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值。
余弦定理是解三角形的一个重要工具，学生在此之前已经学习了正弦定理，对于怎样解斜三角形有了一定了解，所以这一节课探求与发现余弦定理是主要内容。考虑到课时的安排，这节课是要在一课时内完成的，如果把学生的探究活动放在课堂上进行，不但学生没有充足的时间准备，对于教学任务来说也是比较紧张的，既费时又费力。因此，基于以上原因，决定把学生的探究活动以问题的形式放在课前进行。首先将学生分成不同的小组，分组基本是按照学生的意愿进行，但是考虑学生的能力因素，尽量做到公平分配。然后要求学生进行课前预习：
（1）查阅有关解三角形的资料；
（2）鼓励学生利用信息技术手段进行探究。
在课上学生要将自己小组所发现的方法展示给全班同学，最后教师总结并提出更高的要求和探究课题。这样让学生的内在能量释放出来，让他们在课堂上‘活’起来，从原有的静听模式中走出来。使课堂教学充满活力，充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力，使他们学得主动，学得轻松，使其个性、特长自由发展，素质得到全面提高
一、实践过程
1、通过教材中向量式转化数量式，并通过分组合作的方法进行问题的探究。从而充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力；
2、通过学生勾股定理，教会学生分析问题的科学方法；
3、通过对比归纳出三角形的余弦定理；
4、通过三种证法，可以培养学生的探索精神和创新精神；
5、通过具体实例体现解三角形在测量学、运动学、力学等领域的应用体验数学的工具性
6、让学生学会应用所学的知识解决生活中的一些实际问题（比如估算某一楼房的高度、河的宽度），让学生体验数学来源生活，走进生活。
二、收获与体会
本节课感觉学生课堂气氛热烈，教学目标达成度较高。通过对比方法教学，学生对余弦定理证明有了比较清晰认识。学生对三种方法的掌握以及熟练应用还待提高。课堂通过分组讨论的方式，使学生的内在能量释放出来，让他们在课堂上‘活’起来。课堂教学充满活力，学生的主体作用充分发挥，学生的个性得到了发展。通过本节课培养了学生自主学习的能力，使他们学得主动，学得轻松，使其个性、特长自由发展，素质得到全面提高。
三、问题与建议
学生在探究余弦定理证明的过程中，部分学生对三种方法处理不熟练。建议以后多加强训练与指导。也有部分学生自我探索精神不够，主动意识不强，今后要采取多种形式调动他们的积极性。
