L2020～2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
函数的定义域为(
B
)
A.
B.
C.
D.
2.
椭圆的焦距等于(
C
)
A.2
B.6
C.
D.
3.
已知数列的前项和,则的通项公式为(
B
)
A.
B.
C.
D.
4.
已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为(
D
)
A.
B.
C.
D.
5.
《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过天，该木锤剩余的长度为(尺)，则与的关系为(
A
)
A.
B.
C.
D.
6.
已知“”是“”的充分条件,则的取值范围是(
D
)
A.
B.
C.
D.
7.
设，则的值为
(C
)
A.11
B.8
C.10
D.20
8.
已知，，若恒成立，则实数的取值范围是(
A
)
A.
B.
C.
或
D.
或
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.
若椭圆的离心率为，则的值可能为(AC
)
A.
B.6
C.3
D.
10.
下列各函数中，最小值为2的是(
BC
)
A.
B.，
C.
D.
11.
若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是(
CD
)
A.
B.椭圆的焦距为
C.若椭圆C的焦点在轴上，则
D.若椭圆C的焦点在轴上，则
12.
下面命题正确的是(AD
)
A.“”是“”的必要条件
B.设，，则“”是“”的充要条件
C.设，则“”是“”的充要条件
D.命题“，”的否定是“，”
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分(其中16题第一空2分，第二空3分)
13.
已知△ABC的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是__▲____
【答案】.
14.
若，，，则的最小值为__▲____.
【答案】
15.
如图，正方形的边长为5,取正方形各边中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是
▲
【答案】
16.
已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且的面积等于6，则实数的值为___▲____，实数的取值范围为___▲____.
【答案】
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本题满分10分)
已知等差数列的前项和为，.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)求的最大值及相应的的值.
解：(Ⅰ)在等差数列中，∵
，………………………………………………………………………2分
解得，…………………………………………………………………………4分
∴；………………………………………………………6分
(Ⅱ)
，…………………………………………………8分
∴当或时，有最大值是12.…………………………………………10分
18.
(本题满分12分)
已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2.
(1)椭圆的标准方程;
(2)已知过点且斜率为1的直线交椭圆于两点,求线段的长度.
解：⑴由，短轴长为2.
得：,所以，…………………………………………………………………………2分
∴椭圆方程为.……………………………………………………………………………4分
⑵设,
由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线过点且斜率为1,
∴直线的方程为②,
………………………………………………………6分
把②代入①得化简并整理得,……………………………………………………8分
所以,……………………………………………………………9分
又.………………………………………………12分
19.
(本题满分12分)
沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节.2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边(墙不需要隔离带)，并共用垂直于墙的一条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边长不小于3米，每个长方形平行于墙的边长也不小于3米.
(1)设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米，试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；
(2)当为何值时，所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？
【答案】(1)由题得每个长方形平行于墙的边长米，
则，………………………………………………………………2分
且，………………………………………………………………4分
，
所以函数的定义域为；………………………………………………………………6分
(2)，……………………………………………………8分
当且仅当，即时取等号，……………………………………………
10分
故当垂直于墙的边长为时，所用隔离带的总长度最小，隔离带的总长度最小值是.…12分
20(本题满分12分)
在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，____________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)
(1)求数列，的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求.
解：方案一：选条件①
(1),,……………2分
解得或(舍去),……………………………………………………….3分
,…………………………………………………………………….4分
,……………………………6分
方案二：选条件②
(1)
,
,
解得或(舍去),,
方案三：选条件③
解得或(舍去)
(2)………………….8分
所以………12分
21.
(本题满分12分)
若关于的不等式的解集是.
(1)解不等式；
(2)若对于任意的不等式恒成立，求的取值范围.
解：(1)由题意知且－3和1是方程的两根………2分
∴,
解得…………………………………………………………4分
∴不等式，即为，
解得或.∴所求不等式的解集为或…………….6分
(2)，即为，，
法一.分离参数：不等式恒成立转换为，即…………….8分
利用定义证明在是单调递增，…………………………..10分
求出的最小值为
,……………………………………………………………….12分
法二.可以利用动轴定区间讨论(同样给分)
当，即时，
不满足；
综上所述：b的取值范围为：
22.
(本题满分12分)
己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点，是否存在实数当使得的面积为？若存在求出实数的值；若不存在说明理由.
解：(Ⅰ)由题意知：，，则，，
椭圆的方程为：.……………………………………...2分
(Ⅱ)存在实数当使得的面积为.
设，,
联立,得：…………………...4分
，解得：…………………..6分
，,
…………………...8分
又点到直线的距离为：…………………...10分
，解得：,
…………………..12分
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高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．椭圆的焦距等于（
）
A．2
B．6
C．
D．
3．已知数列的前项和,则的通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过天，该木锤剩余的长度为(尺)
，则与的关系为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知“”是“”的充分条件,则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设，则
的值为（
）
A．11
B．8
C．10
D．20
8．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若椭圆的离心率为，则的值可能为（
）
A．
B．6
C．3
D．
10．下列各函数中，最小值为2的是（
）
A．
B．，
C．
D．
11．若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是（
）
A．
B．椭圆的焦距为
C．若椭圆C的焦点在轴上，则
D．若椭圆C的焦点在轴上，则
12．下面命题正确的是（
）
A．“”是“”的必要条件
B．设，，则“”是“”的充要条件
C．设，则“”是“”的充要条件
D．命题“，”的否定是“，”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分(其中16题第一空2分，第二空3分)
13．已知△ABC的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是
▲
14．若，，，则的最小值为
▲
.
15．如图，正方形的边长为5,取正方形各边中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是
▲
16．已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且的面积等于6，则实数的值为
▲
，实数的取值范围为
▲
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知等差数列的前项和为，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的最大值及相应的的值.
18．（本题满分12分）
已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2.
（1）椭圆的标准方程;
（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于两点,求线段的长度.
19．（本题满分12分）
沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节。2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边(墙不需要隔离带)，并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米.
（1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米.试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？
20．（本题满分12分）
在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，
.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（1）求数列，的通项公式
（2）设数列的前项和为，求.
21．（本题满分12分）
若关于的不等式的解集是.
（1）解不等式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
22．（本题满分12分）
己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，是否存在实数，使得的面积为？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
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