高中物理人教版必修2 导学案7.8　机械能守恒定律 Word版含解析

8　机械能守恒定律
“蹦极”是一项极富有刺激性的运动，某人身系弹性绳从高空架上自由落下后直到最低点的过程中，若忽略空气阻力，人与弹性绳的机械能是否守恒？下落过程中的能量是怎样变化的？
提示：人下落过程中，忽略空气阻力，只有重力和弹性绳的弹力做功，人与弹性绳的机械能守恒．下落过程中，重力做正功，重力势能减少，转化为人的动能．弹性绳拉紧后，弹力对人做负功，弹性势能增加，动能和重力势能又转化为弹性势能．
机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的步骤：
1．选取研究对象(物体或系统)．
2．明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒．
3．选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能．
4．选取恰当的表达式列方程求解．
考点一 机械能守恒的条件
机械能守恒条件的理解
(1)从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量(如内能)之间的转化，则系统机械能守恒．
(2)从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
①只受重力(或系统内的弹力)，如：所有做抛体运动的物体(不计阻力)．
②还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力)做功，如图所示．
甲图中，如不计空气阻力，小球在摆动过程中线的拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒．
乙图中，A、B间及B与地面间的摩擦均不计，A自B上端自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒，但对B来说，A对B的弹力做功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．
丙图中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．
(3)其他力做功，但做功的代数和为零．如图所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间摩擦，在A向下、B向上运动过程中，FA和FB都做功，但WA＋WB＝0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B系统机械能守恒．
【例1】　 (多选)如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能减少
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
本题可按以下思路进行分析：
??
【解析】　重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A错误，B正确；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确．
【答案】　BD
总结提能 判断机械能是否守恒时，对于单个物体往往从做功的角度进行分析，若只有重力做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则该物体的机械能守恒；对几个物体组成的系统往往从能量转化的角度去分析，若系统内不存在其他形式的能与机械能之间的相互转化，则该系统的机械能守恒．
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　BCD　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒
解析：甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功代数和为零，机械能守恒，B对．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对．丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．
考点二 机械能守恒定律的应用
1．应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒．
2．机械能守恒定律，只涉及体系的初、末状态的物理量，而不需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化．
3．应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路
(1)守恒观点
始态机械能等于终态机械能，即：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
(2)转化或转移观点
①动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即Ek1－Ek2＝Ep2－Ep1.
②一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减少)量，即EA1－EA2＝EB2－EB1.
4．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态或末态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．
【例2】　如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
解答本题时可按以下思路进行分析：
???
【解析】　设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m，开始时斜面上的那部分链条的重力势能为
Ep1＝－·sinθ
竖直的那部分链条的重力势能为Ep2＝－·
则开始时的机械能为
E1＝Ep1＋Ep2＝－·sinθ＋(－·)
＝－(1＋sinθ)
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为Ep＝－mg·
动能为Ek＝mv2，则机械能为
E2＝Ep＋Ek＝mv2＋(－mgL)＝mv2－mgL
因为只有重力做功，所以系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得E1＝E2，即－(1＋sinθ)＝mv2－mgL
解得v＝.
【答案】　
总结提能 判断单个物体的机械能是否守恒，一般从做功的角度来判断，若只有重力做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则物体的机械能守恒．利用机械能守恒定律解题时，要注意合理地选取零势能参考面，以初、末状态的重力势能便于表示为宜．
关于绳索、链条之类的问题，由于在运动过程中物体的重心位置并不是固定不变的，正确确定重心的位置，是解决该类问题的关键．一般情况下，先分段考虑各部分的重力势能，然后将各部分的重力势能之和作为整体的重力势能．
如图所示，粗细均匀、全长为l的铁链对称地挂在轻小且光滑的定滑轮上，轻轻地拉动铁链一端，使它从静止开始运动，铁链在脱离滑轮的瞬间速度大小为.
解析：解答本题的关键在于利用机械能守恒定律，通过分析重心的变化来确定重力势能的变化，从而求出速度的大小．铁链原来重心在定滑轮下方处，铁链脱离滑轮瞬间重心在滑轮下方处，故此过程中铁链重力势能减小ΔEp＝mg＝mgl.设铁链离开滑轮瞬间的速度大小为v，由机械能守恒定律有mgl＝mv2，所以v＝.
【例3】　如图所示，质量分别为2m和m的可视为质点的小球A、B，用质量不计且不可伸长的细线相连，跨在固定的底面半径为R的光滑圆柱体两侧．开始时A球和B球均与圆柱体轴心O等高，然后释放两球，则B球到达圆柱体最高点时的速度为多大？
解答本题时应注意以下两点：
(1)运动过程中，A球和B球均受到细线的拉力作用，细线的拉力做功，A球和B球的机械能都不守恒．
(2)若选取A球和B球及细线组成的系统为研究对象，则运动过程中只有重力做功，系统的机械能守恒．
【解析】　选取轴心O所在水平面为零势能参考面，则开始时系统的机械能为零，即E1＝0
设B球到达圆柱体最高点时的速度大小为v，此时系统的机械能为E2＝mgR＋mv2－2mg＋(2m)v2
由机械能守恒定律得E1＝E2
即0＝mgR＋mv2－2mg＋(2m)v2
解得v＝.
【答案】　
总结提能 对于相互作用的物体系统而言，由于有内力做功，单个物体的机械能往往不守恒，因此要合理选取系统，判断哪个系统的机械能守恒，然后利用机械能守恒定律列式求解．
如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止．现将手撤去．
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
解析：(1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒．设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mgh－mghsinθ＝(m＋m)v2解得v＝.
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒，设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2＝mg(H－hsinθ)解得H＝.
答案：(1)　(2)
1．(多选)下列几个实例中，满足机械能守恒的是(　BD　)
A．做匀速直线运动的物体
B．如图(甲)，物体在光滑圆弧面上自由滑动
C．如图(乙)，在光滑的水平面上压缩弹簧的小球
D．在光滑的水平面上被细线拉住做匀速圆周运动的小球
解析：做匀速直线运动的物体，动能保持不变，但如果高度发生变化，则机械能发生变化，如匀速下降的降落伞，选项A错误；物体沿光滑圆弧自由滑动，重力做功，弧面对物体的弹力不做功，故物体的机械能守恒，选项B正确；在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的弹性势能在增加，小球的机械能在减少，但小球和弹簧组成的系统机械能守恒，选项C错误；小球在光滑的水平面上运动，受到重力、水平面对小球的支持力，还有细线对小球的拉力，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，选项D正确．
2.如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球，从地面以v0速度竖直向上抛到离桌面最大的高度为H，不计空气阻力，假设以最高处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间机械能应为(　D　)
A．mgh　　　　　　　　 B．mgH
C．mg(H＋h) D．0
解析：不计空气阻力，小球在落地前的过程中机械能守恒，小球在最高处的机械能为0，所以落地前任何位置的机械能均为0.选项D正确．
3．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧到弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是(　D　)
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
解析：小球下落过程中受到的重力做正功，弹力做负功，重力势能、弹性势能及动能都要发生变化，任意两种能量之和都不会保持不变，但三种能量在相互转化，总和不变，选项D正确．
4.如图所示，在距地面h高处以初速度v0沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法中正确的是(　D　)
A．物体在c点比在a点具有的机械能大
B．物体在b点比在c点具有的动能大
C．物体在a，b，c三点具有的动能一样大
D．物体在a，b，c三点具有的机械能相等
解析：小球在运动过程中，只受到重力作用，机械能守恒，在任何一个位置小球的机械能都是一样的，选项A错误，D正确；物体在下落过程中，重力势能转化为动能，Eka5．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其L垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多少？
解析：设整条链条质量为m，取桌面为零势面，链条下落，由机械能守恒定律得－g＝－mg＋mv2，所以v＝.
答案：
学习至此，请完成课时作业19
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——思想方法系列(十五)
机械能守恒定律和动能定理的综合应用
[方法解读]
机械能守恒定律和动能定理的综合是今后考查的重点，在解决问题时，一定要分析不同运动状态(过程)的受力情况、机械能是否守恒(外力是否做功)等，列出方程求解．
【例】　如图所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面．一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB.由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求绳的张力对物体B所做的功．
[解析]　由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒．系统重力势能的减少量ΔEp减＝mAg－mBgR，系统动能的增加量ΔEk增＝(mA＋mB)v2，由ΔEp减＝ΔEk增，得
mAg－mBgR＝(mA＋mB)v2，又mA＝2mB，
联立以上两式得v2＝(π－1)gR，
对物体B应用动能定理得，绳的张力对物体B做的功
W＝mBv2＋mBgR＝mBgR.
[答案]　mBgR
总结提能 机械能守恒定律和动能定理的异同
[变式训练]　下图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程中轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
解析：(1)游客从B点做平抛运动，有2R＝vBt①
R＝gt2②
由①②式得vB＝③
从A到B，根据动能定理，有mg(H－R)＋Wf＝mv－0④
由③④式得Wf＝－(mgH－2mgR)⑤
(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有
mg(R－Rcosθ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有mgcosθ－N＝m⑦
N＝0⑧
cosθ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得h＝R⑩
答案：(1)vB＝　Wf＝－(mgH－2mgR)
(2)h＝R