高中物理人教版必修2 导学案第五章 曲线运动 整合提升 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 高中物理人教版必修2 导学案第五章 曲线运动 整合提升 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 595.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-11-25 09:35:33 | ||
图片预览
文档简介
[例1] 如图所示，有一只小船正在过河，河宽d＝300 m，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，水的流速v1＝1 m/s.小船以下列条件过河时，求过河的时间．
(1)以最短的时间过河；
(2)以最短的位移过河．
[解析] (1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v2的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则
最短时间tmin＝＝ s＝100 s.
(2)因为v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过河时间t＝＝≈106.1 s.
[答案] (1)100 s (2)106.1 s
[例2] 在光滑水平面上，一个质量为2 kg的物体从静止开始运动，在前5 s内受到一个沿正东方向、大小为4 N的水平恒力作用；从第5 s末到第15 s末改受正北方向、大小为2 N的水平恒力作用．求物体在15 s内的位移和15 s末的速度．
[解析] 如图所示，物体在前5 s内由坐标原点开始沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
5 s内物体沿正东方向的位移
x1＝a1t＝×2×52 m＝25 m.
5 s末物体的速度v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正东．
5 s末物体改受正北方向的外力F2，则物体同时参与了两个方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运动，5 s末到15 s末沿正东方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m.
5 s后物体沿正北方向分运动的加速度
a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，
5 s末到15 s末物体沿正北方向的位移y＝a2t＝50 m.
15 s末物体沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10 m/s.
根据平行四边形定则可知，物体在15 s内的位移
l＝≈135 m，
方向为东偏北θ角，tanθ＝＝.
物体在15 s末的速度v＝＝10 m/s，
方向为东偏北α角，由tanα＝＝1，得α＝45°.
[答案] 物体15 s内的位移为135 m，方向为东偏北θ角，且tanθ＝ 15 s末的速度为10 m/s，方向为东偏北45°角
总结提能 本题中物体的运动分为两个阶段，前5 s内沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，后10 s内物体同时参与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运算法则求解即可．
专题二 平抛运动的解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：
(1)利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
(2)利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线，两直线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，则小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.
由竖直方向上的匀加速直线运动得
－＝gT2，所以T＝，
由水平方向上的匀速直线运动得
v0＝＝，
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在连续相等的时间内满足h1?h2?h3?…＝1?3?5?…因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内．
[例3] 在离地某一高度的同一位置处，有A、B两个小球，A球以vA＝3 m/s的速度水平向左抛出，同时B球以vB＝4 m/s的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它们之间的距离为多大？
[解析] 如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛出，它们始终在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，设vA′、vB′的方向和竖直方向的夹角分别为α和β，则
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.
则vAyvBy＝v＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.
得vAy＝，则时间t＝＝，
故距离s＝(vA＋vB)t＝≈2.47 m.
[答案] 2.47 m
[例4] 下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0 cm、y2为45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为40.0 cm.则平抛小球的初速度v0为________ m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度vC＝________ m/s(结果保留两位有效数字，g取10 m/s2)．
[解析] 由y＝gt2得，t1＝＝0.10 s，t2＝＝0.30 s，因此小球平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝2.0 m/s. 小球在C点时竖直方向的分速度vy3＝＝ m/s＝2 m/s，因此C点速度vC＝＝4.0 m/s.
[答案] 2.0 4.0
总结提能 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．
专题三 圆周运动问题
1．圆周运动的运动学分析
(1)正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系
线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由ω＝＝2πn，知ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．
(2)对公式v＝ωr及an＝＝ω2r的理解
①由v＝ωr，知r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
②由an＝＝ω2r，知v一定时，an与r成反比；ω一定时，an与r成正比．
2．圆周运动的动力学分析
匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，处理匀速圆周运动应抓住合力充当向心力这一特点，由牛顿第二定律来分析解决，此时公式F＝man中的F是指向心力，an是指向心加速度，即ω2r或或其他的用转速、周期、频率表示的形式．
圆周运动中应用牛顿第二定律的解题步骤：
(1)确定研究对象，确定圆周运动的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
(2)选定向心力的方向为正方向．
(3)受力分析(不要把向心力作为一种按性质命名的力进行分析)，利用直接合成法或正交分解法确定向心力的大小．
(4)选择恰当的向心力公式，由牛顿第二定律列方程．
(5)求解未知量并说明结果的物理意义．
3．利用正交分解法处理圆周运动问题
由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．
(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．
(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an(指向圆心)即为向心加速度，其大小为an＝＝rω2；加速度沿轨迹切线方向的分量aτ即为切向加速度．
合力沿半径方向的分量Fn(或所有外力沿半径方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为Fn＝m＝mω2r.合力沿切线方向的分力Fτ(或所有外力沿切线方向的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Fτ＝maτ.
[例5] 如下图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上．整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平．两球间用劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧连接在一起．左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L.现使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，转动角速度为ω，则当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？
[解析] 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，A、B两球水平方向受力如图所示，其中FT为细绳的拉力，F为弹簧的弹力．
[答案] Mω2L＋ L
总结提能 处理物体系统的匀速圆周运动问题要充分挖掘隐含条件．首先明确各物体做圆周运动的v、ω及r是多少，向心力是由什么力提供的，然后分析各物体做圆周运动的物理量之间有什么联系，从而建立方程求解相关问题．
[例6] 如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小．
[解析] 对小球进行受力分析如图所示，合力沿水平方向，则弹力FN＝.速度大小的计算过程如下：
[答案]
总结提能 解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式．
专题四 水平面内圆周运动的临界问题
关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关．在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解．常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题．
(2)因静摩擦力存在最大值而产生的圆周运动临界问题．
(3)受弹簧等约束的匀速圆周运动临界问题．
(4)与斜面有关的圆周运动临界问题．
[例7] 如图(1)所示，小球质量m＝0.8 kg，用两根长均为L＝0.5 m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点．已知AB＝0.8 m，当竖直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40 rad/s的角速度匀速转动时，取g＝10 m/s2，求上、下两根绳上的张力．
[解析] 设BC绳刚好伸直无拉力时，小球做圆周运动的角速度为ω0，绳AC与杆夹角为θ，且cosθ＝＝0.8，则θ＝37°，如图(2)甲所示，有mgtanθ＝mωr，
得ω0＝＝＝＝5 rad/s，
由ω＝40 rad/s>5 rad/s＝ω0，知BC绳已被拉直并有拉力，对小球受力分析建立如图乙所示的坐标系，将F1、F2正交分解，则沿y轴方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，
沿x轴方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，
代入有关数据，得F1＝325 N，F2＝315 N.
[答案] 325 N 315 N
总结提能 本题中的ω0为角速度的临界值，当ω<ω0时，小球受两个力，θ<37°；当ω＝ω0时，小球仍受两个力，但θ＝37°，且F1＝；当ω>ω0时，小球受三个力，θ＝37°.对这类有临界状态的问题必须先找出临界状态再作出判断．
[例8] 有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与圆盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R.
(1)圆盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
(2)分析转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？
[解析] 若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．
(1)A刚开始滑动时，A所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg＝mωR ①
又因为ω0＝2πn0 ② 由①②得n0＝ ，
即当n0＝ 时，物体A开始滑动．
(2)转速增加到2n0时，有μmg＋kΔx＝mωr，ω1＝2π·2n0，
r＝R＋Δx，整理得Δx＝.
[答案] (1) (2)
总结提能 求解有弹簧连接的物体做圆周运动的问题时，要明确各力的方向，半径的变化，并注意弹簧与绳的区别以及静摩擦力是可以变化的．
专题五 竖直平面内圆周运动的临界问题
1．没有物体支撑的小球(轻绳或单侧轨道类)
小球在最高点的临界速度(最小速度)是v0＝.小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为0，环对小球的弹力为0(临界条件：FT＝0或FN＝0)，此时重力提供向心力．所以v≥时，能通过最高点；v<时，不能达到最高点．
2．有物体支撑的小球(轻杆或双侧轨道类)
因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为0，即临界速度v0＝0，此时支持力FN＝mg.
[例9] (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度是0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
[解析] 设小球通过最高点时的速度为v.由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m.当FT＝0时，v＝，故A正确；当v<时，FT<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，FT>0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件．
[答案] AC
总结提能 运用极限思想解圆周运动中临界问题的方法
圆周运动中临界问题的分析，首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程求解．求解范围类极值(临界)问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围．
[例10] 如图所示，长度为l＝0.50 m的轻质细杆OA的A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2.试分析此时细杆OA受到小球的作用力的情况．
[解析] 方法1：设小球以速率v0通过最高点时，杆对球的作用力恰好为零，则mg＝m
解得v0＝＝ m/s＝ m/s
由于v＝2.0 m/s< m/s，所以在最高点细杆对小球产生支持力作用．
对小球，由牛顿第二定律得mg－N＝m
N＝mg－m＝(3.0×10－3.0×)N＝6.0 N
根据牛顿第三定律知，小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N.
方法2：设杆对小球施加拉力，即方向向下，由牛顿第二定律得N＋mg＝m
则N＝m－mg＝(3.0×－3.0×10) N
＝－6.0 N
负号说明N的方向与假设的方向相反，即向上，则在最高点，杆对小球有向上的支持力作用．
根据牛顿第三定律知，小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N.
[答案] 小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N
总结提能 分析竖直平面内的圆周运动时，首先要明确运动的模型，看物体做圆周运动的模型是属于绳约束类还是杆约束类，然后再由不同模型的临界条件分析物体的受力，找出向心力的来源，并结合其他条件建立方程来求解．
(1)以最短的时间过河；
(2)以最短的位移过河．
[解析] (1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v2的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则
最短时间tmin＝＝ s＝100 s.
(2)因为v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过河时间t＝＝≈106.1 s.
[答案] (1)100 s (2)106.1 s
[例2] 在光滑水平面上，一个质量为2 kg的物体从静止开始运动，在前5 s内受到一个沿正东方向、大小为4 N的水平恒力作用；从第5 s末到第15 s末改受正北方向、大小为2 N的水平恒力作用．求物体在15 s内的位移和15 s末的速度．
[解析] 如图所示，物体在前5 s内由坐标原点开始沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
5 s内物体沿正东方向的位移
x1＝a1t＝×2×52 m＝25 m.
5 s末物体的速度v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正东．
5 s末物体改受正北方向的外力F2，则物体同时参与了两个方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运动，5 s末到15 s末沿正东方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m.
5 s后物体沿正北方向分运动的加速度
a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，
5 s末到15 s末物体沿正北方向的位移y＝a2t＝50 m.
15 s末物体沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10 m/s.
根据平行四边形定则可知，物体在15 s内的位移
l＝≈135 m，
方向为东偏北θ角，tanθ＝＝.
物体在15 s末的速度v＝＝10 m/s，
方向为东偏北α角，由tanα＝＝1，得α＝45°.
[答案] 物体15 s内的位移为135 m，方向为东偏北θ角，且tanθ＝ 15 s末的速度为10 m/s，方向为东偏北45°角
总结提能 本题中物体的运动分为两个阶段，前5 s内沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，后10 s内物体同时参与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运算法则求解即可．
专题二 平抛运动的解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：
(1)利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
(2)利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线，两直线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，则小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.
由竖直方向上的匀加速直线运动得
－＝gT2，所以T＝，
由水平方向上的匀速直线运动得
v0＝＝，
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在连续相等的时间内满足h1?h2?h3?…＝1?3?5?…因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内．
[例3] 在离地某一高度的同一位置处，有A、B两个小球，A球以vA＝3 m/s的速度水平向左抛出，同时B球以vB＝4 m/s的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它们之间的距离为多大？
[解析] 如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛出，它们始终在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，设vA′、vB′的方向和竖直方向的夹角分别为α和β，则
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.
则vAyvBy＝v＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.
得vAy＝，则时间t＝＝，
故距离s＝(vA＋vB)t＝≈2.47 m.
[答案] 2.47 m
[例4] 下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0 cm、y2为45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为40.0 cm.则平抛小球的初速度v0为________ m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度vC＝________ m/s(结果保留两位有效数字，g取10 m/s2)．
[解析] 由y＝gt2得，t1＝＝0.10 s，t2＝＝0.30 s，因此小球平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝2.0 m/s. 小球在C点时竖直方向的分速度vy3＝＝ m/s＝2 m/s，因此C点速度vC＝＝4.0 m/s.
[答案] 2.0 4.0
总结提能 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．
专题三 圆周运动问题
1．圆周运动的运动学分析
(1)正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系
线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由ω＝＝2πn，知ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．
(2)对公式v＝ωr及an＝＝ω2r的理解
①由v＝ωr，知r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
②由an＝＝ω2r，知v一定时，an与r成反比；ω一定时，an与r成正比．
2．圆周运动的动力学分析
匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，处理匀速圆周运动应抓住合力充当向心力这一特点，由牛顿第二定律来分析解决，此时公式F＝man中的F是指向心力，an是指向心加速度，即ω2r或或其他的用转速、周期、频率表示的形式．
圆周运动中应用牛顿第二定律的解题步骤：
(1)确定研究对象，确定圆周运动的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
(2)选定向心力的方向为正方向．
(3)受力分析(不要把向心力作为一种按性质命名的力进行分析)，利用直接合成法或正交分解法确定向心力的大小．
(4)选择恰当的向心力公式，由牛顿第二定律列方程．
(5)求解未知量并说明结果的物理意义．
3．利用正交分解法处理圆周运动问题
由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．
(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．
(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an(指向圆心)即为向心加速度，其大小为an＝＝rω2；加速度沿轨迹切线方向的分量aτ即为切向加速度．
合力沿半径方向的分量Fn(或所有外力沿半径方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为Fn＝m＝mω2r.合力沿切线方向的分力Fτ(或所有外力沿切线方向的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Fτ＝maτ.
[例5] 如下图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上．整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平．两球间用劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧连接在一起．左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L.现使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，转动角速度为ω，则当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？
[解析] 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，A、B两球水平方向受力如图所示，其中FT为细绳的拉力，F为弹簧的弹力．
[答案] Mω2L＋ L
总结提能 处理物体系统的匀速圆周运动问题要充分挖掘隐含条件．首先明确各物体做圆周运动的v、ω及r是多少，向心力是由什么力提供的，然后分析各物体做圆周运动的物理量之间有什么联系，从而建立方程求解相关问题．
[例6] 如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小．
[解析] 对小球进行受力分析如图所示，合力沿水平方向，则弹力FN＝.速度大小的计算过程如下：
[答案]
总结提能 解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式．
专题四 水平面内圆周运动的临界问题
关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关．在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解．常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题．
(2)因静摩擦力存在最大值而产生的圆周运动临界问题．
(3)受弹簧等约束的匀速圆周运动临界问题．
(4)与斜面有关的圆周运动临界问题．
[例7] 如图(1)所示，小球质量m＝0.8 kg，用两根长均为L＝0.5 m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点．已知AB＝0.8 m，当竖直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40 rad/s的角速度匀速转动时，取g＝10 m/s2，求上、下两根绳上的张力．
[解析] 设BC绳刚好伸直无拉力时，小球做圆周运动的角速度为ω0，绳AC与杆夹角为θ，且cosθ＝＝0.8，则θ＝37°，如图(2)甲所示，有mgtanθ＝mωr，
得ω0＝＝＝＝5 rad/s，
由ω＝40 rad/s>5 rad/s＝ω0，知BC绳已被拉直并有拉力，对小球受力分析建立如图乙所示的坐标系，将F1、F2正交分解，则沿y轴方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，
沿x轴方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，
代入有关数据，得F1＝325 N，F2＝315 N.
[答案] 325 N 315 N
总结提能 本题中的ω0为角速度的临界值，当ω<ω0时，小球受两个力，θ<37°；当ω＝ω0时，小球仍受两个力，但θ＝37°，且F1＝；当ω>ω0时，小球受三个力，θ＝37°.对这类有临界状态的问题必须先找出临界状态再作出判断．
[例8] 有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与圆盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R.
(1)圆盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
(2)分析转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？
[解析] 若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．
(1)A刚开始滑动时，A所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg＝mωR ①
又因为ω0＝2πn0 ② 由①②得n0＝ ，
即当n0＝ 时，物体A开始滑动．
(2)转速增加到2n0时，有μmg＋kΔx＝mωr，ω1＝2π·2n0，
r＝R＋Δx，整理得Δx＝.
[答案] (1) (2)
总结提能 求解有弹簧连接的物体做圆周运动的问题时，要明确各力的方向，半径的变化，并注意弹簧与绳的区别以及静摩擦力是可以变化的．
专题五 竖直平面内圆周运动的临界问题
1．没有物体支撑的小球(轻绳或单侧轨道类)
小球在最高点的临界速度(最小速度)是v0＝.小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为0，环对小球的弹力为0(临界条件：FT＝0或FN＝0)，此时重力提供向心力．所以v≥时，能通过最高点；v<时，不能达到最高点．
2．有物体支撑的小球(轻杆或双侧轨道类)
因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为0，即临界速度v0＝0，此时支持力FN＝mg.
[例9] (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度是0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
[解析] 设小球通过最高点时的速度为v.由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m.当FT＝0时，v＝，故A正确；当v<时，FT<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，FT>0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件．
[答案] AC
总结提能 运用极限思想解圆周运动中临界问题的方法
圆周运动中临界问题的分析，首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程求解．求解范围类极值(临界)问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围．
[例10] 如图所示，长度为l＝0.50 m的轻质细杆OA的A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2.试分析此时细杆OA受到小球的作用力的情况．
[解析] 方法1：设小球以速率v0通过最高点时，杆对球的作用力恰好为零，则mg＝m
解得v0＝＝ m/s＝ m/s
由于v＝2.0 m/s< m/s，所以在最高点细杆对小球产生支持力作用．
对小球，由牛顿第二定律得mg－N＝m
N＝mg－m＝(3.0×10－3.0×)N＝6.0 N
根据牛顿第三定律知，小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N.
方法2：设杆对小球施加拉力，即方向向下，由牛顿第二定律得N＋mg＝m
则N＝m－mg＝(3.0×－3.0×10) N
＝－6.0 N
负号说明N的方向与假设的方向相反，即向上，则在最高点，杆对小球有向上的支持力作用．
根据牛顿第三定律知，小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N.
[答案] 小球在最高点对细杆产生压力，大小为6.0 N
总结提能 分析竖直平面内的圆周运动时，首先要明确运动的模型，看物体做圆周运动的模型是属于绳约束类还是杆约束类，然后再由不同模型的临界条件分析物体的受力，找出向心力的来源，并结合其他条件建立方程来求解．