《勾股定理》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版）八年级上册第二章第一节“勾股定理”的第一课时．在本节课以前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，如三角形的三边不等关系，三角形全等的判定等。也学过不少利用图形面积来探求数式运算规律的例子，如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，让学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想。把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范；把探求边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再猜测一般直角三角形的三边关系，再解决一些特殊直角三角形的问题，这是特殊——一般——特殊的思想。在本节课，要创设问题串，提供学生活动的方案，让学生在活动中思考，在思考中创新，认识和理解勾股定理，并能利用勾股定理解决一些简单的有关直角三角形的计算问题．
一、实践过程
本节课根据学生的认知结构采用“观察--猜想--归纳--验证--应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想．
本节课从学生的原有认知出发提出问题，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理．教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，在此基础上，为了更好地展示这一探索过程，本节课先让学生回顾利用图形面积探求数学公式的经历，以此确定研究方法．继而设计了剪纸活动，从中引发学生的猜想，再利用几何画板这一工具带领学生从直角边分别为3和4的直角三角形到更多的任意直角三角形的研究，让学生充分经历这一观察、猜想、归纳的过程．其中SR的求法是探求过程中的难点，应让学生充分地思考、讨论、总结方法．通过对特殊到一般的考查，让学生主动建立由数到形，由形到数的联想，从中使学生不断积累数学活动的经验，归纳出直角三角形三边数量之间的关系．在教学中鼓励学生采用观察分析，自主探索，合作交流的学习方法，培养学生主动的动手，动脑，动口的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人．
除了探究出勾股定理的内容以外，本节课还适时地向学生展现勾股定理的历史，特别是通过介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生爱国热情，培养学生的民族自豪感和探索创新的精神．
练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近学生生活的实例，既让学生感受到学习知识应用于生活的成就感，又使学生深刻了解勾股定理的广泛应用．题目的设计中渗透了德育教育，拓展了学生的空间思维，使得一节几何课全面地考查了学生的各方面思维．
让学生总结本堂课的收获，从内容，到数学思想方法，到获取知识的途径等方面．给学生自由的空间，鼓励学生多说．这样引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力．
作业为了达到提高巩固的目的，提供给学生网址是为了拓展学生的视野，以期学生能主动地探求对勾股定理更深入的认识．
二、收获与体会
通过本节课的教学设计和课堂教学实施学生基本能掌握直角三角形的勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方），并能应用勾股定理解决直角三角形中知道直角三角形的任意两边求第三边的问题。
在课堂引入中能有效地激发学生探求勾股定理的兴趣，使本节课有一个良好的开端，接下来是合作探究，体验发现，利用剪、拼、画、算以及几何画板的应用更有效、更准确的探究出勾股定理三边之间的关系，除了让学生有兴趣以外还更准确更具有说服力，比传统教学模式的枯燥乏味效果增加了不少。
三、问题与建议
探索勾股定理的过程，是建立在学生对勾股定理还没有形成认知的基础上，事实上，随着信息时代的飞速发展，学生的信息渠道多元化、开放性，其实，在未上课之前，大部分学生都已经知道结论，所以，教师的主要任务不应该仅仅局限在勾股定理的内容与简单重复的应用方面机械训练，应该激发学生的兴趣，让学生通过亲身经历探究过程，体验智力活动带给我们的快乐，从而引导学生喜爱学习、喜爱数学。(共11张PPT)
动手操作：
你能利用四个一样大的直角三角形，围成一个正方形吗？(里面外面均是正方形,但不允许重叠)
若每个三角形的两直角边长分别为3和4,求围成的正方形A1B1C1D1 的面积.
1
A1
B1
C1
D1
A1
B1
C1
D1
3
4
3
4
(1)一个直角三角形的两直角边长分别为6和8,则该直角三角形的斜边长为____
(2)一个直角三角形的两直角边长分别为5和12,则该直角三角形的斜边长为______
(3)猜想：一个直角三角形的两直角边长分别为a和b,则直角三角形的斜边c的平方为 ____.你能用所学的知识加以说明吗？
a2+b2
13
10
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
C
B
A
a
b
c
∵ 在△ABC中,∠C=90°
或: a2+b2=c2
∴ AC2+BC2=AB2
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯（下图）于公元前550年首先发现的。但他发现的时间都比我国要迟得多。
在中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这可以确定在公元前1100年左右，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
1.下面说法是否正确,你能说明理由吗
在直角△ABC中, a2+b2=c2
2.在△ABC中,∠C=90°
⑴若BC=8,AB=10,那么AC=_________。
⑵若AC=20,CB=15,那么AB=_________。
6
25
3.在直角△ABC中,a2=10，b2=26，则c=——
4或6
基础练习
一棵大树被风刮倒后,折断处高出地面3m,树的顶端离树根4m,那么这棵树的高是___________.
A
D
3
4
8
B
C
池塘荷叶刚发新芽,如图测得水深为AC为0.6米,根部与叶的水平距离CB为0.8米,忽然大雨,池塘水位每小时上升0.1米,问三小时后,荷叶是否有没顶之灾
你收获了什么？《勾股定理》 教学案
课程分析：本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版）八年级上册第二章第一节“勾股定理”的第一课时．在本节课以前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，如三角形的三边不等关系，三角形全等的判定等。也学过不少利用图形面积来探求数式运算规律的例子，如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，让学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想。把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范；把探求边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再猜测一般直角三角形的三边关系，再解决一些特殊直角三角形的问题，这是特殊——一般——特殊的思想。在本节课，要创设问题串，提供学生活动的方案，让学生在活动中思考，在思考中创新，认识和理解勾股定理，并能利用勾股定理解决一些简单的有关直角三角形的计算问题．
问题设计 问题: 1、 同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？ 2、 如果又已知这两边的夹角，那么第三边的长是多少？ 3、 已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？ 4、用什么方法来探求：直角三角形三边数量关系呢？
教学构想及目标:1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程。并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．
教学重点： 勾股定理的探索过程．
教学难点： 将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．
教学方法： 采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．给学生自主探究交流的空间，引导学生有目的地探索．
所需设备： 电脑多媒体辅助设备
教师活动 学生活动 设计意图
（一）创设情境 提出问题1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？2．如果又已知这两边的夹角，那么第三边的长是多少？3．已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．（二）实践探索 猜想归纳1．用什么方法来探求板书：直角三角形三边数量关系呢？回忆我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？课件展示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．今天，让我们试一试通过计算图形的面积能不能得到直角三角形三边数量关系．2．（课件展示图2）观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形．若将图形①、②、③、④、⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？通过拼图，你有什么发现？3．拼图活动引发我们的灵感；运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积（图4）．你是如何得到的？如何计算 ？4．肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发？5．再给出直角边为5和3的直角三角形（图9），让学生计算分别以三边作为边所作的正方形面积．通过计算，你发现这三个正方形面积间有什么关系吗？6．通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们还有什么疑问吗？利用方格纸，我们方便计算直角边为整数的情况，若直角边为小数时，所得到的正方形面积之间也有如上关系吗？将网格线去掉，利用《几何画板》的度量工具可以看到SP+SQ=SR．7．我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？8．用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板书勾股定理，进而给出字母表达式．一段紧张的探索过程之后，播放一段有关勾股历史的录音．9．阅读课本，提出问题（三）课堂练习 巩固新知1．完成课本第45页练习第1题、第2题．2、如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生。请问同学们：（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？
（2）他们知道走斜“路”比正路少走几步吗？ （3）他们这样这样做，值得吗？（四）课堂小结 布置作业1．通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续探索的问题？2．布置作业 学生回顾、思考，交流。学生讨论同座利用教师提供的学案，合作拼图。学生容易回答SP=9，SQ=16可以数图形中的小方格的个数，也可以通过正方形面积公式计算得到。学生打开书回顾思考SP+SQ=SR，要留有充分的思考时间．面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于下边的平方．阅读课本、思考、提问求下列直角三角形中未知边的长求下列图中未知数x、y、z的值（1）课本第47页第2题，并完成第46页的实验。（2）在以下网页中你可以找到有关勾股定理的丰富的内容，请你结合本节课的学习和从网上或书本上自学到的知识写一篇有关勾股定理的小论文，题目自定，一周后交给课代表并展示交流． 有理数http://www．geocities．com/Tokyo/Fuji/1335/pyththm．html清华大学数学系 http://140．114．32．181/summer00/12/17/b．html数学天地http://steiner．math．nthu．edu．tw/ne01/jyt/famousthm/pythogorus．htm数学数据库 http://www．alihk．net/md/fun/stories/pyth/pyth．htm 这是对三角形三边的不等关系和三角形全等的判定的回顾，从学生从原有的认知水平出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标．让学生体会到当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究．从学生已有的学习经验出发，将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系，让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生，增强探索问题的信心．拼图活动，引发了学生的猜想，增加了研究的趣味性，锻炼了学生的空间思维能力和动手能力．体现了活动——数学的思想．的求法是这节课的难点，这时可让学生先在学案上独立分析，再通过小组交流，最后由小组代表到台前展示．学生可能提出割（图5）、补（图6）、平移（图7）、旋转（图8）等方法，旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，没有一般性，若有学生提出，应提醒学生．把图形进行“割”和“补”，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会将较难的问题转化为简单问题的思想这是转化思想，也是“割补”方法的再一次应用．在前面的探求过程中有的学生没能自己做出来，提供再一次的机会，可让全体学生再次感受转化思想，体验成功的乐趣．以直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积。如果学生提出我们讨论的都是边长为整数的直角三角形情况，那么边长是小数时，结论是否成立？教师就演示以下实验。利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻．这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结，交流，表达．这样既活跃了课堂气氛，又展现了勾股历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感．让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则．充分利用课本，在前面阅读的基础上做课本上的练习题。提问学生口答，老师再规范板书一题．通过对勾股定理的基本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边．这是一道贴近学生生活的实例，在勾股定理的运用中渗透了德育教育．学生总结本堂课的收获，可以是知识、应用、数学思想方法以及获取新知的途径等．给学生自由的空间，鼓励学生多说．这样引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生的综合表达能力．如果学生没有提出继续要探讨的问题，教师可以引导学生思考：直角三角形的三边有特殊的等量关系，一般三角形三边是否也存在一种等量关系呢？再展示上课开始的问题：如果一个三角形的两条边分别长6和8，这两边的夹角确定了，你知道第三边的长是多少？这是我们今后将要探讨的内容，首尾呼应，激发学生不满足于现状，有不断提出新问题的欲望，即培养学生的创新意识．作业的多元化、多层次，有利于全体学生的全面素质发展。
附图：
（图2）
（图3）
（图4）
（图5）
（图6）
（图7）
（图8）
（图9）镇江市中小学中青年骨干教师现代教育技术
实践活动教学设计方案
教学目标分析知识目标：能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题． 能力目标：让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程。并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。情感目标：让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值．
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描述）：在本节课以前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，如三角形的三边不等关系，三角形全等的判定等。也学过不少利用图形面积来探求数式运算规律的例子，如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，让学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：本节课根据学生的认知结构采用“观察--猜想--归纳--验证--应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想．本节课从学生的原有认知出发提出问题，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理．教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，在此基础上，为了更好地展示这一探索过程，本节课先让学生回顾利用图形面积探求数学公式的经历，以此确定研究方法．继而设计了剪纸活动，从中引发学生的猜想，再利用几何画板这一工具带领学生从直角边分别为3和4的直角三角形到更多的任意直角三角形的研究，让学生充分经历这一观察、猜想、归纳的过程．其中SR的求法是探求过程中的难点，应让学生充分地思考、讨论、总结方法．通过对特殊到一般的考查，让学生主动建立由数到形，由形到数的联想，从中使学生不断积累数学活动的经验，归纳出直角三角形三边数量之间的关系．在教学中鼓励学生采用观察分析，自主探索，合作交流的学习方法，培养学生主动的动手，动脑，动口的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人．除了探究出勾股定理的内容以外，本节课还适时地向学生展现勾股定理的历史，特别是通过介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生爱国热情，培养学生的民族自豪感和探索创新的精神．练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近学生生活的实例，既让学生感受到学习知识应用于生活的成就感，又使学生深刻了解勾股定理的广泛应用．题目的设计中渗透了德育教育，拓展了学生的空间思维，使得一节几何课全面地考查了学生的各方面思维．让学生总结本堂课的收获，从内容，到数学思想方法，到获取知识的途径等方面．给学生自由的空间，鼓励学生多说．这样引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力．作业为了达到提高巩固的目的，提供给学生网址是为了拓展学生的视野，以期学生能主动地探求对勾股定理更深入的认识．
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：生活中的实例，坐标纸（或网格纸），几何画板软件，多媒体设备，网络信息资源等
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
分组讨论过程中学生的参与度（对问题设计合理性和学生自主学习能力的评价） A、90%以上 B、60%到80% C、60%以下分组讨论结果对课程引入和展开起到的支撑作用（对问题设计针对性的评价） A、有效 B、基本有效 C、不理想有无发现思维活跃和观望的学生？（对两个极端学生的关注和评价）A、有 B、无教学重点和难点有无解决？（对问题设计有效性的评价） A、有意义的解决 B、基本解决 C、不理想学生对自己在本节课学习状态的满意度（体现学生的自我认知和自我评价能力；反衬课堂教学的满意度） A、比较满意 B、一般 C、不满意
