《平面图形的镶嵌》教学实践报告
指导思想，设计方法等说明
“平面图形的镶嵌”是苏教版八年级数学上册第三章内容，是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题，把数学知识应用于实际生活之中。体现了多边形在现实生活中的应用价值，也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道；本节内容为1课时，让学生经历探索多边形的镶嵌（密铺）的过程，知道任意三角形、四边形和正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。
一、实践过程
本节课的教学目标是：让学生了解密铺的特点，会辨别一些能密铺的图形，创作密铺图案。提高分析图形、合情推理的能力，发展图形观念，积累数学活动经验，培养审美情趣。
在自主探索平面图形密铺的过程中，经历观察、拼图、交流等活动，体验在解决问题过程中与他人合作的重要性，体验学习活动充满着探索与创造，体验学习带来的快乐；培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。
上课前，教师要求学生做两件事：一是收集生活中镶嵌图案，观察、思考并提出问题，二是用纸片做一些全等正多边形边长（边长均为3厘米），全等的任意三角形、全等的四边形的图片。上课时，教师问学生： “你家客厅铺的地砖是什么形状的？你还见过其他形状的地砖吗？ ” 这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的说是正方形的，有的说是正六边形的。这时老师点题，这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题，要求学生再观察一组镶嵌图案并思考：“平面图形镶嵌的特点是什么？”学生讨论交流，教师归纳总结；接着通过三个活动展开教学，活动一： “你会用大小完全相同的等边三角形地砖铺满地面吗？你会用大小完全相同的正方形地砖铺满地面吗？你会用形状、大小完全相同的长方形地砖铺满地面吗？”学生兴致勃勃地拿出准备好的纸片进行组内合作设计，并粘贴在白纸上，上台展示，并进行互相评价，这一环节让学生在动手实践中学习，通过动手实践形成对图形密铺的感性认识，增加生活实践经验，得出正三角形、正方形、长方形可以密铺的结论；活动二．教师提问：（1）、形状、大小完全相同的正五边形能否密铺？（2）、形状、大小完全相同的正六边形能否密铺？（3）、你还能找到能够密铺的其他正多边形吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形、正六边形纸片进行试验，马上发现正六边形纸片行而正五边形不行。这一环节是以五边形为反例，阐明一种正多边形就能够密铺的条件及可能的情况，进一步提升学生的思维层次，发展学生的合情推理能力。同学们活动一、二的实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形可以完成平面图形的镶嵌。教师引导学生讨论：为什么只有这三种而没有其它正多边形了。很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。 活动三：教师提问：“用形状、大小完全相同的任意三角形能否密铺？用形状、大小完全相同的任意四边形能否密铺？如果能，你能发现什么规律？如果不能，请说明理由” 学生动手研究并思考：“用全等的三角形（或四边形）密铺的方法？”在这里，用全等的任意四边形密铺是个难点，老师引导， “活动三”是在活动一、活动二积累的知识和经验的基础上从特殊到一般的研究，进一步激励学生主动参与，主动实践，主动思考，主动探索，亲身经历知识的发展过程，获得成功的体验。这里教师给学生充分的探究空间，通过实践、交流完善认知，提高学生概括能力及语言表达能力。接着进行学生创作阶段，教师先展示了一个图案设计，并完成“平面图形镶嵌的报告”，要求学生进行设计并交流。学生作品内容丰富，构思精巧，教师给予充分肯定，这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课进行了总结。并提出了问题让同学们课后去进行实践探究，“尝试动手用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，拼出了各种各样的图形，并把它们都粘贴在教室指定位置上，供全班同学欣赏、评论”。
二、收获与体会
学生对本课主题很感兴趣，多媒体教学课件展示镶嵌过程直观，镶嵌图案美观。课堂气氛热烈，教学目标达成度较高。 学生通过三个活动对平面图形镶嵌的特点，规律有了充分的认识，通过镶嵌图案的设计使学生的主体作用充分发挥，学生的个性得到了发展。本节课还培养了学生自主学习的能力，使他们学得主动，学得轻松，使其个性、特长自由发展，素质得到全面提高。
三、问题与建议
1．“无空隙”这一说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边可以都是公共顶点与公共边。
2．留给学生图案设计的时间太少，没能充分展示学生才能。
3．建议首先研究较为简单的单个正多边形的镶嵌问题，再研究复杂的单个任意多边形及多个正多边形的组合镶嵌问题。
4．一般四边形的镶嵌问题，是这堂课的教学难点。如何突破，这里可以先分析四边形内角和特点，再通过具体的拼接活动让学生获得进一步的直观感受。镇江市中小学中青年骨干教师现代教育技术
实践活动教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：知识目标：让学生了解密铺的特点，会辨别一些能密铺的图形，创作密铺图案。能力目标：提高分析图形、合情推理的能力，发展图形观念，积累数学活动经验，培养审美情趣。情感目标：在自主探索平面图形密铺的过程中，经历观察、拼图、交流等活动，体验在解决问题过程中与他人合作的重要性，体验学习活动充满着探索与创造，体验学习带来的快乐。
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描述）：由于本节课研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，因此兴致盎然，既提高了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用，本节课是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中。通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，以问题为主线层层深入，学生参与了知识的发生过程，在问题的探究解决过程中，学生加深了对正多边形的有关性质的理解。例如对正多边形的内角度数的理解提高了一个层次，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：课堂教学的流程大致如下：一、课前师生收集镶嵌图案并提出问题；学生所提出的问题十分丰富，教师课前应分析有关问题，根据学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系进行一个整体的规划，设计出课堂的问题串，从而保证课堂教学的有序而高效地进行 。二、课堂展示互相交流有关镶嵌图案，明晰镶嵌概念；在收集、观察图案的基础上发现平面图形镶嵌的特点，从而师生共同得出平面图形镶嵌的概念。三、通过系列活动展开课堂教学并解决相应的问题；对于正三角形、正方形以及长方形的镶嵌问题，学生应该都比较熟悉，由此展开教学，贴近学生生活实际，激发学生兴趣，然后在此基础上思考正五边形、正六边形能否密铺，并思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面，从而阐明一种正多边形就能够密铺的条件及可能的情况，进一步提升学生的思维层次，发展学生的合情推理能力。再从特殊到一般进一步研究一般的多边形（三角形、四边形）的镶嵌问题，整个教学过程遵循先易后难、先简后繁的顺序。对于单个多边形的镶嵌问题，基于学生的水平和课程标准的要求，这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题；在“应用巩固”环节中进行图案设计，让学生体会将基本图形的某一部分平移、旋转等可以设计出能密铺的基本单位，为下面独立创造有特色的密铺图案提供范例，用图案（3）的密铺过程让学生感受劳动创造美，激发学生的创造热情。对于多个多边形的组合镶嵌，教学中更多的是一种展示和设计活动，希望通过活动使学生获得一定的数学活动经验和解决问题的体验，而并不希冀获得一般的结论，因此这里没有提出更高的要求。四、反思学习本节课的收获与体会。引导学生进行自我总结，提高学生的归纳、概括能力，收获侧重于知识和方法，体会侧重于情感和态度，使学生在知识技能与情感、态度、价值观诸多方面的素质得到提高。
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：生活中的实例、多媒体课件和、教材中的图片情景等
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
主要是对学生课前所提出的问题的研究价值、研究方法、研究难度作出比较恰当的评价，从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究，按照什么顺序进行研究等，对学生设计的图案进行评价；评价方式： 1、组员自评，2、小组互评，3、教师评价。“平面图形的镶嵌”活动报告
数学是智慧的宝石，创造力是民族的灵魂。充分地合作，因为团结就是力量；客观地评价，因为知识是进步的开始。
设计密铺图案 请独立设计一个可以密铺的“基本单位”图案，并画出密铺图案。基本单位： 密铺图案:主题: 攀登
创作意义 我们的观察能力、发散性思维得到提高了
收获与感想 学习没有捷径可走，只有脚踏实地，才能登上科学的高峰。
活动评价
图案创意 数学感悟 合作精神
自我评价
老师评价
班级_________ 姓名________
“平面图形的密铺”活动报告
数学是智慧的宝石，创造力是民族的灵魂。充分地合作，因为团结就是力量；客观地评价，因为知识是进步的开始。
设计密铺图案 请独立设计一个可以密铺的“基本单位”图案，并画出密铺图案。基本单位： 密铺图案:主题: 百花齐放
创作意义 图案有多种设计方法，我们的思想更灵活了。
收获与感想 一花独放不是春，百花齐放春满园。
活动评价
图案创意 数学感悟 合作精神
自我评价
老师评价
班级_________ 姓名________
“平面图形的密铺”活动报告
数学是智慧的宝石，创造力是民族的灵魂。充分地合作，因为团结就是力量；客观地评价，因为知识是进步的开始。
设计密铺图案 请独立设计一个可以密铺的“基本单位”图案，并画出密铺图案。基本单位： 密铺图案:主题: 美丽的金鱼
创作意义 提高了动手能力，学会用学过的知识进行创造。
收获与感想 我们也是美丽的“金鱼”,快乐地遨游在知识的海洋。
活动评价
图案创意 数学感悟 合作精神
自我评价
老师评价
班级_________ 姓名________《平面图形的镶嵌》 教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义） “平面图形的镶嵌”是苏教版八年级数学上册第三章内容，是在学生理解并掌握图形的平移、旋转及多边形的内角和与外角和等几何概念的基础上，把数学知识应用于实际生活之中。体现了多边形在现实生活中的应用价值， 也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。本节内容为1课时，让学生经历探索多边形的镶嵌（密铺）的过程，知道任意三角形、四边形和正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计。
问题设计 问题: 1、你家客厅铺的地砖是什么形状的？你还见过其他形状的地砖吗？ 2、观察一组密铺图案并思考平面图形镶嵌的特点是什么？3、你会用大小完全相同的等边三角形地砖铺满地面吗？你会用大小完全相同的正方形地砖铺满地面吗？你会用形状、大小完全相同的长方形地砖铺满地面吗？4、用形状、大小完全相同的正五边形能否密铺？形状、大小完全相同的正六边形能否密铺？你还能找到能够密铺的其他正多边形吗？ 5、思考： 用一种正多边形密铺有几种情况？为什么？ 6、用形状、大小完全相同的任意三角形能否密铺？用形状、大小完全相同的任意四边形能否密铺？如果能，你能发现什么规律？如果不能，请说明理由 7、思考：用全等的三角形（或四边形）密铺的方法？ 8、 思考：用正五边形与什么图形搭配就能密铺？用正八边形与 什么图形搭配就能密铺？正三角形、正方形、正六边形两两组合 能否密铺？
教学构想及目标: 知识目标：让学生了解密铺的特点，会辨别一些能密铺的图形，创作密铺图案。能力目标：提高分析图形、合情推理的能力，发展图形观念，积累数学活动经验，培养审美情趣。情感目标：在自主探索平面图形密铺的过程中，经历观察、拼图、交流等活动，体验在解决问题过程中与他人合作的重要性，体验学习活动充满着探索与创造，体验学习带来的快乐。
教学重点： 多边形镶嵌的条件
教学难点： 运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计。
教学方法： 根据本节课内容及八年级学生的认知规律，采用探究教学法，以“问题串”的形式将学生领进精彩的问题空间；依据中学生学法指导的操作性原则，通过学生自主、合作、探究的学习方法分析问题、解决问题。
所需设备： 多媒体、剪刀、硬纸板若干张。
教师活动 学生活动 设计意图
情景导入师问：你家客厅铺的地砖是什么形状的？你还见过其他形状的地砖吗？请同学们展示收集到得镶嵌图案；教师展示学生课前提出的问题二、自主探索（一）观察图案，说说什么是平面图形的镶嵌？（老师归纳，给出概念）（二）活动一：1．师问：你会用大小完全相同的等边三角形地砖铺满地面吗？你会用大小完全相同的正方形地砖铺满地面吗？你会用形状、大小完全相同的长方形地砖铺满地面吗？请动手试一试！（实物投影展示，最后点出课题）2．请学生观察一组密铺图案。3：．师问：平面图形镶嵌的特点是什么？活动二1．师问：（1）、形状、大小完全相同的正五边形能否密铺？（2）、形状、大小完全相同的正六边形能否密铺？（3）、你还能找到能够密铺的其他正多边形吗？2．师问：用一种正多边形密铺有几种情况？为什么？活动三1．师问：用下列图形能否密铺？（1）、形状、大小完全相同的任意三角形（2）、形状、大小完全相同的任意四边形请动手试一试，如果能，你能发现什么规律？如果不能，请说明理由2．师问：用全等的三角形（或四边形）密铺的方法？三、应用巩固练一练：请你依照上述步骤制作出图案（3），你能用它密铺吗？试试看！师问：用正五边形与什么图形搭配就能密铺？用正八边形与 什么图形搭配就能密铺？正三角形、正方形、正六边形两两组合 能否密铺？四、小结与思考师问：本节课你的收获和体会。 学生思考，作答；学生展示图案；学生思考，作答学生先分组讨论，动手操作，然后交流自己的拼法学生观察一组密铺图案，思考平面图形镶嵌的特点。学生先分组讨论，动手操作，然后交流自己的拼法学生思考并作答学生动手操作，组内交流自己的拼法学生思考并作答学生思考并作答学生思考并作答生答：1.平面图形的密铺指没有空隙和不重叠的拼接;2.用一种多边形密铺时,三角形,四边形,正六边形都能密铺.其他正多边形不能密铺。3．密铺在现实生活中应用非常广泛.体会： 1． 劳动可以创造美好生活，2．生活中处处都有数学美 依据“学生原有的知识和经验是教学活动的起点”这个教学理念。联系学生已有的生活经验，从学生熟知的生活情景出发，引出话题，通过学生自己观察图案思考并提出问题，可以进一步加深学生预习的深度，培养学生的思维习惯。 “活动一”是让学生在动手实践中学习，通过“做一做”形成对图形密铺的感性认识，增加生活实践经验，引出课题，并得出正三角形、正方形、长方形可以密铺的结论。通过“活动一”进一步加强对图形密铺的理解。以讨论、交流的形式让学生探究图形密铺的特点。活动二”是以五边形为反例，阐明一种正多边形就能够密铺的条件及可能的情况，进一步提升学生的思维层次，发展学生的合情推理能力。 “活动三”是在活动一、活动二积累的知识和经验的基础上从特殊到一般的研究，进一步激励学生主动参与，主动实践，主动思考，主动探索，亲身经历知识的发展过程，获得成功的体验。 “做一做”、“议一议”给学生充分的探究空间，通过实践、交流完善认知，提高学生概括能力及语言表达能力。通过图案（3）的制作过程让学生体会将基本图形的某一部分平移、旋转等可以设计出能密铺的基本单位，为下面独立创造有特色的密铺图案提供范例，用图案（3）的密铺过程让学生感受劳动创造美，激发学生的创造热情。通过讲一讲引导学生进行自我总结，提高学生的归纳、概括能力，收获侧重于知识和方法，体会侧重于情感和态度，使学生在知识技能与情感、态度、价值观诸多方面的素质得到提高。
（1）
（2）
（3）(共39张PPT)
好漂亮的地
砖!这是怎么铺
设的 一点空
隙也没有.
你家客厅铺的地砖是什么形状的？
你还见过其他形状的地砖吗？
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌或密铺。
平面图形的镶嵌
1：你会用大小完全相同的等边三角形地砖铺满地面吗？
2：你会用大小完全相同的正方形地砖铺满地面吗？
3、你会用形状、大小完全相同的长方形地砖铺满地面吗？
1、形状、大小完全相同的正五边形
能否密铺？
2、形状、大小完全相同的正六边形
能否密铺？
3、你还能找到能够密铺的其他正多
边形吗？
形状、大小完全相同的正五边形不能密铺
正五边形的每个内角都等于108度，360度不是108度整倍数，也就是说，每个拼接点处，拼3个内角不能保证没空隙，而拼4个内角，必定有重叠的现象。
1
2
3
正六边形的每个内角都等于120度，在每个拼接点处，恰好能容下3个内角，而且相互既不
重叠，也没有空隙。
形状、大小完全相同的正六边形能够密铺
我们知道，形状、大小完全相同的正三角形、正方形、正六边形能够密铺；
那你还能找到能够密铺的其他正多
边形吗？
正多边形边数 3 4 5 6 8
每个内角度数(°) 60 90 108 120 135
能否密铺？
能
能
能
否
否
单独一种正多边形密铺探索
结论:用一种正多边形密铺有三种情况:
正三角形，正四边形，正六边形。
是几个角拼在一起恰组成一个 3600 的周角。
密铺的关键：
用下列图形能否密铺？
1、形状、大小完全相同的任意三角形
2、形状、大小完全相同的任意四边形
如果能，你能发现什么规律？
如果不能，请说明理由。
形状、大小完全相同的任意三角形能够密铺
6
5
4
图中所标的6个角分别是两个全
等三角形的内角，所以它们的和等于
180度×2=360度。
1
2
3
4
5
6
形状、大小完全相同的任意四边形能够密铺
1
2
3
4
3
1
2
4
图中所标的四个角，恰好是一个四
边形的四个内角，它们的和等于360度。
用全等的三角形（或四边形）密铺的方法
取几个三角形（或四边形）的不同顶点处的内角围绕一点拼成360度，并使等边重合。
？
：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
（1）
（2）
（3）
如图在一个正方形的内部剪去一个三角形，并将其平移，形成新图案。以这个新图案为“基本单位”能否进行密铺？
（4）
几个角拼在一起组成一个 3600 的周角
请你自己独立设计一个可以密铺的
“基本单位” ，并完成“平面图形密铺”
活动报告。
本节课你有什么收获和体会？
收获：
1.平面图形的密铺指没有空隙和不重叠的拼接;
2.用一种多边形密铺时,三角形,四边形,正六边形都能密铺.其他正多边形不能密铺.
3：密铺在现实生活中应用非常广泛.
生活中处处都存在数学美
劳动可以创造美好的生活
体会：
3：正三角形、正方形、正六边形两两组合 能否密铺？
1：用正五边形与什么图形搭配就能密铺？
2：用正八边形与 什么图形搭配就能密铺？
用两种边长相等的正多边形也可以组成很多精美的图案
我们都来做个有心人，多思考、多研究，把学过的数学知识应用于生活，解决生活中的实际问题，使我们的生活更加美好！
