高中物理人教版必修2 导学案6.3 万有引力定律 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版必修2 导学案6.3 万有引力定律 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 386.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-11-25 09:31:47 | ||
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文档简介
3 万有引力定律
【例1】 (1)由天文观测数据可知，月球绕地球周期为27.32天，月球与地球间相距3.84×108 m，由此可计算出加速度a＝0.002 7 m/s2.
(2)地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，与月球的向心加速度之比为1?3 630，而地球半径(6.4×106 m)和月球与地球间距离的比值为1?60.这个比值的平方1?3 600与上面的加速度比值非常接近．以上结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G＝mg
D．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关
明确牛顿月—地检验的目的和检验方法是解答本题的关键．
【解析】 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明了地球表面上的物体所受地球的引力和天体之间的引力是同一性质的力．
【答案】 A
总结提能 月—地检验的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律．
用M表示地球的质量，R表示地球的半径，r月地表示月球到地球的距离．在地球引力作用下：
①地面上物体的重力加速度g＝.
②月球的加速度a月＝.
③已知r月地＝60R，利用①②求＝1?3 600.
④已知r月地＝3.8×108 m，月球绕地球运行的周期T＝27.3天，计算月球绕地球运行的向心加速度a月．
⑤已知重力加速度g＝9.8 m/s2，利用④中算出的a月求的值．
⑥比较③⑤，你能得出什么结论？
解析：①设物体质量为m，在地面上时：
＝mg得g＝.
②月球受地球的万有引力F＝＝m月a月
得a月＝.
③＝＝()2＝1?3 600.
④由a＝()2·r得a月＝()2×3.8×108 m/s2≈2.7×10－3 m/s2.
⑤＝≈.
⑥比较③⑤可知月球所受引力与地面上物体所受引力遵循相同的规律，因而是同一性质的力．
答案：④2.7×10－3 m/s2 ⑤ ⑥略
考点二 万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
(2)公式：F＝G，其中m1、m2表示两个物体的质量，r表示它们之间的距离，G为引力常量，它是一个与任何物体的性质都无关的常量，在国际单位制中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其物理意义为两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力的大小．
(3)适用条件
①严格地说，万有引力定律适用于质点间的相互作用．
②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离．
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也适用，其中r为两物体质心间的距离．
(4)对万有引力定律的理解
①万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．
②万有引力的相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上．
③万有引力的宏观性：在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．
④万有引力的特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体及物体的运动状态无关．
【例2】 关于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力
D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
本题考查对万有引力定律的理解，解题时要根据万有引力定律的相关知识进行分析判断．
【解析】 万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，则r为两质点间的距离，而认为r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大的纯数学思想是不正确的，此时公式不再适用，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不可能是平衡力，所以选项C正确，D错误．
【答案】 C
总结提能 利用万有引力定律解题时，要注意以下三点：(1)理解万有引力定律的内容和适用范围；(2)知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律；(3)明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法．
(多选)关于万有引力定律及公式F＝G，下列说法中正确的是( CD )
A．公式F＝G只适用于计算天体与天体之间的万有引力
B．当两物体间的距离r很近时，两物体间已不存在万有引力，故不能用公式F＝G来计算
C．地球表面的物体受到地球的万有引力可用公式F＝G计算
D．在教室内，同学之间也有万有引力
解析：万有引力定律不仅适用于两质点间，也适用于两个质量均匀分布的球体之间，故A错误，C正确；自然界中任何有质量的物体间都存在万有引力，是无条件的，故B错误，D正确．
考点三 引力常量
(1)卡文迪许实验
①实验示意图
②实验的简单描述
A．图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为m′的大球，用一束光射向平面镜．
B．由于大、小球之间的引力作用，T形框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F，再测出m、m′和球心的距离r，即可求出引力常量G＝.
(2)引力常量测定的意义
①卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．
②第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值．
③标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代．
④引力常量G的测出也表明：任何规律的发现都是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成．
【例3】 (多选)关于引力常量，下列说法正确的是( )
A．引力常量是两个质量为1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值
C．引力常量的测定，证明了万有引力的存在
D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量
1．引力常量的物理意义
引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互引力．
2．引力常量测定的物理意义
卡文迪许利用铅球间的万有引力测出了引力常量G的数值，有力地证明了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量的计算；同时，也标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代．
【解析】 引力常量的大小等于两个质量是1 kg的物体相距1 m时的万有引力的数值，而引力常量不能等于物体间的吸引力，故A错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以B错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在．
【答案】 CD
总结提能 (1)卡文迪许巧妙地利用扭秤实验测定了引力常量G＝.(2)引力常量的测定有着非常重要的意义，它不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有真正的实用价值．
(多选)关于引力常量，下列说法中正确的是( AC )
A．G值的测出使万有引力定律有了真实的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力为6.67×10－11N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制选择无关
解析：利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A正确．引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义是两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的万有引力为6.67×10－11 N，它的大小与所选的单位有关，故C正确，B、D错误．
考点四 万有引力与重力的关系
(1)重力是万有引力的一个分力
①地面上物体受重力．在地球表面上的物体随地球的自转而做圆周运动，物体受到指向圆周圆心(圆心位于地球的自转轴上)的向心力作用，此向心力由地球对物体的万有引力在指向圆心方向的分力提供．而万有引力的另一分力，即为物体所受的重力G＝mg，如图所示．
②F＝G，F向＝mrω2，物体位于赤道时，向心力指向地心，三力同向，均指地心，满足F＝F′向＋G赤，即G＝mRω2＋mg赤，当物体在地球的南北两极时，向心力F′为零，F＝G极，即G＝mg极．
③当物体从赤道向两极移动时，根据F′向＝mRω2知，向心力减小，则重力增大，只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力．从赤道向两极，重力加速度增大，而重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心．
(2)在不考虑地球自转的情况下，物体在地球表面上所受的万有引力跟重力相同，即在地球表面近似认为：G＝mg.
(3)重力加速度
①在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力．由mg＝G可得地球表面的重力加速度g＝.
提示：利用g＝可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径．
②物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．
③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：＝2.
【例4】 设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9
C．1/4 D．1/16
①利用g＝可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径．
②物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．
③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：＝()2.
【解析】 本题考查万有引力定律的简单应用．地球表面处的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
地面上，G＝mg0，①
离地心4R处，G＝mg，②
由①②两式得＝2＝.
【答案】 D
总结提能 由万有引力定律可知，星球表面物体的重力加速度g＝，应用该式解题时须注意R的含义．如果物体离地高度为h，则R＝R球＋h，此时有：g′＝，而M为该星球的质量．
地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( A )
A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
解析：由F＝G可知，物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．
1．引力常量很小，说明了( C )
A．万有引力很小
B．万有引力很大
C．很难观察到日常接触的物体间的万有引力，是因为它们的质量很小
D．只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力
解析：由F＝G可知，选项A，B，D错误，C正确．
2．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( B )
A．0 B.
C. D.
解析：对飞船应用牛顿第二定律有G＝mgh，则gh＝，故B正确．
3．如图所示，两个半径分别为r1＝0.40 m，r2＝0.60 m，质量分布均匀的实心球质量分别为m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，两球间距离为r0＝1.0 m，则两球间相互引力的大小为( A )
A．6.67×10－11 N B．大于6.67×10－11 N
C．小于6.67×10－11 N D．不能确定
解析：F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－11N.选项A正确．
4．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳的质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( AD )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：取质量为m的海水研究，太阳对海水的引力F1＝G，月球对海水的引力F2＝G，≈169.由于地球上不同区域到月球的距离不等，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异．故选项A，D正确．
5．两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，它们之间的万有引力是多大？请将这个力与轮船所受重力进行比较，看看是重力的多少倍？(g取10 m/s2)．
解析：由万有引力定律F＝G可得
F＝6.67×10－11× N＝6.67×10－5 N
万有引力与重力的比值
＝＝6.67×10－13.
答案：6.67×10－5 N 6.67×10－13
巧用“填补法”求物体间的万有引力
[方法解读]
1．万有引力定律的内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．其数学表达式为F＝G.
2．公式F＝G的适用条件
(1)严格地说，该公式只适用于计算两个质点之间的万有引力大小．
(2)对于质量分布均匀的两个球体之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，但要注意，此时式中的r是两个球体的球心间的距离．
(3)对于一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，此时式中的r是球体的球心到球外质点之间的距离．
如果在使用公式F＝G进行计算时，不注意公式的适用条件而盲目地套用，就有可能出现解题错误．
【例】 如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个与铅球相切的球形空穴，空穴直径为R，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M.求挖出空穴后铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力．
由于题目中没有告诉距离d与球的半径R之间的关系，因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点，故不能直接利用万有引力定律公式来计算引力的大小．
但是，可以用填补法求解，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律公式，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案．
[解析] 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(质量为，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2.
根据万有引力定律可得F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
F＝F1－F2＝G－G
＝.
[答案]
总结提能 处理本题的关键是采用填补法，把挖去的部分补上，然后把多计算的力从总的力中减去．对于此类问题，利用万有引力定律直接求解是不对的，当质点与质量分布均匀的球体间距离较小时，球体虽然不能被看做质点．但仍可用F＝计算求解，此时的r应等于质点与球心间的距离．此题目中球体被挖，质量分布不均匀，不符合此种情况求解，因此要先“填补”变为质量分布均匀的球体再求解．
[变式训练] 如图甲所示，两个半径均为R，质量均为M的均匀球体靠在一起，与两球心相距均为2R的质点m受到两球对它的万有引力的合力F1.现紧贴球的边缘各挖去一个半径为的球形空穴，如图乙所示，挖去后，质点m受到的合引力为F2，则( D )
A．F2＝F1 B．F2＝F1
C．F2＝F1 D．F2＝F1
解析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和．其中完整的均匀球体对球外质点m的引力为F1＝·2cos30°＝2cos30°，此力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F2与半径为的小球对m质点的引力F′之和，即：F1＝F2＋F′ .因半径为的小球质量M′为M′＝π3·ρ＝π3·＝.则有：F′＝G·2cos30°＝2cos30°.所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为F2＝F1－F′＝·2cos30°＝·2cos30°，所以有＝，故D正确，A、B、C错误．故选D.
【例1】 (1)由天文观测数据可知，月球绕地球周期为27.32天，月球与地球间相距3.84×108 m，由此可计算出加速度a＝0.002 7 m/s2.
(2)地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，与月球的向心加速度之比为1?3 630，而地球半径(6.4×106 m)和月球与地球间距离的比值为1?60.这个比值的平方1?3 600与上面的加速度比值非常接近．以上结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质力
B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力
C．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G＝mg
D．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关
明确牛顿月—地检验的目的和检验方法是解答本题的关键．
【解析】 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明了地球表面上的物体所受地球的引力和天体之间的引力是同一性质的力．
【答案】 A
总结提能 月—地检验的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律．
用M表示地球的质量，R表示地球的半径，r月地表示月球到地球的距离．在地球引力作用下：
①地面上物体的重力加速度g＝.
②月球的加速度a月＝.
③已知r月地＝60R，利用①②求＝1?3 600.
④已知r月地＝3.8×108 m，月球绕地球运行的周期T＝27.3天，计算月球绕地球运行的向心加速度a月．
⑤已知重力加速度g＝9.8 m/s2，利用④中算出的a月求的值．
⑥比较③⑤，你能得出什么结论？
解析：①设物体质量为m，在地面上时：
＝mg得g＝.
②月球受地球的万有引力F＝＝m月a月
得a月＝.
③＝＝()2＝1?3 600.
④由a＝()2·r得a月＝()2×3.8×108 m/s2≈2.7×10－3 m/s2.
⑤＝≈.
⑥比较③⑤可知月球所受引力与地面上物体所受引力遵循相同的规律，因而是同一性质的力．
答案：④2.7×10－3 m/s2 ⑤ ⑥略
考点二 万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
(2)公式：F＝G，其中m1、m2表示两个物体的质量，r表示它们之间的距离，G为引力常量，它是一个与任何物体的性质都无关的常量，在国际单位制中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其物理意义为两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力的大小．
(3)适用条件
①严格地说，万有引力定律适用于质点间的相互作用．
②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离．
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也适用，其中r为两物体质心间的距离．
(4)对万有引力定律的理解
①万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．
②万有引力的相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上．
③万有引力的宏观性：在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．
④万有引力的特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体及物体的运动状态无关．
【例2】 关于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力
D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
本题考查对万有引力定律的理解，解题时要根据万有引力定律的相关知识进行分析判断．
【解析】 万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，则r为两质点间的距离，而认为r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大的纯数学思想是不正确的，此时公式不再适用，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不可能是平衡力，所以选项C正确，D错误．
【答案】 C
总结提能 利用万有引力定律解题时，要注意以下三点：(1)理解万有引力定律的内容和适用范围；(2)知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律；(3)明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法．
(多选)关于万有引力定律及公式F＝G，下列说法中正确的是( CD )
A．公式F＝G只适用于计算天体与天体之间的万有引力
B．当两物体间的距离r很近时，两物体间已不存在万有引力，故不能用公式F＝G来计算
C．地球表面的物体受到地球的万有引力可用公式F＝G计算
D．在教室内，同学之间也有万有引力
解析：万有引力定律不仅适用于两质点间，也适用于两个质量均匀分布的球体之间，故A错误，C正确；自然界中任何有质量的物体间都存在万有引力，是无条件的，故B错误，D正确．
考点三 引力常量
(1)卡文迪许实验
①实验示意图
②实验的简单描述
A．图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为m′的大球，用一束光射向平面镜．
B．由于大、小球之间的引力作用，T形框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F，再测出m、m′和球心的距离r，即可求出引力常量G＝.
(2)引力常量测定的意义
①卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．
②第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值．
③标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代．
④引力常量G的测出也表明：任何规律的发现都是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成．
【例3】 (多选)关于引力常量，下列说法正确的是( )
A．引力常量是两个质量为1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值
C．引力常量的测定，证明了万有引力的存在
D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量
1．引力常量的物理意义
引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互引力．
2．引力常量测定的物理意义
卡文迪许利用铅球间的万有引力测出了引力常量G的数值，有力地证明了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量的计算；同时，也标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代．
【解析】 引力常量的大小等于两个质量是1 kg的物体相距1 m时的万有引力的数值，而引力常量不能等于物体间的吸引力，故A错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以B错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在．
【答案】 CD
总结提能 (1)卡文迪许巧妙地利用扭秤实验测定了引力常量G＝.(2)引力常量的测定有着非常重要的意义，它不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有真正的实用价值．
(多选)关于引力常量，下列说法中正确的是( AC )
A．G值的测出使万有引力定律有了真实的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力为6.67×10－11N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制选择无关
解析：利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A正确．引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义是两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的万有引力为6.67×10－11 N，它的大小与所选的单位有关，故C正确，B、D错误．
考点四 万有引力与重力的关系
(1)重力是万有引力的一个分力
①地面上物体受重力．在地球表面上的物体随地球的自转而做圆周运动，物体受到指向圆周圆心(圆心位于地球的自转轴上)的向心力作用，此向心力由地球对物体的万有引力在指向圆心方向的分力提供．而万有引力的另一分力，即为物体所受的重力G＝mg，如图所示．
②F＝G，F向＝mrω2，物体位于赤道时，向心力指向地心，三力同向，均指地心，满足F＝F′向＋G赤，即G＝mRω2＋mg赤，当物体在地球的南北两极时，向心力F′为零，F＝G极，即G＝mg极．
③当物体从赤道向两极移动时，根据F′向＝mRω2知，向心力减小，则重力增大，只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力．从赤道向两极，重力加速度增大，而重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心．
(2)在不考虑地球自转的情况下，物体在地球表面上所受的万有引力跟重力相同，即在地球表面近似认为：G＝mg.
(3)重力加速度
①在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力．由mg＝G可得地球表面的重力加速度g＝.
提示：利用g＝可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径．
②物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．
③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：＝2.
【例4】 设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9
C．1/4 D．1/16
①利用g＝可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径．
②物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．
③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：＝()2.
【解析】 本题考查万有引力定律的简单应用．地球表面处的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
地面上，G＝mg0，①
离地心4R处，G＝mg，②
由①②两式得＝2＝.
【答案】 D
总结提能 由万有引力定律可知，星球表面物体的重力加速度g＝，应用该式解题时须注意R的含义．如果物体离地高度为h，则R＝R球＋h，此时有：g′＝，而M为该星球的质量．
地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( A )
A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
解析：由F＝G可知，物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．
1．引力常量很小，说明了( C )
A．万有引力很小
B．万有引力很大
C．很难观察到日常接触的物体间的万有引力，是因为它们的质量很小
D．只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力
解析：由F＝G可知，选项A，B，D错误，C正确．
2．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( B )
A．0 B.
C. D.
解析：对飞船应用牛顿第二定律有G＝mgh，则gh＝，故B正确．
3．如图所示，两个半径分别为r1＝0.40 m，r2＝0.60 m，质量分布均匀的实心球质量分别为m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，两球间距离为r0＝1.0 m，则两球间相互引力的大小为( A )
A．6.67×10－11 N B．大于6.67×10－11 N
C．小于6.67×10－11 N D．不能确定
解析：F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－11N.选项A正确．
4．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳的质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( AD )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：取质量为m的海水研究，太阳对海水的引力F1＝G，月球对海水的引力F2＝G，≈169.由于地球上不同区域到月球的距离不等，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异．故选项A，D正确．
5．两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，它们之间的万有引力是多大？请将这个力与轮船所受重力进行比较，看看是重力的多少倍？(g取10 m/s2)．
解析：由万有引力定律F＝G可得
F＝6.67×10－11× N＝6.67×10－5 N
万有引力与重力的比值
＝＝6.67×10－13.
答案：6.67×10－5 N 6.67×10－13
巧用“填补法”求物体间的万有引力
[方法解读]
1．万有引力定律的内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．其数学表达式为F＝G.
2．公式F＝G的适用条件
(1)严格地说，该公式只适用于计算两个质点之间的万有引力大小．
(2)对于质量分布均匀的两个球体之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，但要注意，此时式中的r是两个球体的球心间的距离．
(3)对于一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，此时式中的r是球体的球心到球外质点之间的距离．
如果在使用公式F＝G进行计算时，不注意公式的适用条件而盲目地套用，就有可能出现解题错误．
【例】 如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个与铅球相切的球形空穴，空穴直径为R，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M.求挖出空穴后铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力．
由于题目中没有告诉距离d与球的半径R之间的关系，因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点，故不能直接利用万有引力定律公式来计算引力的大小．
但是，可以用填补法求解，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律公式，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案．
[解析] 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(质量为，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2.
根据万有引力定律可得F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
F＝F1－F2＝G－G
＝.
[答案]
总结提能 处理本题的关键是采用填补法，把挖去的部分补上，然后把多计算的力从总的力中减去．对于此类问题，利用万有引力定律直接求解是不对的，当质点与质量分布均匀的球体间距离较小时，球体虽然不能被看做质点．但仍可用F＝计算求解，此时的r应等于质点与球心间的距离．此题目中球体被挖，质量分布不均匀，不符合此种情况求解，因此要先“填补”变为质量分布均匀的球体再求解．
[变式训练] 如图甲所示，两个半径均为R，质量均为M的均匀球体靠在一起，与两球心相距均为2R的质点m受到两球对它的万有引力的合力F1.现紧贴球的边缘各挖去一个半径为的球形空穴，如图乙所示，挖去后，质点m受到的合引力为F2，则( D )
A．F2＝F1 B．F2＝F1
C．F2＝F1 D．F2＝F1
解析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和．其中完整的均匀球体对球外质点m的引力为F1＝·2cos30°＝2cos30°，此力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F2与半径为的小球对m质点的引力F′之和，即：F1＝F2＋F′ .因半径为的小球质量M′为M′＝π3·ρ＝π3·＝.则有：F′＝G·2cos30°＝2cos30°.所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为F2＝F1－F′＝·2cos30°＝·2cos30°，所以有＝，故D正确，A、B、C错误．故选D.