4.1 无理数 同步练习（含解析）
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第四章 实数
1 无理数
夯实基础
知识点一 无理数的认识及概念
1.（黄石中考）下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. －0.6 C. －6 D. π
2.下列各数中:①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长.其中是无理数的是_____________。（填序号）
3.如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决下面的问题:
（1）阴影正方形的面积是多少？
（2）阴影正方形的边长是有理数吗？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
知识点二 确定非有理数的近似值
4.（淄博中考改编）已知正数a的平方为37，则a的近似值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.已知x2＝88，那么x的大小应在哪两个数之间？（ ）
A. 9.1～9.2之间 B. 9.2～9.3之间 C. 9.3～9.4之间 D. 9.4～9.5之间
6.无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数.如图所示，设面积为10π的圆的半径为x。
（1）请指出它是有理数还是无理数；
（2）将x保留到十分位是几？
易错点 对有理数与无理数的定义理解不透，从而导致分类错误
7.把下列各数分别填在相应的大括号内:
－，0，3.145，－，0.，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）.
有理数:｛ …｝；
无理数:｛ …｝。
能力提升
8.在等式x2＝3中，下列说法中正确的是（ ）
A. x可能是整数 B. x可能是分数 C. x可能是有理数 D. x不是有理数
9.在数:3.14159，1.010010001…，7.56，π，中，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.下列说法中:①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数.正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
11.下列各数，大于－3而小于－2的无理数是（ ）
A.－2.56879 B.－2. C. －3.121221222… D. －2.383883888…
12.下列语句正确的是（ ）
A.是无理数 B.无限小数不能化成分数
C.无理数比有理数少 D.分数不是无理数
13.（昆明中考改编）我们把平方等于5的正数记作m，请你估算m－1的值（ ）
A. 在1.1和1.2之间 B. 在1.2和1.3之间
C. 在1.3和1.4之间 D. 在1.4和1.5之间
14.如图是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其中边长是有理数的正方形有__________个，边长是无理数的正方形有__________个。
15、将下列这些数按要求填入相应的集合中0.010010001…，4，－2，3.2，0，－1，－（－5），－|－5|，－。
负数集合:{ …}；
非负整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}。
16.如图，已知点C为正方形网格中的一个格点，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC。
（1）AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
（2）AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数。
17.七年级（2）班两名同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6 m的树上，其中一名同学赶快搬来一架长为7 m的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2 m远，另一名同学爬上梯子去拿羽毛球。
问:梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数？这名同学能拿到球吗？
18.小明家新买了一张边长是1.3 m的正方形桌子，原有的边长是1 m的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按下列方法（如图），将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？（不考虑损耗）
素养提升
19.试验与探究:我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即。一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在以0.为例进行讨论:设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x－x＝7.77…－0.777…＝7，即10x－x＝7，解方程得x＝，于是得0.＝。
请仿照上述例题完成下列各题:
（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝_________；
（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解.
参考答案
1.D 2.①③④
3.解:（1）设阴影正方形的边长为x，由勾股定理，得x2＝12＋22＝5，所以阴影正方形的面积是5。
（2）阴影正方形的边长不是有理数.因为一个整数或分数的平方不可能是5，所以阴影正方形的边长不是有理数。
（3）因为22＜5＜32，所以阴影正方形的边长介于2，3两个整数之间.
4.B 5.C
6.解:（1）由圆的面积公式可得πx2＝10π，所以x2＝10.所以x既非整数也非分数，故x是一个无理数。
（2）3.12＝9.61＜10，3.22＝10.24＞10，所以3.1＜x＜3.2.
因为3.162＝9.9856＜10，3.172＝10.0489＞10，所以3.16＜x＜3.17.
所以将x保留到十分位是3.2.
7.－，0，3.145，－，0. ，0.3131131113…
8.D 9.B 10.C 11.D 12.D 13.B 14. 3 6
15.解:负数集合:｛－2，－1，－|－5|，－，…｝；
非负整数集合:{4，0，－（－5），…｝；
分数集合:｛－2，3.2，…}；
无理数集合:{0.010010001…，－，…}。
16.解:答案不唯一，示例:
17.解:设梯子顶端到地面的距离为x m，由题意，得x2＝72－22＝45.因为45既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数所以梯子顶端到地面的距离是无理数.为62＝36，45＞62，所以这名同学能拿到球.
18.解:设新台布的边长为a，则a＝，探索可得1.4＜a＜1.5.
因为a＞1.4＞1.3，所以这块大台布能盖住现在的新桌子。
19.（1）
（2）解:设0.＝x，由0.＝0.73737373…可知，100x－x＝73.7373…－0.7373…＝73，
所以100x－x＝73，解得x＝.所以0.＝。
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第四章 实数
1 无理数
夯实基础
知识点一 无理数的认识及概念
1.（黄石中考）下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. －0.6 C. －6 D. π
2.下列各数中:①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长.其中是无理数的是_____________。（填序号）
3.如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决下面的问题:
（1）阴影正方形的面积是多少？
（2）阴影正方形的边长是有理数吗？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
知识点二 确定非有理数的近似值
4.（淄博中考改编）已知正数a的平方为37，则a的近似值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.已知x2＝88，那么x的大小应在哪两个数之间？（ ）
A. 9.1～9.2之间 B. 9.2～9.3之间 C. 9.3～9.4之间 D. 9.4～9.5之间
6.无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数.如图所示，设面积为10π的圆的半径为x。
（1）请指出它是有理数还是无理数；
（2）将x保留到十分位是几？
易错点 对有理数与无理数的定义理解不透，从而导致分类错误
7.把下列各数分别填在相应的大括号内:
－，0，3.145，－，0.，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）.
有理数:｛ …｝；
无理数:｛ …｝。
能力提升
8.在等式x2＝3中，下列说法中正确的是（ ）
A. x可能是整数 B. x可能是分数 C. x可能是有理数 D. x不是有理数
9.在数:3.14159，1.010010001…，7.56，π，中，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.下列说法中:①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数.正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
11.下列各数，大于－3而小于－2的无理数是（ ）
A.－2.56879 B.－2. C. －3.121221222… D. －2.383883888…
12.下列语句正确的是（ ）
A.是无理数 B.无限小数不能化成分数
C.无理数比有理数少 D.分数不是无理数
13.（昆明中考改编）我们把平方等于5的正数记作m，请你估算m－1的值（ ）
A. 在1.1和1.2之间 B. 在1.2和1.3之间
C. 在1.3和1.4之间 D. 在1.4和1.5之间
14.如图是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其中边长是有理数的正方形有__________个，边长是无理数的正方形有__________个。
15、将下列这些数按要求填入相应的集合中0.010010001…，4，－2，3.2，0，－1，－（－5），－|－5|，－。
负数集合:{ …}；
非负整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}。
16.如图，已知点C为正方形网格中的一个格点，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC。
（1）AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
（2）AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数。
17.七年级（2）班两名同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6 m的树上，其中一名同学赶快搬来一架长为7 m的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2 m远，另一名同学爬上梯子去拿羽毛球。
问:梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数？这名同学能拿到球吗？
18.小明家新买了一张边长是1.3 m的正方形桌子，原有的边长是1 m的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按下列方法（如图），将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？（不考虑损耗）
素养提升
19.试验与探究:我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即。一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在以0.为例进行讨论:设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x－x＝7.77…－0.777…＝7，即10x－x＝7，解方程得x＝，于是得0.＝。
请仿照上述例题完成下列各题:
（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝_________；
（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解.
参考答案
1.D 2.①③④
3.解:（1）设阴影正方形的边长为x，由勾股定理，得x2＝12＋22＝5，所以阴影正方形的面积是5。
（2）阴影正方形的边长不是有理数.因为一个整数或分数的平方不可能是5，所以阴影正方形的边长不是有理数。
（3）因为22＜5＜32，所以阴影正方形的边长介于2，3两个整数之间.
4.B 5.C
6.解:（1）由圆的面积公式可得πx2＝10π，所以x2＝10.所以x既非整数也非分数，故x是一个无理数。
（2）3.12＝9.61＜10，3.22＝10.24＞10，所以3.1＜x＜3.2.
因为3.162＝9.9856＜10，3.172＝10.0489＞10，所以3.16＜x＜3.17.
所以将x保留到十分位是3.2.
7.－，0，3.145，－，0. ，0.3131131113…
8.D 9.B 10.C 11.D 12.D 13.B 14. 3 6
15.解:负数集合:｛－2，－1，－|－5|，－，…｝；
非负整数集合:{4，0，－（－5），…｝；
分数集合:｛－2，3.2，…}；
无理数集合:{0.010010001…，－，…}。
16.解:答案不唯一，示例:
17.解:设梯子顶端到地面的距离为x m，由题意，得x2＝72－22＝45.因为45既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数所以梯子顶端到地面的距离是无理数.为62＝36，45＞62，所以这名同学能拿到球.
18.解:设新台布的边长为a，则a＝，探索可得1.4＜a＜1.5.
因为a＞1.4＞1.3，所以这块大台布能盖住现在的新桌子。
19.（1）
（2）解:设0.＝x，由0.＝0.73737373…可知，100x－x＝73.7373…－0.7373…＝73，
所以100x－x＝73，解得x＝.所以0.＝。
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