高中物理人教版必修2 导学案7.4　重力势能 Word版含解析

4　重力势能
将某一物体从同一高度以平抛、上抛、下抛三种不同的方式抛出，从抛出到落地的过程中重力做功、重力势能的变化是否相同？
提示：重力做功与经过的路径无关，同一物体下落高度相同，三种方式重力做功相同，由于重力做的功等于重力势能的变化，所以三种方式下重力势能的变化也相同．
知识点三　　重力势能的相对性和系统性
1．相对性：重力势能总是相对选定的参考平面而言的．该平面常称为零势面，通常选择地面为参考平面．
2．系统性：重力势能是地球和物体所组成的系统共有的．
有一上端挂在墙上的长画，从画的上端到下面的画轴长1.8 m，下面画轴重1 N，画面重0.8 N(画面处均匀)，现将长画从下向上卷起来，求长画的重力势能增加了多少？
提示：长画的重力势能的增加量
ΔEp＝(1×1.8＋0.8×) J＝2.52 J.
考点一　　重力做功的特点
(1)对重力做功的研究．让物体都从A点运动到C点．
①物体先竖直向下运动再水平运动，高度从h1降为h2，如图甲所示，重力做功为WG＝mgh1－mgh2.
②物体沿倾斜直线向下运动，高度从h1降为h2，如图乙所示，重力做功为WG＝mgssinθ＝mgΔh＝mgh1－mgh2.
③物体沿任意路径向下运动，高度从h1降为h2(微元思想)，把路径分成很多小段，每一段可看做是一段倾斜的直线，设每段的高度差分别为Δh1、Δh2……重力做的功等于每小段上重力做功的代数和．WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh＝mgh1－mgh2.
(2)重力做功的表达式：WG＝mgh1－mgh2＝mgΔh.
(3)重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．功的大小等于物体的重力与竖直方向上位移的乘积．
【例1】　沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是(　　)
A．沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B．沿坡度大，粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
C．沿坡度小，粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
D．不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同，物体增加的重力势能也相同
重力做功的多少跟物体重力大小和始末位置高度差有关，而跟物体是否受其他力，运动的路径没有关系．
【解析】　重力做功的特点与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关，不论是光滑路径还是粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动，物体克服重力做多少功(重力做多少负功)，它的重力势能必定增加多少．
【答案】　D
总结提能 重力做功仅由物体初末位置的高度差决定，与物体受到几个力的作用以及物体做什么性质的运动等因素无关．
如图所示，一个质量为m的小球，从同一高度h处分别沿竖直方向下落、沿斜面下滑、水平抛出、斜向上抛出，最后落到同一水平面内．小球沿上述四条不同的路径运动，重力对小球做的功相同吗？这说明了什么？
解析：力做的功等于力和力的方向上的位移之积．四种情况下，物体运动的位移不同，但是重力方向上的位移都为h，因此重力对小球做的功相同，即WG＝mgh.这说明重力做功与物体运动的路径无关．
考点二　　重力势能
(1)定义：物体由于被举高而具有的能，叫做重力势能，符号为Ep.
(2)大小：Ep＝mgh.
上式表明，物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．物体的质量越大，高度越大，重力势能就越大．
(3)单位：重力势能的单位与功的单位相同，在国际单位制中是焦耳(J)．
(4)特点：重力势能是标量，只有大小，没有方向，其正、负号表示与势能为零的平面(参考平面)的相对位置，比较重力势能的大小时，要带正、负号比较．
(5)重力势能的计算方法
①规定参考平面，一般选地面为参考平面．②明确物体在参考平面之上还是在参考平面之下．③找出物体到参考平面的竖直高度．代入Ep＝mgh计算，注意h的正负和单位统一．
【例2】　如图所示，桌面距地面0.8 m，一物体质量为2 kg，放在距桌面0.4 m高的支架上．(取g＝10 m/s2)
(1)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能变化了多少？
(2)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能变化了多少？
解答本题应把握以下两点：
(1)重力势能具有相对性，计算重力势能时首先要注意所选取的参考平面；
(2)根据物体相对于参考平面的高度，直接应用公式计算即可．
【解析】　(1)以地面为参考平面，物体的高度h1＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m，因而物体具有的重力势能为Ep1＝mgh1＝2×10×1.2 J＝24 J
物体落至桌面时，重力势能
Ep2＝mgh2＝2×10×0.8 J＝16 J
物体重力势能的变化量为ΔEp＝Ep2－Ep1＝16 J－24 J＝－8 J，即重力势能减少了8 J.
(2)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度h1′＝0.4 m，因而物体具有的重力势能为
Ep1′＝mgh1′＝2×10×0.4 J＝8 J
物体落至桌面时，重力势能Ep2′＝0.
物体重力势能的变化量为ΔEp′＝Ep2′－Ep1′＝－8 J，即重力势能减少了8 J.
【答案】　(1)24 J　减少了8 J　(2)8 J　减少了8 J
总结提能 1.物体的重力势能的大小是相对的，其数值与参考平面的选取有关．
2．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关，其变化量仅由重力对物体做功的多少来决定．
一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A点先落到地面C点最后滚入沟底D点．已知AC，CD的高度差分别为2.2 m和3.0 m，以地面C为零势能面，A，B，C，D，E之间竖直距离如图所示．算出该苹果从A下落到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(　C　)
A．15.6 J和9 J　　　　　　 B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
解析：以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3) J＝－9 J，从A下落到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(2.2＋3) J＝15.6 J，故选C.
考点三　　重力做功与重力势能变化的关系
(1)重力做功与重力势能的改变
如图所示，质量为m的物体自高度为h1处的A点落到高度为h2处的B点．
重力做功：WG＝mg(h1－h2)＝mgΔh，
物体的重力势能由在A处的EpA＝mgh1变为在B处的EpB＝mgh2，重力势能的变化量ΔEp＝EpB－EpA＝mgh2－mgh1＝－mgΔh，可见WG＝－ΔEp.
(2)结论：重力对物体所做的功，等于物体重力势能变化量的相反数，即WG＝－ΔEp.
①重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少．
②重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少．
(3)重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况．
注意：重力做的功等于重力势能的减少，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关．
(4)重力做功与重力势能的对比
【例3】　在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面. 求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化．
解答本题时应把握以下两点：
(1)重力势能的计算公式Ep＝mgh中h是物体所在位置相对于参考平面的高度．
(2)重力做功与重力势能改变的关系．
【解析】　(1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m.
重力势能Ep＝mgh＝200×10－3×10×(－20) J＝－40 J
Ep<0，说明小球在参考平面的下方．
(2)在第3 s末小球所处的高度为
h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m
第3 s内重力做的功为
W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45)J＝50 J
由重力做功与重力势能改变的关系可知，小球的重力势能减少了50 J.
【答案】　(1)－40 J　(2)50 J　小球的重力势能减少了50 J
总结提能 1.重力做功与物体运动的路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
2．重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功(物体克服重力做功)时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．
吊车以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)
解析：设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a＝，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，
故F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上，
所以拉力做的功WF＝Fh＝mgh；
重力做的功WG＝－mgh，
即此过程中物体克服重力做功mgh.
又ΔEp＝Ep2－Ep1＝－WG＝mgh，
因此物体的重力势能增加了mgh.
答案：mgh　mgh　物体的重力势能增加了mgh
1．关于重力势能的说法，正确的是(　D　)
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．重力势能恒大于零或等于零
C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能是物体和地球所共有的
解析：重力势能的大小与质量、相对参考平面的高度都有关系，由于参考平面的选择，重力势能可能出现负值，参考平面可任意选取，故地面上物体的重力势能也不一定为零，只有选项D正确．
2．(多选)下列关于重力势能的说法中正确的是(　AB　)
A．物体的重力势能值随选择的参考平面的不同而不同
B．同一高度，将物体以速度v0向不同的方向抛出，落地时物体减少的重力势能一定相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．在高山上的物体，它的重力势能一定很大
解析：重力势能是相对量，与参考平面的选取有关，选项A正确，D错误；对于一个确定的物体，它所具有的重力势能，仅仅决定于物体所处的相对位置，重力势能的变化仅与物体的位置变化有关系，而与具体的路径无关，选项B正确；重力势能为零的物体，只能说明物体处在零势能面上，重力对零势能参考面上的物体无做功的本领，而不能说明除重力外的其他力不能做功，也不能说明物体对其他不同高度的物体不具有做功本领，选项C错误．
3．如图所示，桌面高为h1，质量为m的小球从高出桌面h2的A点下落到地面上的B点，在此过程中小球的重力势能(　D　)
A．增加mgh2
B．增加mg(h1＋h2)
C．减少mgh2
D．减少mg(h1＋h2)
解析：由重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp可得，ΔEp＝－mg(h1＋h2)，可知此过程中小球的重力势能减少mg(h1＋h2)．故选项D正确．
4．(多选)物体在运动过程中克服重力做功50 J，则(　BD　)
A．重力做功50 J
B．物体的重力势能一定增加50 J
C．物体的重力势能减少50 J
D．重力对物体做功－50 J
解析：物体在运动过程中，克服重力做功50 J，说明重力做了－50 J的功，重力势能增加50 J，选项A、C错误，B、D正确．
5．一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h.关于此过程，下列说法中不正确的是(　C　)
A．提升过程中手对物体做功m(a＋g)h
B．提升过程中合外力对物体做功mah
C．提升过程中物体的重力势能增加m(a＋g)h
D．提升过程中物体克服重力做功mgh
解析：对物体：F－mg＝ma，所以手对物体做功W1＝Fh＝m(g＋a)h，故选项A正确；合外力做的功W合＝F合h＝mah，选项B正确；物体上升h，克服重力做功mgh，重力势能增加mgh，选项C错误，D正确．
用等效法求重力势能的变化
[方法解读]
解答流体或具有流动性质的物体(如链条和绳等)的重力势能的变化问题，多用等效法．
【例】　如图所示，质量均匀的链条放在光滑的水平桌面上，链条长l，质量为m，有的长度悬于桌面下．链条由静止开始下滑，设桌面的高度大于l，则在链条开始下滑到刚离开桌面的过程中重力势能改变了多少？重力做功多少？
[解析]　解法1：(等效法)比较始态和末态，可等效成将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了l，所以重力势能减少了mg·l＝mgl，即ΔEp＝－mgl，重力做功WG＝－ΔEp＝mgl.
解法2：设桌面为参考面，开始时重力势能Ep1＝－mg×＝－，末态时重力势能Ep2＝－mg×＝－.
故重力势能变化ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgl.
重力做功WG＝－ΔEp＝mgl.
[答案]　－mgl　mgl
总结提能 重力势能的变化与发生过程无关，只与初末状态有关，故可用等效法求解．其整体重力势能的变化相当于某一部分重力势能的变化．要注意流体有一定的体积，找到其重心位置，ΔEp＝mgΔh中的Δh就是重心位置间的高度差．
[变式训练]　如图所示，两个底面积都是S的圆桶，用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平地面上，两桶内装有密度为ρ的同种液体，阀门关闭时两桶液面的高度分别为h1和h2，现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过程中(　B　)
A．重力对液体做的功为(h1－h2)2ρgS
B．重力势能减少了
C．重力既做正功，又做负功，其总功为零
D．重力势能减少，说明重力做负功
解析：取水平地面为参考平面，阀门关闭时，两桶内液体的重力势能的总和为
Ep1＝(ρSh1)g·＋(ρSh2)g·＝ρgS(h＋h)．
打开阀门，当两桶液面相平时，两桶内液体的重力势能的总和为
Ep2＝ρS(h1＋h2)g··＝ρgS(h1＋h2)2.
则在此过程中两桶内液体的重力势能的变化为
ΔEp＝Ep2－Ep1＝－ρgS(h1－h2)2.
ΔEp<0表示重力势能减少了ρgS(h1－h2)2.
根据重力势能变化与重力做功的关系可知，重力对液体做了ρgS(h1－h2)2的功．