人教版数学九年级上册 23.2中心对称同步测试试题（一）（Word版 含解析）

中心对称同步测试试题（一）
一．选择题
1．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（-2,0） B（0,-2） C．（0,2） D（1,2）
4．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣，） B．（﹣1，） C．（﹣，） D．（﹣，）
6．如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，线段OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是每秒转动30°，则第2020秒时，OA与OB之间的夹角的度数为（　　）
A．90° B．145° C．150° D．165°
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
9．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．2
10．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C （5，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，则点C′的坐标为（　　）
A． C．
二．填空题
11．已知点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，则a＝　 　．
12．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为　 　．
13．关于原点对称，则n﹣m的值为　 　．
14．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B（﹣1，2），第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1；第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，……按此规律，经过第五次旋转得到的点A5坐标为　 　．
三．解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B在第一象限，AB⊥OA，AB＝OA，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转105°得到△OA'B'，连接BB'．
（Ⅰ）求∠OBB'的度数；
（Ⅱ）求出点B'的坐标．
17．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？
18．在平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣1），请解答下列问题：
（1）若点P在第三象限，则a的取值范围为　 　；
（2）若点P在y轴上，则a的值为　 　；
（3）当a＝2时，点P关于y轴对称的点的坐标为　 　点P关于原点对称的点的坐标为　 　．
19．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（，0）．
（1）如图1，求点C的横坐标；
（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有圆，菱形，正方形，正六边形共4个．
故选：B．
3．【解答】解：点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，0）．
故选：A．
4．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
5．【解答】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A（1，0），
∴OA＝1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH＝AH＝OA＝，BH＝OH＝，
∴B（，），
∵∠AOB＝∠BOB′＝60°，∠JOA＝90°，
∴∠BOJ＝∠JOB′＝30°，
∵OB＝OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ＝JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（﹣，），
故选：A．
6．【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝s，
∵EF＝AB，GH＝BC，
∴S1＝s，S2＝s，
∴＝＝，
故选：B．
7．【解答】解：设t秒第一次相遇．
由题意：270+30t＝45t，
解得t＝18，
相遇后设m秒第二次相遇，则有45t﹣30t＝360，
解得t＝24，
以后每过24秒相遇一次，
（2020﹣18）÷24＝83…10，
∴2020秒时，10×45°﹣10×30°＝150°，
故选：C．
8．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
9．【解答】解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
设P（0，m），则OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ（AAS），
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q（m，m+2），
∵B（4，0），
∴BQ＝＝，
∴当m＝1时，BQ有最小值3，
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C （5，1），
将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，如图所示：
则点C′的坐标为（1，3）．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：如图，观察图象可知，P′（1，2）．
故答案为（1，2）．
13．【解答】解：∵点（m，3n）与点（﹣4，9）关于原点对称，
∴3n＝﹣9，m＝4，
∴n＝﹣3，
∴n﹣m＝﹣3﹣4＝﹣7．
故答案为：﹣7．
14．【解答】解：如图，旋转中心M即为所求．M（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
15．【解答】解：∵点B（﹣1，2），
∴A（﹣1，0），OA＝BC＝1，AB＝OC＝2，
∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1，且A1O＝AO＝1，OC1＝OC＝2，
第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，且B2O＝C1O+B1C1＝3…，依此规律，
∴A1（0，1），A2（3，2），A3（5，0），A4（6，1），A5（9，2），
故答案为（9，2）．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（Ⅰ）∵△OAB≌△OA′B′，
∴OB＝OB′，
又∠BOB′＝105°，
∴∠OBB′＝∠OB′B＝（180°﹣105°）＝37.5°．
（Ⅱ）过点B′作B′C垂直于x轴，垂足为C．
∵OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2，
∴∠COB′＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
在Rt△OCB′中，B′C＝OB′＝，
∴OC＝CB′＝，
∴B′（﹣，）．
17．【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：
∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴∠B＝∠DEC，
∵AF∥BE，
∴∠F＝∠DEC，
∴∠B＝∠F．
18．【解答】解：（1）∵点P（a，﹣1），点P在第三象限，
∴a＜0；
故答案为：a＜0；
（2）∵点P（a，﹣1），点P在y轴上，
∴a＝0；
故答案为：0；
（3）当a＝2时，点P（a，﹣1）的坐标为：（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣1），
点P关于原点对称的点的坐标为：（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，﹣1），（﹣2，1）．
19．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴DA＝DB，
∵DO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵B（，0），
∴OA＝OB＝，
∴AB＝2，
∴BC＝AB＝，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝90°，
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，
∴OH＝OB﹣BH＝，
∴C（，）．
（2）如图2中，∵△PAQ是是等腰三角形，∠PAQ＝30°