《 勾股定理》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级§2.1索勾股定理第一课时，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象.通过联系和比较，理解勾股定理，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生观察分析，自主探索，合作交流等教学方法。基本的教学程序为“创设情景——动手操作——归纳验证——问题解决——课堂小结——布置作业六部分。以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。
新课程标准明确提出培养“可持续发展的学生”。因此，教师要有组织，有目的地引导学生参与到学生活动中来。鼓励学生采用观察分析，自主探索，合作交流的学习方法，培养学生主动的“动手”，“动脑”，“动口”的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人。通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
一、实践过程
１．通过生活中邮票图片的观察与分析比较，学生体会到了所学的数学知识来源于生活并高于生活，提高了学生用数学的眼光看待生活的意识；
２．对直角三角形的边为正方形的边面积之间关系实践操作和观察猜想以及验证归纳，使学生很好的经历了数学研究的过程，发挥了学生的主体意识，使其真正参与了数学学习的过程，体验了数学学习的乐趣；
３．实验的设置，让学生主动探究，锻炼了学生的动手操作的能力；
４．通过学生的操作，让学生自己归纳结论，培养学生的归纳概括能力；
5、对勾股定理的两种表述，培养学生表达能力，也培养了学生数型结合的思想
6．介绍我国古代对直角三角形边的研究成果，巩固知识，也体现数学课程中的德育渗透。
二、收获与体会
１．教师“创设情境—引导探究—评价反馈”的教学方法和学生 “自主探究—操作讨论—归纳结论”的教学方法很好的唤醒了学生的学习愿望，使学生体验到了其中成功感；
２．几何教学中实践操作在很大程度上满足了学生课堂上动手的愿望，同时也能更深刻的体验数学知识发生发展的过程。
３．本节课中学生还有很多设计都不错，由于时间关系没能有机会展示，若有可能，最好再安排一节探索勾股定理活动成果展示课，让大家享受探索勾股定理成功的喜悦，并欣赏设计图形的“形”之美
三、问题与建议
１．从生活到数学的抽象过程要进一步研究，努力使其变得自然流畅;
2．在数学的应用中略显单调，题目的选择需体现多样化；
3.学生分组操作、讨论的时机需进一步把握，问题需再细化；
4.学生实践操作不够熟练，后续教学中要增加锻炼机会，加强指导。(共16张PPT)
八年级数学 苏科版
勾股定理
这是1955年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。
P
Q
C
R
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
用了“补”的方法
P
Q
C
R
用了“割”的方法
Q
R
P
Q
（1）如图，小方格的边长为1.
正方形P中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形Q中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形R中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。
正方形P，Q，R的面积之间
有什么关系吗？
SP+SQ=SR
9
16
25
9
16
25
动手 完成课本P44:实验
A
B
C
图1--3
A
B
C
图1--4
（1）观察图1-3，图1-4，并填写下表：
A的面积
（单位面积） B的面积
（单位面积） C的面积
（单位面积）
图1-3
图1-4
16
9
25
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
4
9
13
（1）分别以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间有什么关系？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在西方又称毕达哥拉斯定理
弦
股
勾
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a
b
c
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
1、请你求出下列图中未知数的值：
x
81
144
⑴
169
144
y
⑵
625
576
z
⑶
12
5
x
⑴
x
8
17
⑵
x
20
16
⑶
2、你能求出下列直角三角形中未知边的长吗？
4、在台风“麦莎”的袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。这棵树折断之前有多高？
9米
12米
1、在△ ABC中, ∠C=90°,
(1)若a=5,b=12,则c=__________.
(2)若a=15,c=25,则b=__________.
(3)若c=61,b=60,则a=_________.
(4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,
b=________.
13
20
11
6
8
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 .
5
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
或
1、这节课你学到了什么知识？
小 结：
2、运用“勾股定理”应注意什么问题？
1、这节课你学到了什么知识？
2、运用“勾股定理”应注意什么问题？
1、 课本习题，第１、２题；
2、查阅有关勾股定理的历史资料.
敬请各位专家指导!《勾股定理》 教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义） 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级§2.1索勾股定理第一课时，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象.通过联系和比较，理解勾股定理，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
问题设计 问题: 1、 观察图片，每个大正方形中有几个小正方形？他们之间有什么样的关系？ 2、 你能算出每个小正方形的面积吗？以AB为边的正方形面积是如何计算的？ 3、两种方法的要点是什么？ 4、三个正方形面积有什么样的数量关系？ 5、 自己画一个直角三角形，按照要求，看看面积之间有什么样的数量关系？ 6、你能用文字语言数学你的猜想吗？符合语言呢？ 7、回答练习8、在运用定理是需要分清什么？
教学构想及目标:知识目标：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题能力目标：经历探索及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想，让学生在问题解决的探索过程中，提高运用“勾股定理”解决问题的能力；同时，让学生在从具体的勾股数得出具有一般性“勾股定理”的探索过程中，体验从“特殊到一般”的数学思维方法。情感目标：通过介绍勾股定理在中国古代的研究，提高学生的民族自豪感；通过探索定理，培养学生的合作意识，使学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。
教学重点： 让学生在观察中发现特殊勾股数之间的关系，进而猜想并归纳“勾股定理”的内容，亲历知识生成的全过程。
教学难点： 让学生在具体的问题情境中理解勾股定理，学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，感受“生活离不开数学、数学离不开生活”。
教学方法： 针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生观察分析，自主探索，合作交流等教学方法。基本的教学程序为“创设情景——动手操作——归纳验证——问题解决——课堂小结——布置作业六部分。以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。
所需设备： 多媒体投影
教学环节 教学过程 设计意图说明
情境引入 看一看：口述（或发媒体播放），2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这是本届大会会徽的图案。 （1）你见过这个图案吗？它有什么意义？为什么选它作这次大会的会徽？ （2）你听说过“勾股定理”吗？ 要想了解勾股定理，那么我们今天一起来学习新的内容——引出课题《勾股定理》。 演示图片的同时教师介绍：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。这样从现实生活中提出“赵爽弦图”，引起学生的好奇心和求知欲望，使学生积极主动地投入到探索学习中去。同时为下面勾股定理的证明提供材料。并且，自然地引出了课题。
探索研究 看一看：（多媒体投影）P44图2.1小方格的面积看作1，（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积； 正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积； 正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。 正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？教师：你能用一个什么样的式子来表示。学生：SA+SB=SC做一做观察图：1.3、1.4，并填写下表：（多媒体投影）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-3图1-42）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？议一议（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？实验(课本P44)分别以5厘米、12厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度.教师：前面得到的规律对这个三角形还成立吗？概括：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并且至少早于希腊人500多年就已得到“勾三股四弦五”的结论想一想，你能解决：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？学生：运用勾股定理解题。结论变形：（三种情况略）结论：在直角三角形中,已知两边,求第三边练习P45教师：1、这题用什么知识来解决？ 2、在具体做的过程中需要注意什么？ 从等腰直角三角形出发，更符合学生的认知规律，体现了从特殊到一般的规律。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、操作、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习有帮助。 渗透重要的数学思想方法：面积的补、割法。设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。 目的是将面积的关系转化为边的关系，渗透转化的思想培养学生的动手能力，和概括能力,使学生能掌握的更加透彻。通过以上的努力学生应该能得到这样的结论（即勾股定理），此时呈现给学生，恰到好处！介绍“勾三股四弦五”的来历，再一次进行爱国主义教育，也可以要求学生牢记这个常见的勾股数。完成 “想一想”进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。目的是让学生能熟练的应用需要，也是学生养成良好的解题习惯，书写规范，为后续的学习服务的需要。体现了可操作性。构建数学模型,体会数学的实用性.对所学知识进行简单的应用，增强学生的解题能力，同时使学生养成良好的解题习惯。
反馈练习 练一练1、下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（）A、a=1.5，b=2，c=3 B、a=7，b=24，c=25C、a=6，b=8，c=10 D、a=3，b=4，c=5 2、在三角形△ ABC中,a=5,b=12,c=13,则△ ABC的面积S=_____________.3、在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.4、已知直角三角形ABC的两边为3和4，求第三边c教师：请同学们给予解决 此题有助于学生从多角度去理解勾股定理，从而内化为学生的能力。渗透逆向思维的思想方法。对上一题是更深的挖掘，在教学上体现了由浅入深的教学规律，符合学生的认知规律，逐步提高学生的解题能力。学生在计算c的时候很容易会把它看成斜边去求，造成这种情况的原因主要是对勾股定理的内容还不是很牢固。教师需反复强调公式中a、b、c的意义。
回顾反思 小结1、这节课你学到了什么知识？2、运用“勾股定理”应注意什么问题？教师提出问题，学生积极回答 对本节课的内容进行梳理，便于学生掌握新知识。注意问题的提出便于学生在以后的做题时把握要点
布置作业 完成补充习题 课后巩固镇江市中小学中青年骨干教师现代教育技术
实践活动教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）： 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级§2.1索勾股定理第一课时，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象.通过联系和比较，理解勾股定理，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。知识目标：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题能力目标：经历探索及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想，让学生在问题解决的探索过程中，提高运用“勾股定理”解决问题的能力；同时，让学生在从具体的勾股数得出具有一般性“勾股定理”的探索过程中，体验从“特殊到一般”的数学思维方法。情感目标：通过介绍勾股定理在中国古代的研究，提高学生的民族自豪感；通过探索定理，培养学生的合作意识，使学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。
八年级学生的思维活跃、愿意表达自己的见解，有一定的互动互助基础，他们的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生观察分析，自主探索，合作交流等教学方法。培养学生主动的“动手”，“动脑”，“动口”的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人。通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。基本的教学程序为“创设情景——动手操作——归纳验证——问题解决——课堂小结——布置作业六部分。以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：
教学环节 教学过程 设计意图说明
情境引入 看一看：口述（或发媒体播放），2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这是本届大会会徽的图案。 （1）你见过这个图案吗？它有什么意义？为什么选它作这次大会的会徽？ （2）你听说过“勾股定理”吗？ 要想了解勾股定理，那么我们今天一起来学习新的内容——引出课题《勾股定理》。 演示图片的同时教师介绍：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。这样从现实生活中提出“赵爽弦图”，引起学生的好奇心和求知欲望，使学生积极主动地投入到探索学习中去。同时为下面勾股定理的证明提供材料。并且，自然地引出了课题。
探索研究 看一看：（多媒体投影）P44图2.1小方格的面积看作1，（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积； 正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积； 正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。 正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？教师：你能用一个什么样的式子来表示。学生：SA+SB=SC做一做观察图：1.3、1.4，并填写下表：（多媒体投影）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-3图1-42）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？议一议（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？实验(课本P44)分别以5厘米、12厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度.教师：前面得到的规律对这个三角形还成立吗？概括：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并且至少早于希腊人500多年就已得到“勾三股四弦五”的结论想一想，你能解决：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？学生：运用勾股定理解题。结论变形：（三种情况略）结论：在直角三角形中,已知两边,求第三边练习P45教师：1、这题用什么知识来解决？ 2、在具体做的过程中需要注意什么？ 从等腰直角三角形出发，更符合学生的认知规律，体现了从特殊到一般的规律。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、操作、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习有帮助。 渗透重要的数学思想方法：面积的补、割法。设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。 目的是将面积的关系转化为边的关系，渗透转化的思想培养学生的动手能力，和概括能力,使学生能掌握的更加透彻。通过以上的努力学生应该能得到这样的结论（即勾股定理），此时呈现给学生，恰到好处！介绍“勾三股四弦五”的来历，再一次进行爱国主义教育，也可以要求学生牢记这个常见的勾股数。完成 “想一想”进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。目的是让学生能熟练的应用需要，也是学生养成良好的解题习惯，书写规范，为后续的学习服务的需要。体现了可操作性。构建数学模型,体会数学的实用性.对所学知识进行简单的应用，增强学生的解题能力，同时使学生养成良好的解题习惯。
反馈练习 练一练1、下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（）A、a=1.5，b=2，c=3 B、a=7，b=24，c=25C、a=6，b=8，c=10 D、a=3，b=4，c=5 2、在三角形△ ABC中,a=5,b=12,c=13,则△ ABC的面积S=_____________.3、在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.4、已知直角三角形ABC的两边为3和4，求第三边c教师：请同学们给予解决 此题有助于学生从多角度去理解勾股定理，从而内化为学生的能力。渗透逆向思维的思想方法。对上一题是更深的挖掘，在教学上体现了由浅入深的教学规律，符合学生的认知规律，逐步提高学生的解题能力。学生在计算c的时候很容易会把它看成斜边去求，造成这种情况的原因主要是对勾股定理的内容还不是很牢固。教师需反复强调公式中a、b、c的意义。
回顾反思 小结1、这节课你学到了什么知识？2、运用“勾股定理”应注意什么问题？教师提出问题，学生积极回答 对本节课的内容进行梳理，便于学生掌握新知识。注意问题的提出便于学生在以后的做题时把握要点
布置作业 完成补充习题 课后巩固
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：创设情境、引入新课：请同学们欣赏一组图片，从图中中找出(课前搜集并下载)小正方形个数之间的关系。让学生感受到几何图形的美，激发学习几何的欲望，创设有助于学生自主学习的问题情境。探索问题：看了树上的图片，你有什么想法和发现？你能算出每个小正方形的面积吗？三个面积之间存在怎么样的数量关系？探索问题的提出是为了让学生根据已有的知识积极思考，大胆猜想。接着要求学生在课本上任意画一个直角三角形（为了方便，可以每个小组统一直角边），然后以三角形的每一条边为正方形的边，向外坐正方形，同学的猜想： 1、正方形的面积如何计算（再次巩固割、补的方法）。2、面积之间有什么关系。让学生主动的参与探索，尝试发现，成为学习的主人。借助多媒体演示功能,让学生亲身经历探索数学知识的过程。激发学生学习勾股定理的兴趣，使学生在主动探索中形成对知识的主动建构，增长学生的能力。 在例题的评析过程中，利用实物投影展示学生的解题过程,目的为学生搭建一个展示自己才华的平台的同时，让学生在做题的过程中和老师有交流。 使用多媒体展示反馈练习，比较直观，有助于学生分析作业。
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
项 目 评 价 说 明
对学生的评价 学生课堂学习积极性 能遵循八年级学生年龄特点，95%的学生积极参与讨论与学习，学生乐于动手，课堂气氛活跃。
合作探究、归纳、推理证明的目标达成 通过本课时的学习，学生经历了动手实践、自主探究、合作交流及发现、概括定理的过程，感受到发现的乐趣，增强理性认识，培养了学生数型结合的思想。
学生对问题的理解程度 问题设计难易适中，学生理解较好，能正确理解概念。
课堂延伸过程评价 通过本节课的学习，利用课堂上学到勾股定理内容，能够解决一些简单的有关直角三角形求边和相关面积的问题。
对教师的评价 对教材的理解与把握 教师对教材的理解深入浅出，重难点把握准确，教学方法使用恰当。
教师对问题的处理 问题设计恰当、合理，具有较大的启发性，能促进学生思维，培养问题能力，符合数学学科特点。
三维目标的达成 立足于学生已有的知识基础，遵循学生自身从发现问题到解决问题整个过程中，获取知识的认知规律。通过对问题的分析、讨论、理解过程，潜移默化地达成能力和情感目标。
