江苏省连云港市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析word版

江苏省连云港市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一?单项选择题：
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3.的值是（ ）
A. B. C. D.
4.向量，.若，则实数的值是（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
5.已知函数则的值是（ ）
A. 27 B. 9 C. D.
6.已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二?多项选择题：
9.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知是平行四边形对角线的交点，则（ ）
A. B. C. D.
11.一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点第一次到达最高点需要10秒
B. 在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米
C. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米
12.将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的（ ）
A. 周期是 B. 增区间是
C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称
三?填空题：
13.己知是上的奇函数，当时，，则_______.
14.设，，则______.
15.已知，，，则实数________，_______.
16.已知函数，.任取，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
四?解答题：
17.已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值.
18.函数（其中，）的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点，点，且.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的单调区间.
19.已知，.其中均为锐角.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.某公司生产某种产品的速度为千克/小时，每小时可获得的利润是元，其中.
（1）要使生产该产品每小时获得的利润为60元，求每小时生产多少千克?
（2）要使生产400千克该产品获得的利润最大，问：此公司每小时应生产多少千克产品?并求出最大利润.
21.已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22.已知，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求正数的取值范围.
江苏省连云港市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一?单项选择题：
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合，再求出即可.
【详解】解：因为，
又，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
要使函数有意义，则需，再求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需，即，
即函数的定义域是，
故选：D.
【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法，属基础题.
3.的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：本题主要利用任意角的三角函数的诱导公式并结合特殊角的三角函数进行求解值.因为，故选A.
考点：1、任意角的三角函数；2、诱导公式.
4.向量，.若，则实数的值是（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标运算即可得解.
【详解】解：因为向量，.
又，则，
即，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
5.已知函数则的值是（ ）
A. 27 B. 9 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合函数解析式，将变量代入运算即可得解.
【详解】解：由函数
则，
又，
即，
故选：D.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了指数与对数求值，属基础题.
6.已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的模定义与向量数量积化简式子，并可求得向量与夹角的余弦值，进而求得的值．
【详解】由
得
即
设单位向量与的夹角为
则有
解得
又
所以
故选B
【点睛】本题考查了向量的模和数量积的简单应用，属于基础题．
7.在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由向量的线性运算可得，再结合向量数量积运算即可得解.
【详解】解：由，
则,
又，
所以,
又，
所以,
即，
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属中档题.
8.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由分段函数值域的求法可得在恒成立，再结合不等式恒成立问题求解即可.
【详解】解：由已知有，当时，，即，
又函数的值域是，
则在恒有，
即在恒成立，
显然有，
即，
故选：D.
【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了对数不等式恒成立问题，属中档题.
二?多项选择题：
9.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性及单调性逐一判断即可.
【详解】解：对于选项A，函数既是奇函数，又在区间上单调递增，即A符合题意；
对于选项B，函数为非奇非偶函数，即B不符合题意；
对于选项C，函数既是奇函数，又在区间上单调递增，即C符合题意；
对于选项D，函数是偶函数，即D不符合题意，
即选项A,C符合题意，
故选：AC.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，属基础题.
10.已知是平行四边形对角线的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
对于选项A，结合相等向量的概念即可判断，
对于选项B，由平行四边形法则即可判断，
对于选项C，由向量的减法即可判断，
对于选项D，由向量的加法运算即可判断.
【详解】解：因为是平行四边形对角线的交点，
对于选项A，结合相等向量的概念可得，，即A正确；
对于选项B，由平行四边形法则可得，即B正确；
对于选项C，由向量的减法可得，即C错误；
对于选项D，由向量的加法运算可得，即D错误，
综上可得A,B正确，
故选：AB.
【点睛】本题考查了相等向量的概念，重点考查了向量的加法运算及减法运算，属中档题.
11.一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点第一次到达最高点需要10秒
B. 在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米
C. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米
【答案】BC
【解析】
【分析】
先由题意求出点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，再结合函数解析式逐一判断即可.
【详解】解：对于选项C，由题意可得：点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，即选项C正确；
对于选项A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；
对于选项B，令，解得，
即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；
对于选项D,因为 ，即点在水面下方，距离水面2.4米,所以D错误，
综上可得选项B,C正确，
故选：BC.
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了解三角不等式，属中档题.
12.将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的（ ）
A. 周期是 B. 增区间是
C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由三角函数图像的平移变换及伸缩变换求得函数，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.
【详解】解：将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数，
对于选项A，函数的周期为，即A正确；
对于选项B，令，即，
即函数的增区间是，即B正确；
对于选项C，令，解得：，即函数的对称中心为，即选项C正确；
对于选项D，令，则，即函数的对称轴方程为，即选项D错误；
综上可得选项A,B,C正确，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.
三?填空题：
13.己知是上的奇函数，当时，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数奇偶性，结合时函数解析式求解即可.
【详解】解：由是上的奇函数，当时，，
则，
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，属基础题.
14.设，，则______.
【答案】
【解析】
分析】
由对数的运算可得，再结合对数恒等式求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了对数的运算，重点考查了对数恒等式，属基础题.
15.已知，，，则实数________，_______.
【答案】 (1). 3 (2). 2
【解析】
【分析】
先由向量的模求得，再代入运算即可得解.
【详解】解：因为，，
则，
又，则，解得，
即，
故答案为：(1)3 (2)2.
【点睛】本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积的坐标运算，属基础题.
16.已知函数，.任取，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
分析】
先将问题转化为对任意恒成立，再结合不等式恒成立问题，可将问题转化为对任意恒成立，然后求最值即可得解.
【详解】解：由不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，
又函数在为减函数，
即，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.
四?解答题：
17.已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用向量数量积的坐标运算及模的运算，再求向量夹角即可；
（2）由向量与垂直等价于，再求解即可.
【详解】解：（1），
（2），
又与垂直，
即，
故.
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算及模的运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属中档题.
18.函数（其中，）的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点，点，且.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的单调区间.
【答案】（1），，（2）增区间为，减区间为
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数图像求解即可；
（2）先求出的范围，再结合函数的单调区间求解即可.
【详解】解：（1）∵点是函数图象的最高点,
则，
又，，，，
，，
又，，，，，
又，；
（2）由（1）知，，，
由，解得，即函数的增区间为；
由，解得，即函数的减区间为.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数单调区间的求法，属中档题.
19.已知，.其中均为锐角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数的求值再结合两角和差的余弦公式求解即可；
（2）由两角和，差的余弦可得，，再求解即可.
【详解】解：（1）由，则，.又因为，，
所以，
.
，
，
（2）由（1）得，①
又因为，所以，②
由①，②得，，
所以.
【点睛】本题考查了同角三角函数的求值问题，重点考查了两角和差的余弦公式，属中档题.
20.某公司生产某种产品的速度为千克/小时，每小时可获得的利润是元，其中.
（1）要使生产该产品每小时获得的利润为60元，求每小时生产多少千克?
（2）要使生产400千克该产品获得的利润最大，问：此公司每小时应生产多少千克产品?并求出最大利润.
【答案】（1）每小时生产4千克（2）每小时生产6千克时，获得的最大利润为6025元
【解析】
【分析】
（1）先阅读题意，再列方程求解即可；
（2）结合二次函数最值的求法，配方求解即可.
【详解】解：（1）当每小时可获得的利润60元时，，
得，所以，又因为，
所以，
答：每小时生产4千克，利润60元；
（2）设生产400千克的产品获得的利润为元，
则，
，
当时，即，可知，所以当时，，
答：要使生产400千克该产品获得的利润最大，该厂应选每小时生产6千克时，获得的最大利润为6025元.
【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.
21.已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先由函数为奇函数，可得，再利用定义法证明函数单调性即可；
（2）结合函数的性质可将问题转化为在上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可.
【详解】解：（1）∵函数是定义域为的奇函数，
，，
等式对于任意的均恒成立，得，
则，
即，
设为任意两个实数，且，
，
因为，则，
所以，即，
因此函数在上是增函数;
（2）由不等式对任意的恒成立，
则.由（1）知，函数在上是增函数，
则，即在上恒成立.令，，则在上恒成立.
①当时，即，可知，即，
所以；
②当时，即，可知.
即，所以；
③当时，即，可知，即，
所以，
综上，当时，不等式对任意的恒成立.
【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.
22.已知，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求正数的取值范围.
【答案】（1），，（2）（3）或或
【解析】
【分析】
（1）由向量数量积的坐标运算及辅助角公式可得，再解方程即可；
（2）原命题可转化为，恒成立，再求实数的取值范围；
（3）原方程可以化为，则或，再讨论的取值范围使得方程有两个解即可.
【详解】解：（1）由，，
又，则，
即，
又因为，则，或，
则或，
又，所以，.
（2）当时，，可得，
令，则，即恒成立，
则可得.
（3）可知函数在区间和上为增函数，在上为减函数，画出函数在上的图象.
原方程可以化为，则或，
①当时，则，要使得原方程有两个不同的实数解，只需，即，
②当时，则，可知原方程的根为，；
③当时，则，可知原方程有3个根，不符合题意；
④当时，，可知原方程的根为，；
⑤当时，则，可知原方程有3个根，不符合题意.
综上可知，当或或时，原方程有两个不同的根.
【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及辅助角公式，重点考查了不等式恒成立问题及数形结合的数学思想方法，属中档题.
- 22 -