《函数的单调性》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
4、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．
5、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
一、实践过程
1通过生活中实例即某地24小时的气温图引入函数图象中有时图象逐渐上升，有时逐渐下降的现象。感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力。
2如何用数学语言精确刻画这种上升与下降？通过具体的数据引导概念中的关键词，从而先抽象概括出单调增函数的概念的本质属性，并尝试用数学符号语言初步表达。
3数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．
4通过学生回忆初中学过的一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数的图象，了解具体函数的单调区间。学会利用函数图象判断函数的单调性。
5通过例2的合作学习要掌握怎样用函数单调性定义证明具体函数的单调性，让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性。
6让学生学会应用所学的知识解决生活中的一些实际问题，让学生体验数学来源生活，走进生活。
二、收获与体会
本节课感觉学生课堂气氛热烈，教学目标达成度较高。通过对图像形的直观引入数的精确刻画，了解数学的数与形的完美结合。由具体的例子入手抽象概括出函数单调性的定义，然后应用于已经熟悉的函数中。让学生有成就感。课堂通过合作学习的方式，使学生的内在能量释放出来，让他们在课堂上‘活’起来。课堂教学充满活力，学生的主体作用充分发挥，学生的个性得到了发展。通过本节课培养了学生团结合作的能力，使他们养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。
三、问题与建议
问题：
1书写单调区间时会并起来发生错误
2单调性证明中变形不彻底
建议：
多练习减少不该犯的错误(共17张PPT)
y
2
4
6
8
10
O
-2
x
8
4
12
16
20
24
6
2
10
14
18
22
I
问题1、观察某市一天24小时的气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2、怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
一、创设情境，提出问题
y
2
4
6
8
10
O
-2
x
8
4
12
16
20
24
6
2
10
14
18
22
I
问题3、对于任意的t1、t2∈[4，18]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)二、探究发现 建构概念
对区间I内 x1，x2 ，
当x1图象在区间I逐渐上升
？
O
x
I
y
区间I内随着x的增大，y也增大
x1
x2
f(x1)
f(x2)
M
N
对区间I内 x1，x2 ，
当x1x
x1
x2
？
I
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间I内随着x的增大，y也增大
图象在区间I逐渐上升
对区间I内 x1，x2 ，
当x1x
x1
x2
都
y
f(x1)
f(x2)
O
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
当x1<
定义
M
N
任意
两个自变量的值x1,x2，
I 称为 f (x)的单调
增区间.
那么就说 f (x)在区间I上
是单调增函数，
区间I内随着x的增大，y也增大
图象在区间I逐渐上升
I
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
问题4、类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1<
>
单调区间
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；
x
y
o
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
（3） x 1, x 2 取值的任意性
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
y
2
4
6
8
10
O
-2
x
8
4
12
16
20
24
6
2
10
14
18
22
I
问题 6、类似气温图，你还能举出生活中的一些例子吗？ 问题7、你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明
三、自我尝试 运用概念
问题5、你能找出气温图中的单调区间吗？
例1、下图为函数 , 的图像，指出它的单调区间。
1
2
3
-2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
o
-4
-1
y
-1.5
[-1.5，3]，[5，6]
[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
解：单调增区间为
单调减区间为
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
x
y
_____________
,
讨论1：根据函数单调性的定义，
2试讨论 在 和 上的单调性？
？
变式2：讨论 的单调性
成果交流
变式1：讨论 的单调性
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
_______;
_______.
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
例3、证明函数 在区间 上是单调增函数
1. 任取x1，x2∈D，且x12. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5. 下结论
主要步骤
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？
2.判断函数单调性有哪些常用方法？
3.你学会了哪些数学思想方法？
四、回顾反思深化概念
1.完成P37第7题
2.完成P37第5,6题
五、课堂小结
3、证明函数 f（x）=-x2在 上是 减函数。
4、证明函数 f（x）= 在 上 是单调递减的。
1、阅读教材 p34-35例2
2. 书面作业：教材 P43 1、7、11
六、作业布置
数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚《函数的单调性》 教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）1 背景说明：函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．2课题的意义：函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．3课题介绍：课题选自苏教社普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修1）第二章《函数概念与基本初等函数1》第2.1.3《函数的简单性质》的第一课时——函数的单调性。
问题设计 问题: 1、观察某市一天24小时的气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 2、怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 3、对于任意的t1、t2∈[4，18]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)教学构想及目标:教学构想：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．4、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．5、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．教学目标： 1. 知识与技能：（1）使学生理解函数的单调性；（2）能判别或证明一些简单函数的单调性。2. 过程与方法： （1） 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；（2）能运用函数单调性概念解决简单的问题；（3）使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观： （1）在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度； （2）使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。
教学重点： 函数单调性的概念形成和初步运用
教学难点： 函数单调性的概念形成
教学方法： 活动教学法合作学习法
所需设备： 电脑多媒体辅助设备
教师活动 学生活动 设计意图
创设情境，提出问题如图为某地区某一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，提出问题：问题1：问题2：（二）探究发现 建构概念为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征． 在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3：为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：（三）自我尝试 运用概念 1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．提出问题5： 问题6：问题7：完成课本P34例1利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误2证明函数在区间（0，+ ∞）上是单调增函数． 教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．（四）回顾反思深化概念完成P37第7题完成P37第5,6题（五）课堂小结（六）作业布置：1.阅读课本P34－35例22. 书面作业： 教材 P43 1、7、11 问题1：气温在0-4时逐渐下降，4-14时逐渐升高，14—24时逐渐下降。问题2：对学生来说较为抽象，不易回答．通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．对于问题5，学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于对于问题6，股市图，心电图等问题7，学生容易举出具体函数如：，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．学生自我归纳证明函数单调性的四步骤：假设-作差变形-判断符号-下结论．学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.1函数单调性概念2证明函数单调性的四步骤 问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．镇江市中小学中青年骨干教师现代教育技术
实践活动教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．4、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．5、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．教学目标： 1. 知识与技能：（1）使学生理解函数的单调性；（2）能判别或证明一些简单函数的单调性。2. 过程与方法： （1） 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；（2）能运用函数单调性概念解决简单的问题；（3）使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观： （1）在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度；（2）使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描述）：众所周知，学生由初中升入高一年级，是高中数学学习的过渡期，在高中阶段对学生有更新更高的要求，在各方面对学生来说均是一个飞跃。其中相当一部分的飞跃进需在高一阶段特别是期末完成的。如从定性到定量的飞跃，从形象思维到抽象思维的飞跃，从单因素的简单逻辑思维到多因素的复杂逻辑思维的飞跃。因此高一阶段是学生学习道路上的一个重要时期，同时高一阶段也是学生心理发展上的一个关键时刻，所以在高一数学教学中乃至整个教学中保护培养与发展学生学习数学的兴趣是至关重要的。所以本节课从生活中的实例引入，通过数形结合的数学思想方法，最后得出函数单调性的定义并应用于以后的函数性质的研究中。 另外教师要教会学生正确地评价自已，正确对待高中数学的成绩。帮助学生改进学习方法、发展数学思维，尽快建立一套适合自己的学习方法。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：1通过生活中实例即某地24小时的气温图引入函数图象中有时图象逐渐上升，有时逐渐下降的现象。感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力。2如何用数学语言精确刻画这种上升与下降？通过具体的数据引导概念中的关键词，从而先抽象概括出单调增函数的概念的本质属性，并尝试用数学符号语言初步表达。3数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．4通过学生回忆初中学过的一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数的图象，了解具体函数的单调区间。学会利用函数图象判断函数的单调性。5通过例2的合作学习要掌握怎样用函数单调性定义证明具体函数的单调性，让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性。6让学生学会应用所学的知识解决生活中的一些实际问题，让学生体验数学来源生活，走进生活。
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：生活中实例多媒体课件实物展台
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
1、组员自评2、小组互评3、教师评价
