江苏省常州市高级中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析word版

江苏省常州高级中学2019-2020学年度第一学期期末考试
高一数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.若，则角的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.关于的不等式的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. {或} D. {或}
5.若函数则（ ）
A. B. 2 C. D. -2
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
已知光在真空中的传播速度为300000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为千米（），则的值为（ ）
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
B. 若函数，则在区间上单调递减
C. 幂函数（）始终经过点和
D. 若函数，则对于任意的，有
11.已知函数（）的值域为，则实数与实数的取值可能为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
12.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数图象与函数的图象关于直线对称
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数的值为__________．
14.若时函数，的一条对称轴，则函数在区间上的单调递减区间为__________．
15.已知，则__________．
16.已知奇函数满足，且当时，，若，则实数的值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知四边形的顶点坐标为，，，且（）.
（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点为直线外一点，且，问实数为何值时，点恰为四边形对角线的交点.
18.（1）已知角的终边所在直线经过点，求的值；
（2）已知（），求的值.
19.已知函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，集合（）.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
20.如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 .永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点，当点到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点在最低点处开始计时.
（1）试确定在时刻 (单位:分钟)时点距离下层桥面的高度 (单位:米)；
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？
21.已知函数（）
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
22.对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类” 函数.
（1）试判断，是否是“类” 函数，并说明理由；
（2）若函数，，为“类” 函数，求的最小值.
江苏省常州高级中学2019-2020学年度第一学期期末考试
高一数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得到，，再计算得到答案.
【详解】，
，则.
故选：.
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2.若，，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算直接得到答案.
【详解】.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.
3.若，则角的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
变换得到，根据得到答案.
【详解】，，故角的终边在第二象限.
故选：.
【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简单题.
4.关于的不等式的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. {或} D. {或}
【答案】B
【解析】
【分析】
直接解不等式得到答案.
【详解】，即，等价于，故或.
故选：.
【点睛】本题考查了解分式不等式，意在考查学生的计算能力.
5.若函数则（ ）
A. B. 2 C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数据计算得到答案.
【详解】，.
故选：.
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给函数化为，根据三角函数相位变换原则可得结果.
【详解】
只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
故选：
【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对的变化量的变换，遵循“左加右减”原则.
7.若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
确定函数单调递减，得到，计算得到答案.
【详解】根据题意知函数单调递减，满足 ，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了分段函数的单调性，忽略间断点处的大小关系是容易发生的错误.
8.16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
已知光在真空中的传播速度为300000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为千米（），则的值为（ ）
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，代入数据计算得到答案.
详解】根据题意：.
1光年为：千米.
故选：.
【点睛】本题考查了数值的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.
【详解】，正确；
，正确；
，错误；
，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
B. 若函数，则在区间上单调递减
C. 幂函数（）始终经过点和
D. 若函数，则对于任意的，有
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；
函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；
幂函数（）始终经过点和，正确；
任意的，，要证，即，
即，即，易知成立，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
11.已知函数（）的值域为，则实数与实数的取值可能为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
化简得到，设，则，依次判断每个选项得到答案.
【详解】，
设，则.
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递增，时，，故，正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故，错误；
当时，在上单调递增，时，，故，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了函数的值域，根据换元利用单调性是解题的关键.
12.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数图象与函数的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.
【详解】，画出函数图像，如图所示：
故函数的最小正周期为，关于对称，区间上单调递减.
且函数的图象与函数的图象不关于直线对称.
故选：.
【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用.
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，代入化简得到答案.
【详解】，，与是共线向量，则，即.
故，，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
14.若时函数，的一条对称轴，则函数在区间上的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称轴得到，计算得到答案.
【详解】时函数，的一条对称轴，
则，当时，满足条件.
取，解得.
当时，满足条件.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简得到得到答案.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.
16.已知奇函数满足，且当时，，若，则实数的值为__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
取得到，，代入化简得到
，得到答案.
【详解】，取得到，
，故.
，即.
即，，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据函数关系求参数值，意在考查学生的计算能力，取值是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知四边形的顶点坐标为，，，且（）.
（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点为直线外一点，且，问实数为何值时，点恰为四边形对角线的交点.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1），设点的坐标为，根据得到，得到答案.
（2）化简得到，根据得到，得到答案.
【详解】（1）因为，，所以，
设点的坐标为，则，
而（），所以解得
因为点在第一象限，所以.
（2）由得，即，
若点恰为四边形对角线的交点且（），
根据三角形相似得到，所以.
【点睛】本题考查了向量运算和应用，意在考查学生的应用能力.
18.（1）已知角的终边所在直线经过点，求的值；
（2）已知（），求的值.
【答案】（1）3（2）
【解析】
【分析】
（1）计算，再利用齐次式计算得到答案.
（2）利用方程组计算得到，再计算得到答案.
【详解】（1）因为角的终边所在直线经过点，所以.
所以.
（2）因为，所以，即，
因为，所以，即，.
又因为，所以.
由，解得，所以.
【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，意在考查学生的计算能力.
19.已知函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，集合（）.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.（2）
【解析】
【分析】
（1）计算得到或，，计算并集得到答案.
（2）计算，，根据包含关系得到答案.
【详解】（1）由可得：，
所以或，
因为，，所以，
所以或.
（2），，
因为，所以，解得.
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，集合运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的综合应用能力.
20.如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 .永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点，当点到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点在最低点处开始计时.
（1）试确定在时刻 (单位:分钟)时点距离下层桥面的高度 (单位:米)；
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？
【答案】（1）米（2）米.
【解析】
【分析】
（1）如图，建立平面直角坐标系，以为始边，为终边的角为，计算得到答案.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度，计算得到答案.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.由题可知在分钟内所转过的角为，
因为点在最低点处开始计时，所以以为始边，为终边的角为，
所以点的纵坐标为，
则（），
故在分钟时点距离下层桥面的高度为（米）.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度.
当时，
故上层桥面距离下层桥面的高度约为米.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
21.已知函数（）
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据计算得到，再验证得到答案.
（2）化简得到对恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到对恒成立，计算得到答案.
【详解】（1）因为为奇函数且定义域为，则，即，所以.
当时因为为奇函数，
，满足条件为奇函数.
（2）不等式对恒成立
即对恒成立，
因为为奇函数，所以对恒成立（*）
在上任取，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减；
所以（*）可化对恒成立，
即对恒成立.
令，
因为的图象是开口向上的抛物线，
所以由有对恒成立可得：即
解得：，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
22.对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类” 函数.
（1）试判断，是否是“类” 函数，并说明理由；
（2）若函数，，为“类” 函数，求的最小值.
【答案】（1）不是.见解析（2）最小值为7.
【解析】
【分析】
（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.
（2），得到函数的单调区间，根据题意得到
，得到，得到答案.
【详解】（1）不是.
假设为类函数，则存在，使得，
则，或者，，
由，
当，时，有，，
所以，可得，不成立；
当，时，有，，
所以，不成立，
所以不为类函数.
（2），则在单调递减，在单调递增，
又因为是类函数，
所以存在，满足，
由等式可得：，则，
所以，
则，所以得，
从而有，则有，即，
所以，则，
由，则，
令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，
使得，此时，因此的最小值为7.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.
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