江苏省南通市如皋市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析word版

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一?单项选择题：
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则实数m＝（ ）
A. 3 B. C. D. ﹣3
3.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二?多项选择题：
9.下列个结论中，正确的结论是（ ）
A. 对任意角，使得
B. 存在角和，使得
C. 存在无穷多个角和，使得
D. 对任意角和，都有
10.关于函数，，下述结论正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则
B. 若是偶函数，则也为偶函数
C. 若满足，则是区间上的增函数
D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数
11.在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上是单调增函数
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的值域是
三?填空题
13.已知，那么 ．
14.已知函数，则是________函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为________.
15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，，的中点，则的值为________.
16.已知函数其中，且，若函数有个不同的零点，，，且，则实数的取值范围是________.
四?解答题：
17.已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，点，设.
（1）若，求的值；
（2）若点的纵坐标为，求的值.
19.已知函数，其中为实数.
（1）若，求证：函数在上为减函数；
（2）若为奇函数，求实数的值.
20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
21.如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值.
22.已知函数，其中.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.
江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一?单项选择题：
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算，再计算得到答案.
【详解】全集，集合，，则.
.
故选：.
【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，意在考查学生的计算能力.
2.已知向量，且，则实数m＝（ ）
A. 3 B. C. D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m的方程,然后解方程求出的值.
【详解】解:由,得,
因为,所以,
所以,所以.
故选:.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.
3.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了具体函数的定义域，意在考查学生的计算能力.
4.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到，代入数据计算得到答案.
详解】，则.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数的平移和计算，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握..
5.函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，；当时，，对比图像得到答案.
【详解】当时，；当时，，对比图像知满足.
故选：.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.
6.已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，，代入计算得到，得到，计算得到答案.
【详解】当时，，则，，
即，解得，故.
故选：.
【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到，再利用齐次式计算得到答案.
【详解】，解得.
.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数化简，齐次式的应用，意在考查学生的计算能力.
8.已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对称中心得到，得到答案.
【详解】函数的图象关于点及直线对称.
则.
在不存在最值，则，故时满足条件，，.
，则.
当时满足条件，故.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.
二?多项选择题：
9.下列个结论中，正确的结论是（ ）
A. 对任意角，使得
B. 存在角和，使得
C. 存在无穷多个角和，使得
D. 对任意角和，都有
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据诱导公式和和差公式依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 对任意角，，错误；
B. 当时，成立，故正确；
C. 当时，任意，成立，故正确；
D. 当时，不成立，故错误；
故选：.
【点睛】本题考查了诱导公式和和差公式，意在考查学生对于三角函数公式的理解.
10.关于函数，，下述结论正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则
B. 若是偶函数，则也为偶函数
C. 若满足，则是区间上的增函数
D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；
B. 若是偶函数， ，故，也为偶函数，正确；
C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；
D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数
设，则
，故单调递增，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11.在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量运算依次计算每个选项判断得到答案.
【详解】A. ，正确；
B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确；
故选：.
【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.
12.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上是单调增函数
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的值域是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
化简得到，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数的最小正周期为；函数在上先增后减；
函数的图象关于直线对称；函数的值域是；
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，对称和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，画出函数图像是解题的关键.
三?填空题
13.已知，那么 ．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：齐次式、倍角公式.
14.已知函数，则是________函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式的解集为________.
【答案】 (1). 奇 (2).
【解析】
【分析】
，计算得到得到答案，化简得到，根据函数单调性得到答案.
【详解】函数单调递增，故单调递增；
，函数单调递增；
，故是奇函数；
，即.
故，解得.
故答案为：奇；.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为米的正方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，，的中点，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，计算直线方程得到坐标，，计算向量得到答案.
【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.
延长与交于点，，故为中点.
直线，同理可得：直线，直线；
解得：，，
，，故，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能力和计算能力，建立坐标系转化为坐标运算是解题的关键.
16.已知函数其中，且，若函数有个不同的零点，，，且，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数图像，排除的情况，根据对称性得到，计算得到答案.
【详解】如图所示：当时，函数有个不同的零点，不满足；
当时，不妨设，根据对称性知，故.
，故，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.
四?解答题：
17.已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）计算得到，，再计算并集得到答案.
（2）或，，根据计算得到答案.
【详解】（1），
当时，，
所以.
（2），则或，
，
因为，所以，解得.
【点睛】本题考查了并集运算，根据交集运算结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.
18.如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，点，设.
（1）若，求的值；
（2）若点的纵坐标为，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，则，，计算，根据计算得到答案.
（2）计算得到，利用和差公式将展开计算得到答案.
【详解】（1）设，则，.
所以，
.
（2），且，，
所以，所以，.
所以.
【点睛】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.
19.已知函数，其中为实数.
（1）若，求证：函数在上为减函数；
（2）若为奇函数，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析（2）或
【解析】
【分析】
（1）对于，，且，计算得到证明.
（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到答案.
【详解】（1）当时，，
对于，，且，
因为，所以，所以，
又因，，且，所以，
即，所以，.
所以函数在上为减函数.
（2），
若为奇函数，则，即.
所以
，
所以，所以，或.
【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为
【解析】
【分析】
（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.
（2）计算，得到，得的最值.
【详解】（1）设，则在直角中，，.
在直角中，，
.
，，
所以当，即，的最大值为.
（2）在直角中，由，
可得.
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当，达到最大值.
【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.
21.如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，，得到，，计算得到答案.
（2），代入数据化简得到答案.
【详解】（1）设，，因为，是的中点，
所以.①
设，，
故，整理得，
又，即，
所以.②
联立①②，据平面向量其本定理，得解得，，
所以实数值为.
（2）因为，所以，即，
所以
.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.
22.已知函数，其中.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.
（2）化简得到恒成立，计算函数的最大值得到答案.
（3）化简得到，确定在和上都各有个不同的零点，计算得到答案.
【详解】（1）当时，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递减.
当时，，
所以在上单调递增.
因为函数的图象在上不间断，
所以的单调减区间是，单调增区间是.
（2）对任意恒成立.
因为，，所以，
故不等式可化为，即，
所以问题转化为不等式对任意恒成立.
又在上单调递减，
所以，
所以.
（3），其中.
显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，
至多有个不同的零点，
又有个不同的零点，
所以在和上都各有个不同的零点，
所以且即
又，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，根据零点个数求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
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