高中物理人教版必修2 导学案7.1-2 追寻守恒量——能量 功 Word版含解析
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| 名称 | 高中物理人教版必修2 导学案7.1-2 追寻守恒量——能量 功 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 464.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-11-25 09:06:58 | ||
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文档简介
第七章 机械能守恒定律
1 追寻守恒量——能量
力F1对物体做了20 J的功，力F2对物体做了－100 J的功，F1、F2哪一个力对物体做的功多？
提示：功是标量，只有大小，没有方向，功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小，所以F2对物体做的功多．
2．正功和负功
力F与位移l方向的夹角为α，则根据功的公式W＝Flcosα可知：
(1)当α＝时，cosα＝0，W＝0.表示力F的方向跟位移l的方向垂直时，力F不做功．
(2)当α<时，cosα>0，W>0.表示力F对物体做正功．
(3)当<α≤π时，cosα<0，W<0.表示力F对物体做负功，也可以说物体克服力F做功．
3．合力的功
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和．
如图所示，用F＝20 N的水平恒力通过一轻质滑轮拉动物体，物体沿水平面前进了l＝1 m的距离，求此过程中力F对物体所做的功．(不计轻质滑轮摩擦及滑轮的重力)
提示：物体前进的位移为l＝1 m，则力F的作用点沿力的方向移动的位移为l′＝2 m，故W＝Fl′＝20×2 J＝40 J.
考点一 功的计算
1．定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功．
2．做功的条件：力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素．
3．功的计算
(1)公式W＝Flcosα的推导：当物体受力的方向与运动方向成一夹角α时，可根据力F的作用效果把F沿两个方向分解即跟位移方向一致的分力F1，和跟位移方向垂直的分力F2，如图所示，则F1＝Fcosα，F2＝Fsinα.根据做功的两个不可缺少的因素可知：分力F1对物体所做的功等于F1l，而分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，所以分力F2所做的功等于零．所以，力F所做的功W＝F1l＝Flcosα.
(2)计算公式：W＝Flcosα，其中α指力F与位移l的夹角．这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．
(3)对公式W＝Flcosα的理解
①只适用于恒力做功的计算．②计算做功时一定要明确是哪个力对物体做功．③力对物体做功的多少只与F、l、α三者有关，与物体的运动状态无关．④当力的方向与位移的方向相同时：W＝Flcos0°＝Fl.
4．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J.1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
5．功是一个过程量，所描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的积累效应．
6．物体受到多个外力作用时，计算总功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算．
(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、……Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn.
【例1】 一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F＝10 N的作用，在水平地面上移动的距离为s＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力为f＝4.2 N．求：(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(1)各个力对物体所做的功；
(2)合外力对物体所做的功；
(3)各个力对物体所做的功的代数和．
解答本题应先分析物体的受力情况，然后利用W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功．
【解析】 (1)物体的受力情况如图所示，根据功的计算公式可得各个力对物体所做的功分别为
WF＝Fscos37°＝10×2×0.8 J＝16 J
Wf＝fscos180°＝4.2×2×(－1)J
＝－8.4 J
WG＝0 WN＝0
(2)物体所受的合外力为
F合＝Fcos37°－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
故合外力所做的功为W合＝F合scos0°＝3.8×2×1 J＝7.6 J
(3)物体所受的各个力所做的功的代数和为W总＝WF＋Wf＋WG＋WN＝16 J＋(－8.4) J＋0＋0＝7.6 J.
【答案】 (1)拉力做功16 J，摩擦力做功－8.4 J 重力、支持力不做功 (2)7.6 J (3)7.6 J
总结提能 对于总功的计算，常见的求解方法有两种：(1)先对物体进行受力分析，根据功的计算式求出各个力所做的功，然后求它们的代数和．(2)先对物体进行受力分析，求出物体所受的合力，然后根据功的计算式求出合力所做的功．
如图所示，在光滑水平面上，物体受两个沿水平方向、互相垂直的恒力F1和F2作用，从静止开始运动(沿图中虚线)，在物体发生一段位移的过程中，F1对物体做功4 J，F2对物体做功3 J，则F1和F2的合力对物体所做的功为( B )
A．5 J B．7 J
C．1 J D．3.5 J
解析：因物体沿图中虚线运动，故F1和F2与位移的夹角都小于90°，说明两力均对物体做正功．
根据合力对物体所做的功等于各个力对物体做功的代数和可知，合力对物体做的功为W合＝W1＋W2＝7 J，故B正确．
考点二 正功和负功
(1)功是标量，没有方向，但有正功和负功之分．
(2)力对物体做正功还是负功，由F与l方向的夹角α大小来决定．
①当0≤α<时，cosα>0，此时W＝Flcosα>0，力对物体做正功．
②当α＝时，cosα＝0，此时W＝Flcosα＝0，力对物体不做功．
③当<α≤π时，cosα<0，此时W＝Flcosα<0，力对物体做负功．
(3)正功、负功的物理意义
意义 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
(4)对负功的理解
①不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反．
②一个力对物体做负功，可以说成物体克服这个力做了功(正值)．如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了6 J的功．
【例2】 如图所示，A、B叠放在一起，用绳将A连在墙上，用力F拉着B向右移动，用F拉、fAB、fBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．F做正功，fAB做负功，fBA做正功，F拉不做功
B．F和fBA做正功，F拉和fAB做负功
C．F做正功，fAB做负功，fBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力不做功
判断一个力对物体是否做功，做正功还是负功，可根据力与位移之间的夹角α进行判断：当0≤α<时力做正功；当α＝时力不做功；当<α≤π时力做负功．
【解析】 由W＝Flcosα结合题意知，力F的作用点的位移不为零，且与F方向相同，故F做正功；绳子拉力F拉的作用点的位移和fBA的作用点的位移都为零，故F拉与fBA都不做功；fAB的作用点的位移不为零，且与fAB方向相反，故fAB做负功．选项C正确．
【答案】 C
总结提能 力做正功还是负功的关键是看力与位移的夹角．若夹角是锐角则做正功；若夹角为钝角则做负功；若夹角为直角则不做功．
(多选)质量为m的物体在粗糙的水平面上运动，受到水平力F的作用，下列叙述中正确的是( ACD )
A．如果物体做匀加速直线运动，则力F一定做正功
B．如果物体做匀加速直线运动，则力F可能做负功
C．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做正功
D．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做负功
解析：物体在粗糙的水平面上运动一定要受到摩擦阻力，当物体在力F作用下做匀加速直线运动时，力F与位移的夹角为0°，力对物体一定做正功．当物体在力F作用下做匀减速直线运动时，力F与位移的夹角可以为0°也可以为180°，故力对物体可以做正功，也可以做负功．
考点三 摩擦力做功情况分析
1．滑动摩擦力与静摩擦力都可以对物体不做功．
如图甲所示，物块A从斜槽上滑下，最后停在被固定的平板车B上．在物块A与平板车B相对滑动的过程中，平板车B所受的滑动摩擦力不做功．
手握瓶子使其水平运动，如图乙所示，此时瓶所受静摩擦力的方向与位移方向垂直，静摩擦力对瓶子不做功．
2．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功．
如图甲所示，在物块A与平板车B相对滑动的过程中，物块所受的滑动摩擦力对物块做负功．如图丙所示，在一与水平方向有一夹角的传送带上，有一物体A随传送带一起匀速向下运动，此时静摩擦力对物体A做负功．
3．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
如图甲所示，如果平板车不固定，且地面光滑，在物块A滑上平板车B的过程中，物块对平板车的滑动摩擦力与平板车的运动方向夹角为0°，此时滑动摩擦力对平板车做正功．
如图丙所示，如果物体A随传送带一起匀速向上运动，物体A所受静摩擦力与物体位移方向的夹角为0°，此时静摩擦力对物体A做正功．
4．摩擦力做功的特点
(1)摩擦力方向与运动方向垂直或无路程，则摩擦力不做功．
(2)摩擦力方向与运动方向成锐角，则摩擦力做正功．
(3)摩擦力方向与运动方向成钝角，则摩擦力做负功．
(4)摩擦力做功的多少与位移无关，只与路程有关．
①物体做单方向的直线运动时，路程与位移大小相等，此时摩擦力做功W＝Fl(l指位移，F指摩擦力)．
②物体做往复运动或曲线运动时，路程与位移大小不同，此时摩擦力做功W＝Fs(s指路程，F指摩擦力)．
【例3】 如图所示的水平传送装置，A、B的间距为l，传送带以速度v匀速转动．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求零件从A运动到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．
要求摩擦力对零件所做的功，关键是确定零件在摩擦力方向上的位移是多少．由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能．
【解析】 零件与传送带之间的摩擦力大小为f＝μmg.
分两种情况进行讨论：
(1)零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A运动到B的过程中一直受摩擦力作用，且摩擦力做正功，则摩擦力对零件所做的功为W＝fl＝μmgl.
(2)零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只在速度达到v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，不受摩擦力作用(既无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在)，则摩擦力对零件所做的功为
W′＝fl′＝μmg＝mv2.
【答案】 μmgl或mv2
总结提能 本题中隐含着两种运动情况，如果不进行细致的运动过程分析，就有可能漏掉其中一种情况．物体在运动的过程中，不一定始终都受某个力的作用，在计算该力所做的功时，要注意力和位移的同时性．
如图所示，水平传送带以v＝6 m/s的速度顺时针运转，两转动轮M、N之间的距离L＝10 m，在M轮的正上方，将一质量m＝3 kg的物体轻放在传送带上．
(1)已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？
(2)若物体与传送带间的动摩擦因数μ′＝0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？(取g＝10 m/s2)
解析：(1)物体在传送带上的加速度
a＝＝＝μg＝0.3×10 m/s2＝3 m/s2，
设一段时间后物体的速度增大到v＝6 m/s，此后物体与传送带速度相同，二者之间不再有相对滑动，滑动摩擦力随之消失．滑动摩擦力的作用时间t＝＝ s＝2 s，
在这2 s内物体水平向右运动的位移
l＝at2＝×3×22 m＝6 m所以滑动摩擦力对物体做的功
W＝Ffl＝μmgl＝0.3×3×10×6 J＝54 J.
(2)若μ′＝0.1，则物体在传送带上的加速度
a′＝＝＝μ′g＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2，
物体速度增大到v＝6 m/s时的位移
l′＝＝ m＝18 m>L，
故物体从M到N一直加速，滑动摩擦力对物体做的功
W′＝Ff′L＝μ′mgL＝0.1×3×10×10 J＝30 J.
答案：(1)54 J (2)30 J
1．(多选)下列关于功的说法正确的是( CD )
A．物体只要受力且运动，该力就一定做功
B．若物体受力，但力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
C．力做功总是在某个过程中完成的，所以功是一个过程量
D．一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移间夹角的余弦三者的乘积
解析：物体受力并且在力的方向上有位移，力才对物体做功，选项A错误；力对物体不做功可能是物体位移为零，也可能是力的方向与物体位移方向垂直，选项B错误；功是过程量，选项C正确；根据功的计算公式W＝Flcosα，选项D正确．
2．如图所示，稳站在商店自动扶梯水平踏板上的人，随扶梯斜向上做加速运动，则在此过程中( C )
A．人只受到重力和踏板的支持力作用
B．人受到的重力和踏板的支持力大小相等方向相反
C．支持力对人做正功
D．支持力对人做功为零
解析：人随扶梯向上加速运动时，受踏板支持力、静摩擦力(水平向右)和重力作用，人处于超重状态，支持力大于重力，故选项A，B错误；支持力与位移方向夹角小于90°，支持力对人做正功，选项C正确，D错误．
3．根据力对物体做功的条件，下列说法中正确的是( B )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
解析：由于行李受力平衡，工人对行李的作用力竖直向上，与行李的运动方向始终垂直，故对行李不做功，选项A错误；工人对行李的作用力与行李的运动方向夹角为锐角，故对行李做正功，选项B正确；根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等，方向相反，但二者对不同的物体做功，两个受力物体的位移大小不一定相等，所以选项C错误；摩擦力是变力，且总与物体相对地面的运动方向相反，因此当物体回到出发点后，虽然物体位移为0，但摩擦力仍对物体做了负功，故选项D错误．
4．(多选)一个质量是5 kg的物体被人用手匀加速向上托高1 m，g＝10 m/s2，下列说法中正确的是( CD )
A．手对物体做功50 J
B．合力对物体做功0 J
C．物体克服重力做功50 J
D．手对物体做正功，且大于50 J
解析：物体向上做匀加速运动，手对物体的作用力F>mg＝50 N且为恒力，故手对物体做的功W1＝Fh>mgh＝50 J．合力做功W合＝(F－mg)h>0，选项A，B错误，D正确；重力做功W2＝－mgh＝－50 J，选项C正确．
5.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s过程中(g取10 m/s2)，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
解析：物体处于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，物体处于受力平衡状态，物体受到的所有的力都要做功，因此先
由平衡状态求出Ff、FN，由位移公式求出x，然后由功的公式求各力所做的功．
受力分析如图所示．
由平衡条件得
Ffcosθ－FNsinθ＝0，
Ffsinθ＋FNcosθ－G＝0，
代入数据得 Ff＝10 N，FN＝10 N.
由功的公式得：
(1)斜面对物体支持力所做的功
WN＝FNxcosθ＝FNvtcosθ＝10×5×4×cos30°J＝300 J.
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsinθ＝10×5×4×sin30°J＝100 J.
(3)物体重力做的功
WG＝Gxcos180°＝－20×5×4 J＝－400 J.
(4)合外力对物体做的功
方法1：W合＝WN＋Wf＋WG＝0.
方法2：W合＝F合xcosα＝0.
答案：(1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
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——思想方法系列(十一)
求解变力做功的几种方法
[方法解读]
功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W＝Flcosα只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等．
1．用公式W＝lcosα求变力做功
如果物体受到的力是随位移均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小＝来计算变力做功，其中F1为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力．
2．用图象法求变力做功
在F－l图象中，图线与l轴所围的“面积”的代数和表示F做的功．“面积”有正负，在l轴上方的“面积”为正，在l轴下方的“面积”为负．
【例1】 一物体所受的力F随位移l发生如图所示的变化，求这一过程中，力F对物体做的功为多少？
[解析] 力F对物体做的功等于l轴上方的正功(梯形“面积”)与l轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和．
S梯形＝×(4＋3)×2 J＝7 J
S三角形＝－×(5－4)×2 J
＝－1 J
所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J.
[答案] 6 J
3．用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F的方向始终与速度的方向相同，要求F做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
【例2】 如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．
[解析] 质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3…Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δln)＝2πRF.
[答案] 2πRF
4．用等效法求变力做功
若某一变力做的功等效于某一恒力做的功，则就可以应用公式W＝Flcosα来求．这样，变力做功问题可转化为恒力做功问题．
【例3】 如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物体缓慢移动．开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面的高度为h.求绳子的拉力F′对物体做的功．(绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计)
[解析] 在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力(F′方向改变)，但拉力F′的作用效果与恒力F的作用效果相同，因此绳子的拉力F′对物体做的功等于力F所做的功．
由题图可知，力F的作用点移动的位移大小为
l＝－＝h(－)
则WF′＝WF＝Fl＝Fh(－)．
[答案] Fh(－)
总结提能 除了前面介绍的几种方法，今后学习了动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律后，还可以利用这些定理(或定律)，从功能关系的角度求解变力做功的问题．
[变式训练] 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)重力mg做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N做的功．
解析：(1)将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·R≈20π J≈62.8 J.
(2)重力mg做的功 WG＝－mgR(1－cos60°)＝－50 J.
(3)物体受的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
答案：(1)62.8 J (2)－50 J (3)0
1 追寻守恒量——能量
力F1对物体做了20 J的功，力F2对物体做了－100 J的功，F1、F2哪一个力对物体做的功多？
提示：功是标量，只有大小，没有方向，功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小，所以F2对物体做的功多．
2．正功和负功
力F与位移l方向的夹角为α，则根据功的公式W＝Flcosα可知：
(1)当α＝时，cosα＝0，W＝0.表示力F的方向跟位移l的方向垂直时，力F不做功．
(2)当α<时，cosα>0，W>0.表示力F对物体做正功．
(3)当<α≤π时，cosα<0，W<0.表示力F对物体做负功，也可以说物体克服力F做功．
3．合力的功
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和．
如图所示，用F＝20 N的水平恒力通过一轻质滑轮拉动物体，物体沿水平面前进了l＝1 m的距离，求此过程中力F对物体所做的功．(不计轻质滑轮摩擦及滑轮的重力)
提示：物体前进的位移为l＝1 m，则力F的作用点沿力的方向移动的位移为l′＝2 m，故W＝Fl′＝20×2 J＝40 J.
考点一 功的计算
1．定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功．
2．做功的条件：力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素．
3．功的计算
(1)公式W＝Flcosα的推导：当物体受力的方向与运动方向成一夹角α时，可根据力F的作用效果把F沿两个方向分解即跟位移方向一致的分力F1，和跟位移方向垂直的分力F2，如图所示，则F1＝Fcosα，F2＝Fsinα.根据做功的两个不可缺少的因素可知：分力F1对物体所做的功等于F1l，而分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，所以分力F2所做的功等于零．所以，力F所做的功W＝F1l＝Flcosα.
(2)计算公式：W＝Flcosα，其中α指力F与位移l的夹角．这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．
(3)对公式W＝Flcosα的理解
①只适用于恒力做功的计算．②计算做功时一定要明确是哪个力对物体做功．③力对物体做功的多少只与F、l、α三者有关，与物体的运动状态无关．④当力的方向与位移的方向相同时：W＝Flcos0°＝Fl.
4．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J.1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
5．功是一个过程量，所描述的是力在物体沿力的方向发生位移的过程中的积累效应．
6．物体受到多个外力作用时，计算总功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算．
(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、……Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn.
【例1】 一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F＝10 N的作用，在水平地面上移动的距离为s＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力为f＝4.2 N．求：(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(1)各个力对物体所做的功；
(2)合外力对物体所做的功；
(3)各个力对物体所做的功的代数和．
解答本题应先分析物体的受力情况，然后利用W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功．
【解析】 (1)物体的受力情况如图所示，根据功的计算公式可得各个力对物体所做的功分别为
WF＝Fscos37°＝10×2×0.8 J＝16 J
Wf＝fscos180°＝4.2×2×(－1)J
＝－8.4 J
WG＝0 WN＝0
(2)物体所受的合外力为
F合＝Fcos37°－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
故合外力所做的功为W合＝F合scos0°＝3.8×2×1 J＝7.6 J
(3)物体所受的各个力所做的功的代数和为W总＝WF＋Wf＋WG＋WN＝16 J＋(－8.4) J＋0＋0＝7.6 J.
【答案】 (1)拉力做功16 J，摩擦力做功－8.4 J 重力、支持力不做功 (2)7.6 J (3)7.6 J
总结提能 对于总功的计算，常见的求解方法有两种：(1)先对物体进行受力分析，根据功的计算式求出各个力所做的功，然后求它们的代数和．(2)先对物体进行受力分析，求出物体所受的合力，然后根据功的计算式求出合力所做的功．
如图所示，在光滑水平面上，物体受两个沿水平方向、互相垂直的恒力F1和F2作用，从静止开始运动(沿图中虚线)，在物体发生一段位移的过程中，F1对物体做功4 J，F2对物体做功3 J，则F1和F2的合力对物体所做的功为( B )
A．5 J B．7 J
C．1 J D．3.5 J
解析：因物体沿图中虚线运动，故F1和F2与位移的夹角都小于90°，说明两力均对物体做正功．
根据合力对物体所做的功等于各个力对物体做功的代数和可知，合力对物体做的功为W合＝W1＋W2＝7 J，故B正确．
考点二 正功和负功
(1)功是标量，没有方向，但有正功和负功之分．
(2)力对物体做正功还是负功，由F与l方向的夹角α大小来决定．
①当0≤α<时，cosα>0，此时W＝Flcosα>0，力对物体做正功．
②当α＝时，cosα＝0，此时W＝Flcosα＝0，力对物体不做功．
③当<α≤π时，cosα<0，此时W＝Flcosα<0，力对物体做负功．
(3)正功、负功的物理意义
意义 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
(4)对负功的理解
①不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反．
②一个力对物体做负功，可以说成物体克服这个力做了功(正值)．如：一个力对物体做了－6 J的功，可以说成是物体克服这个力做了6 J的功．
【例2】 如图所示，A、B叠放在一起，用绳将A连在墙上，用力F拉着B向右移动，用F拉、fAB、fBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．F做正功，fAB做负功，fBA做正功，F拉不做功
B．F和fBA做正功，F拉和fAB做负功
C．F做正功，fAB做负功，fBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力不做功
判断一个力对物体是否做功，做正功还是负功，可根据力与位移之间的夹角α进行判断：当0≤α<时力做正功；当α＝时力不做功；当<α≤π时力做负功．
【解析】 由W＝Flcosα结合题意知，力F的作用点的位移不为零，且与F方向相同，故F做正功；绳子拉力F拉的作用点的位移和fBA的作用点的位移都为零，故F拉与fBA都不做功；fAB的作用点的位移不为零，且与fAB方向相反，故fAB做负功．选项C正确．
【答案】 C
总结提能 力做正功还是负功的关键是看力与位移的夹角．若夹角是锐角则做正功；若夹角为钝角则做负功；若夹角为直角则不做功．
(多选)质量为m的物体在粗糙的水平面上运动，受到水平力F的作用，下列叙述中正确的是( ACD )
A．如果物体做匀加速直线运动，则力F一定做正功
B．如果物体做匀加速直线运动，则力F可能做负功
C．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做正功
D．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做负功
解析：物体在粗糙的水平面上运动一定要受到摩擦阻力，当物体在力F作用下做匀加速直线运动时，力F与位移的夹角为0°，力对物体一定做正功．当物体在力F作用下做匀减速直线运动时，力F与位移的夹角可以为0°也可以为180°，故力对物体可以做正功，也可以做负功．
考点三 摩擦力做功情况分析
1．滑动摩擦力与静摩擦力都可以对物体不做功．
如图甲所示，物块A从斜槽上滑下，最后停在被固定的平板车B上．在物块A与平板车B相对滑动的过程中，平板车B所受的滑动摩擦力不做功．
手握瓶子使其水平运动，如图乙所示，此时瓶所受静摩擦力的方向与位移方向垂直，静摩擦力对瓶子不做功．
2．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功．
如图甲所示，在物块A与平板车B相对滑动的过程中，物块所受的滑动摩擦力对物块做负功．如图丙所示，在一与水平方向有一夹角的传送带上，有一物体A随传送带一起匀速向下运动，此时静摩擦力对物体A做负功．
3．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
如图甲所示，如果平板车不固定，且地面光滑，在物块A滑上平板车B的过程中，物块对平板车的滑动摩擦力与平板车的运动方向夹角为0°，此时滑动摩擦力对平板车做正功．
如图丙所示，如果物体A随传送带一起匀速向上运动，物体A所受静摩擦力与物体位移方向的夹角为0°，此时静摩擦力对物体A做正功．
4．摩擦力做功的特点
(1)摩擦力方向与运动方向垂直或无路程，则摩擦力不做功．
(2)摩擦力方向与运动方向成锐角，则摩擦力做正功．
(3)摩擦力方向与运动方向成钝角，则摩擦力做负功．
(4)摩擦力做功的多少与位移无关，只与路程有关．
①物体做单方向的直线运动时，路程与位移大小相等，此时摩擦力做功W＝Fl(l指位移，F指摩擦力)．
②物体做往复运动或曲线运动时，路程与位移大小不同，此时摩擦力做功W＝Fs(s指路程，F指摩擦力)．
【例3】 如图所示的水平传送装置，A、B的间距为l，传送带以速度v匀速转动．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求零件从A运动到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．
要求摩擦力对零件所做的功，关键是确定零件在摩擦力方向上的位移是多少．由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能．
【解析】 零件与传送带之间的摩擦力大小为f＝μmg.
分两种情况进行讨论：
(1)零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A运动到B的过程中一直受摩擦力作用，且摩擦力做正功，则摩擦力对零件所做的功为W＝fl＝μmgl.
(2)零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只在速度达到v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，不受摩擦力作用(既无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在)，则摩擦力对零件所做的功为
W′＝fl′＝μmg＝mv2.
【答案】 μmgl或mv2
总结提能 本题中隐含着两种运动情况，如果不进行细致的运动过程分析，就有可能漏掉其中一种情况．物体在运动的过程中，不一定始终都受某个力的作用，在计算该力所做的功时，要注意力和位移的同时性．
如图所示，水平传送带以v＝6 m/s的速度顺时针运转，两转动轮M、N之间的距离L＝10 m，在M轮的正上方，将一质量m＝3 kg的物体轻放在传送带上．
(1)已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？
(2)若物体与传送带间的动摩擦因数μ′＝0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？(取g＝10 m/s2)
解析：(1)物体在传送带上的加速度
a＝＝＝μg＝0.3×10 m/s2＝3 m/s2，
设一段时间后物体的速度增大到v＝6 m/s，此后物体与传送带速度相同，二者之间不再有相对滑动，滑动摩擦力随之消失．滑动摩擦力的作用时间t＝＝ s＝2 s，
在这2 s内物体水平向右运动的位移
l＝at2＝×3×22 m＝6 m
W＝Ffl＝μmgl＝0.3×3×10×6 J＝54 J.
(2)若μ′＝0.1，则物体在传送带上的加速度
a′＝＝＝μ′g＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2，
物体速度增大到v＝6 m/s时的位移
l′＝＝ m＝18 m>L，
故物体从M到N一直加速，滑动摩擦力对物体做的功
W′＝Ff′L＝μ′mgL＝0.1×3×10×10 J＝30 J.
答案：(1)54 J (2)30 J
1．(多选)下列关于功的说法正确的是( CD )
A．物体只要受力且运动，该力就一定做功
B．若物体受力，但力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
C．力做功总是在某个过程中完成的，所以功是一个过程量
D．一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移间夹角的余弦三者的乘积
解析：物体受力并且在力的方向上有位移，力才对物体做功，选项A错误；力对物体不做功可能是物体位移为零，也可能是力的方向与物体位移方向垂直，选项B错误；功是过程量，选项C正确；根据功的计算公式W＝Flcosα，选项D正确．
2．如图所示，稳站在商店自动扶梯水平踏板上的人，随扶梯斜向上做加速运动，则在此过程中( C )
A．人只受到重力和踏板的支持力作用
B．人受到的重力和踏板的支持力大小相等方向相反
C．支持力对人做正功
D．支持力对人做功为零
解析：人随扶梯向上加速运动时，受踏板支持力、静摩擦力(水平向右)和重力作用，人处于超重状态，支持力大于重力，故选项A，B错误；支持力与位移方向夹角小于90°，支持力对人做正功，选项C正确，D错误．
3．根据力对物体做功的条件，下列说法中正确的是( B )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
解析：由于行李受力平衡，工人对行李的作用力竖直向上，与行李的运动方向始终垂直，故对行李不做功，选项A错误；工人对行李的作用力与行李的运动方向夹角为锐角，故对行李做正功，选项B正确；根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等，方向相反，但二者对不同的物体做功，两个受力物体的位移大小不一定相等，所以选项C错误；摩擦力是变力，且总与物体相对地面的运动方向相反，因此当物体回到出发点后，虽然物体位移为0，但摩擦力仍对物体做了负功，故选项D错误．
4．(多选)一个质量是5 kg的物体被人用手匀加速向上托高1 m，g＝10 m/s2，下列说法中正确的是( CD )
A．手对物体做功50 J
B．合力对物体做功0 J
C．物体克服重力做功50 J
D．手对物体做正功，且大于50 J
解析：物体向上做匀加速运动，手对物体的作用力F>mg＝50 N且为恒力，故手对物体做的功W1＝Fh>mgh＝50 J．合力做功W合＝(F－mg)h>0，选项A，B错误，D正确；重力做功W2＝－mgh＝－50 J，选项C正确．
5.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s过程中(g取10 m/s2)，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
解析：物体处于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，物体处于受力平衡状态，物体受到的所有的力都要做功，因此先
由平衡状态求出Ff、FN，由位移公式求出x，然后由功的公式求各力所做的功．
受力分析如图所示．
由平衡条件得
Ffcosθ－FNsinθ＝0，
Ffsinθ＋FNcosθ－G＝0，
代入数据得 Ff＝10 N，FN＝10 N.
由功的公式得：
(1)斜面对物体支持力所做的功
WN＝FNxcosθ＝FNvtcosθ＝10×5×4×cos30°J＝300 J.
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxsinθ＝10×5×4×sin30°J＝100 J.
(3)物体重力做的功
WG＝Gxcos180°＝－20×5×4 J＝－400 J.
(4)合外力对物体做的功
方法1：W合＝WN＋Wf＋WG＝0.
方法2：W合＝F合xcosα＝0.
答案：(1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
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——思想方法系列(十一)
求解变力做功的几种方法
[方法解读]
功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W＝Flcosα只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等．
1．用公式W＝lcosα求变力做功
如果物体受到的力是随位移均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小＝来计算变力做功，其中F1为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力．
2．用图象法求变力做功
在F－l图象中，图线与l轴所围的“面积”的代数和表示F做的功．“面积”有正负，在l轴上方的“面积”为正，在l轴下方的“面积”为负．
【例1】 一物体所受的力F随位移l发生如图所示的变化，求这一过程中，力F对物体做的功为多少？
[解析] 力F对物体做的功等于l轴上方的正功(梯形“面积”)与l轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和．
S梯形＝×(4＋3)×2 J＝7 J
S三角形＝－×(5－4)×2 J
＝－1 J
所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J.
[答案] 6 J
3．用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F的方向始终与速度的方向相同，要求F做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
【例2】 如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．
[解析] 质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3…Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δln)＝2πRF.
[答案] 2πRF
4．用等效法求变力做功
若某一变力做的功等效于某一恒力做的功，则就可以应用公式W＝Flcosα来求．这样，变力做功问题可转化为恒力做功问题．
【例3】 如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物体缓慢移动．开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面的高度为h.求绳子的拉力F′对物体做的功．(绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计)
[解析] 在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力(F′方向改变)，但拉力F′的作用效果与恒力F的作用效果相同，因此绳子的拉力F′对物体做的功等于力F所做的功．
由题图可知，力F的作用点移动的位移大小为
l＝－＝h(－)
则WF′＝WF＝Fl＝Fh(－)．
[答案] Fh(－)
总结提能 除了前面介绍的几种方法，今后学习了动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律后，还可以利用这些定理(或定律)，从功能关系的角度求解变力做功的问题．
[变式训练] 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)重力mg做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N做的功．
解析：(1)将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·R≈20π J≈62.8 J.
(2)重力mg做的功 WG＝－mgR(1－cos60°)＝－50 J.
(3)物体受的支持力N始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
答案：(1)62.8 J (2)－50 J (3)0