江苏省南通市启东市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析word版

江苏省南通市启东市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、单项选择题：
1.的值是（ ）
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3.满足的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
4.在梯形中，，，是边上的点，且.若记，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9.已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.已知、、是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C 若，则 D. 若，则
11.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图所示，点、是函数的图象与轴的交点，点在、之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ）
A.
B.
C. 的单调增区间为
D. 的图象关于直线对称
三、填空题：.
13.计算：______.
14.已知函数，若，则______.
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，，，设.若，则点的坐标为______；若，则的取值范围为______.
16.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：
17.设全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，求实数的取值范围.
18.已知函数.
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，求的值.
19.已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
20.如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
21.“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.
（1）试求该流水线技术投入的取值范围；
（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.
22.已知函数，，.
（1）若，解关于的方程；
（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；
（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.
江苏省南通市启东市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、单项选择题：
1.的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求出的值.
【详解】根据诱导公式可得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
2.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于的不等式组，即可求出函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3.满足的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】满足的集合有：、、.
因此，满足的集合的个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4.在梯形中，，，是边上的点，且.若记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形，由向量加法的三角形法则得出可得出答案.
【详解】如下图所示：
由题意可得，
由向量加法的三角形法则可得.
故选：A.
【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
5.已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式求出的值.
【详解】为第三象限角，所以，，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.
6.已知向量，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即可.
【详解】向量，，，
又且，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
7.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性得出与的大小关系，由指数函数的单调性可得出与的大小关系 ，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】幂函数在区间上为减函数，，即；
指数函数在上为增函数，，即.
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.
8.在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.
【详解】，则，由正余混弦的定义可得.
则有，解得，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解和的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
二、多项选择题：
9.已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
作出韦恩图，结合图形可判断出各选项的正误.
【详解】如下图所示：
全集，集合、满足，则，，，.
故选：BD.
【点睛】本题考查集合运算正误的判断，根据题意作出韦恩图是关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
10.已知、、是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义可判断出A、C选项的正误；利用共线向量的定义可判断出B选项的正误；在等式两边平方，可判断出D选项的正误.
【详解】对于A选项，设与的夹角为，则，则，，
则与同向，所以，A选项正确；
对于B选项，由于、、是三个非零向量，且，，则存在非零实数、，使得，，，，B选项正确；
对于C选项，，则，即，所以，与在方向上的投影相等，C选项错误；
对于D选项，在等式两边平方得，整理得，则，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查有关向量命题真假的判断，涉及平面向量数量积的定义、共线向量的定义的理解，考查推理能力，属于基础题.
11.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐一判断各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间上的单调性，从而可得出结论.
【详解】对于A选项，设，定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，
且该函数在区间上为增函数，所以，该函数在区间上为减函数；
对于B选项，设，定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，
当时，，则该函数在区间上为增函数；
对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，
当时，，则该函数在区间上为增函数，该函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数为奇函数，且在区间上不单调.
故选：AC.
【点睛】本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题.
12.如图所示，点、是函数的图象与轴的交点，点在、之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ）
A.
B.
C. 的单调增区间为
D. 的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据图象以及题中信息求出函数的解析式，可判断出B选项的正误；求出的值，可判断出A选项的正误；结合余弦型函数的基本性质可判断出C、D选项的正误.
【详解】由题意可知，当的面积最大时，点为函数图象上的一个最高点，
设点的坐标为，由余弦型函数的对称性可知，又，
则为等腰直角三角形，且，则直线的斜率为，
得，则点的坐标为，
所以，函数最小正周期为，，
，得，，，
，得，则，，B选项错误；
，A选项正确；
解不等式，解得，
所以，函数的单调递增区间为，C选项错误；
，所以，函数的图象关于直线对称，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查余弦型三角函数基本性质的判断，根据图象求出三角函数的解析式是关键，考查计算能力，属于中等题.
三、填空题：.
13.计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数幂和对数的运算性质可计算出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数与对数计算，考查指数幂与对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
14.已知函数，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
分、、三种情况解方程，即可得出结果.
【详解】，当时，令，解得（舍去）；
当时，令，解得或（舍去）；
当时，令，解得（舍去）.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，，，设.若，则点的坐标为______；若，则的取值范围为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的取值范围.
【详解】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，如下图所示：
则，设点、，
则，，
，.
当时，，，则点；
由上可知，，，
则，
因此，的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】本题考查点的坐标的计算，同时也考查了平面向量数量积的取值范围的求解，解题的关键就是将点的坐标利用三角函数表示，考查运算求解能力，属于中等题.
16.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，函数在区间和上均有两个零点，利用数形结合思想和代数法可求出实数的取值范围，综合可得出答案.
【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；
当时，令，得，该方程至多两个根.
由于函数恰有个不同的零点，则函数在区间和上均有两个零点.
由题意知，直线与函数在区间上图象有两个交点，如下图所示：
由图象可知，，解得；
函数在区间上也有两个零点，
令，解得，，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想以及代数法的应用，属于中等题.
四、解答题：
17.设全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）①；②；③.
【解析】
【分析】
（1）将代入集合，求出集合和，然后利用交集的定义可求出集合；
（2）选择①，根据得出关于实数的不等式组，解出即可；选择②，由，可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可；选择③，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，
，，
因此，；
（2），.
选择①，，则或，解得或，
此时，实数的取值范围是；
选择②，，，则，解得，
此时，实数的取值范围是；
选择③，，或，解得或，
此时，实数的取值范围是.
综上所述，选择①，实数取值范围是；
选择②，实数的取值范围是；
选择③，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
18.已知函数.
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）周期为，增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想可得出，利用周期公式可求出函数的周期，分别解不等式和，可得出该函数的增区间和减区间；
（2）由可得出，利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.
【详解】（1），
所以，函数的周期为，
令，解得；
令，解得.
因此，函数的增区间为，减区间为；
（2），，
，，，
.
【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力，属于中等题.
19.已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）设，可知函数为增函数，由，可得出，且有，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，
，
因此，函数为奇函数；
（2）设，由于函数为增函数，函数为减函数，
所以，函数为增函数，当时，则，
且，则，
令，.
所以，，.
【点睛】本题考查函数奇偶性的证明，同时也考查了指数型函数在区间上最值的求解，利用换元法转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
20.如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
21.“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.
（1）试求该流水线技术投入的取值范围；
（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.
【答案】（1）；（2）当时，，此时；当时，，此时.
【解析】
分析】
（1）由题意得出，解此不等式即可得出的取值范围；
（2）比较与的大小关系，分析二次函数在区间上的单调性，由此可得出函数的最大值及其对应的的值.
【详解】（1），，由题意可得，即，
解得，因此，该流水线技术投入的取值范围是；
（2）二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，当时，；当时，
【点睛】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
22.已知函数，，.
（1）若，解关于的方程；
（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；
（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；
（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；
（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，定义域为.
由，可得，可得，
解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；
（2）当时，.
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；
当时，令，得，此时，
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.
，，由于，所以，解得.
此时，.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），
由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，
所以，函数在区间上为减函数，
所以，，
由题意可得，可得，
所以，.
①当时，；
②当时，令，设，
可得.
下面利用定义证明函数在区间上的单调性，
任取、且，即，
，
，，，，即，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值.
综上所述，函数在上的最大值为，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.
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