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4.1一元一次方程的解法（1）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
复习提问：
解方程 :（1）2x-5=3x+6 ，（2）3x=6
【解】
（1）2x=3x+6+5 （被减数=差+减数），
2x-3x=11( 和 - 一个加数=另一个加数)
(2-3)x=11(乘法分配率)
-x=11
x=11（相反数的定义）
（2）x=2(一个因数=积除以另一个因数)
新课引言
在小学我们学习了解方程，依据是加数
与和的关系，因数与积的关系，还有没有
别的依据呢？
主题讲解
主题一、等式的性质
问题1 :如果7年级 (1)班的学生人数=八年级(2)班的学生人数，现在每班增加2名学生，那么7年级(1)班与八年级(2)班的学生人数还相等吗 如果每班减少了3名学生，那么两个班的学生人数还相等吗
【答】还相等
设7年级（1）班人数为a人，八年级（2）班人数为b人，上面问题用含有a、b的式子怎样表示
若a=b,则a+2=b+2,a-3=b-3
问题2:如果 甲筐米的重量＝乙筐米的重量，现在把甲、乙两筐的米分别倒出一半，那么甲，乙两筐剩下的米的重量相等吗
如果设甲筐米的重量为a,乙筐米的重量为b,上面问题用式子怎么表示？
若a=b,则：
从上面两个问题，可以发现等式有什么性质？
等式的性质1 ：等式两边都______(或者减去)____________(或同一个式子)所得结果仍是____.
如果a=b,那么a±c=b±c,ac=bc,
等式的性质2 ：等式两边都______(或者除以)_________(或同一个式子)（除数或者除式不能为0）,所得结果仍是____.
如果a=b,那么ac=bc,
加上
同一个数
等式
乘以
同一个数
等式
【 尝试练习】
做一做
说一说下面等式变形的根据
①从 x=y 得到 x+4=y+4,
② 从2x=3x-6得到 2x-3x=3x-6-3x
③从3x=9得到x=3,
④从 得到x=8
下面我们来用等式的性质解方程。
①②的依据是等式性质1.
③ ④的依据是等式性质2.
主题二、移项
问题： (我国古代数学问题)用绳子量井深，把绳子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折来量，井外余绳子1尺，于是量井人说：“我知道这口井有多深了”。
你能算出这口井的深度吗
思考：
1、如图. 将绳子３ 折量井， 绳长与井深有怎样的关系呢？
绳长=3 ×（井深＋ 4）
2、将绳子４ 折量井，
绳长与井深有怎样的关系呢？
绳长=４×（井深＋１）
不论用什么方式量井深，绳子的长度不变，因此，本题有等量关系：
4（井深＋1）＝3（井深＋ 4 ） ．
3、设井深为ｘ，你能列出怎样的方程
根据题意， 得：4(x+1)=3(x+4)
即：4x+4=3x+12
4、怎样解方程4x+4=3x+12呢？
【分析】消去右边的未知数，左边的常数项。
【解】：在方程两边同时减去３ｘ ， 得
4x+4-3x=3x+12-3x,化简， 得:x+4=12
再在方程两边同时减去４， 得:x+4-4=12-4
化简， 得:x=8
检验： 把x=8 代入方程①的左边和右边， 得
左边＝4×8+4=36, 右边＝3×8+12=36
左边＝ 右边．
所以x=8 是原方程4x+4=3x+12 的解．
【答】： 这口井深８ 尺．
5、在上例中， 我们根据等式性质１ 对方程两边作了如下变形：你发现了什么规律？
这种变形， 就是把方程中的某一项改变符号后， 从方程的一边移到另一边。
把方程中的某一项改变符号后， 从方程的一边移到另一边，我们把这种变形叫作移项（ｔｒａｎｓｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆｔｅｒｍ）．
4x+4=3x+12
4x-3x=12-4
【尝试练习】
下面的移项对吗？ 如不对， 请你改正．
（１） 从x-4=8 得x=8-4
（２） 从3x=2x+5, 得3x-2x=5
（３） 从5x-2=4x+1, 得5x-4x=1+2.
【解】（1）不对，(2) 对，（3） 对
【错因分析】
-4从等号左边移到右边没有变号。
【正解】(1) x=8+4.
【例1】用移项的方法解方程
（1 ）、 2x=x+3 （ 2 ）、 3x-1=40+2x
【解】：
（1）、移项得：2x-x=3.
化简，得：x=3.
检验: 把ｘ ＝ ３ 代入原方程的左边和右边，左边＝ ２ × ３ ＝ ６ ，
右边＝ ３ ＋ ３ ＝ ６ ，左边＝右边。所以ｘ ＝ ３ 是原方程的解.
应用迁移
（ 2 ）、 3x-1=40+2x
（2） 原方程为3x-1=40+2x，
移项， 得:3x-2x=40+1
化简， 得：x=41
检验： 把x=41 代入原方程的左边和右边，
左边＝ 3×41-1=122, 右边＝40+2×41=122, 左边＝ 右边．
所以x=41 是原方程的解
【变式练习】
通过移项解下列方程， 并写出检验过程．
(1) x+4=5； (2) -5+x=-4
(3)13x+8=12x ； (4)7x-3=6x-4 .
【解】（1）移项，得：x=5-4,
化简，得：x=1
检验：把x=1代入方程，左边=1+4=5，
右边=5，左边=右边
所以，x=1是方程x+4=5的解。
(2) -5+x=-4
(2) 移项，得：x=-4+5,
化简，得：x=1
检验，把x=1代入方程，
左边=-5+1=-4，右边=-4
所以，x=1是方程-5+x=-4的解。
(3)13x+8=12x
(3) 移项，得：13x-12x=-8,
化简，得：x=-8
检验，把x=-8代入方程，
左边=13×(-8)+8=-104+8=-96，
右边=12×(-8)=-96
所以，x=-8是方程13x+8=12x 的解
(4)7x-3=6x-4
(4) 移项，得：7x-6x=-4+3,
化简，得：x=-1
检验，把x=-1代入方程，
左边=7×(-1)-3=-10，
右边=6×(-1)-4=-10
左边=右边
所以，x=-1是方程7x-3=6x-4 的解。
【例2】若方程3x-5=4x+1与3m-5=4(m+x)-2m的解相同，求 （m+20）2008的值
【分析】“方程3x-5=4x+1与3m-5=4(m+x)-2m的解相同”，即第一个方程的解也是第二个方程的解，因此，先求出第一个方程的解，代入第二个方程，就能m。
【解】:将方程3x-5=4x+1
移项，得： 3x-4x=1+5,
化简，得：-x=6, 所以，x= -6.
把x=-6代入方程3m-5=4(m+x)-2m中，得：
3m-5=4(m-6)-2m.
去括号，得：3m-5=4m-24-2m.
移项得：3m-4m+2m= -24+5.
化简，得：m=-19.
所以，(m+20)2008=(-19+20)2008=12008=1
【变式练习】
1、如果代数式3x-5与1-2x的值互为相反数，那么x=____
【分析】根据互为相反数的和等于0列方程
【解】依题意，得：(3x-5)+(1-2x)=0
去括号，得：3x-5+1-2x=0,
移项，得：3x-2x=5-1
化简，得：x=4
检验，把x=4代入原方程，左边=（3×4-5）+（1-2×4）=7+（-7）=0，右边=0，
所以,x=4是方程(3x-5)+(1-2x)=0的解。
2 、请你任意圈出下面日历中竖列上三个相邻的数，求出它们的和并告诉我，我就知道你圈出的是哪三个数。
【分析】每一个竖列中相邻三个数具有特点：中间一个数比上一个数多7，比下一个小7.
【解】设某同学告诉老师三个数的和是36，那么设中间一个是x，则上一个是x-7,下个是x+7.
于是，(x-7)+x+(x+7)=36
所以，x-7+x+x+7=36
3x=36,x=12.
12-7=5,12+7=19.
小结
这一节你有什么收获？
1、等式的性质（1） 等式两边都加上(或者减去)同一个数(或同一个式子)所得结果仍等式.
（2 ）等式两边都乘以(或者除以)同一个数(或同一个式子)（除数或者除式不能为0）,所得结果任然是等式。
2、移项，是指把方程中的一项从等号的一边移到另一边。注意变号。
作业 p 117, A 1 、 2、3
家庭作业：对课题做
再见！4.2解一元一次方程的算法(三)
【知识与技能】
1．在具体情景中建立方程模型．
2．能准确应用去括号法则解一元一次方程。
【过程与方法】
通过方程的解法，培养学生运算能力。
【情感态度与价值观】
通过规范的解题步骤，培养思维的严整性，逻辑性和灵活性，并渗透化归思想。
【教学重、难点】
重点：利用去括号的法则解含括号的一元一次方程。
难点：解含多重括号的一元一次方程
教学过程
一 激情引趣，导入新课
1 下面去括号是否正确？
（1）2-(3x-5)=2-3x-5，（2） 5x- 3（2x-4）=5x-6x-12
2下图中马路的旁边栽了几颗树？间隔几段？段数和棵数有什么关系？
2颗，间隔一段， 3颗，间隔2段， 4颗，间隔3段， 5颗，间隔4段
规律：当一条路的两个端点栽上树的时候，树的棵树=间隔的段数+1
下面我们就来看一道与植树有关的问题
二 合作交流，探究新知
主题1、有括号的方程解题思路
问题：现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5.5米栽一棵，则树苗正好用完．你能算出原有树苗的棵数和这段路的长度吗
思考：
1、题目有哪些等量关系？
每隔5米栽一颗，需要的棵数=实际有的棵数+21
每隔5.5米栽一颗，需要的棵数=实际有的棵树。
2、设实际树的棵树为x，每隔5.5米栽一颗，栽了_____颗树,道路的长度可表示为：__________.
【答】x, 5.5×（x-1）
每隔5米栽一颗，能栽_______颗，道路的长度可表示为___________.
【答】x+21, 5×(x+21-1)
3、不管怎么栽，道路的长度改变吗？由此你可以列出怎样的方程？
5.5×（x-1）=5×(x+21-1)，即：5.5（x-1）=5(x+20)
4、上面这个方程与本章前面的方程比较， 方程中多了括号， 妨碍了移项． 那么这样的方程如何解呢？
【思路】：利用乘法分配率，先去括号，再移项
利用分配率得：5.5x-5.5=5x+100,移项，得：5.5x-5x==100+5.5,化简，得：0.5x=105.5
两边乘以2得：x=211
道路的长为：5（211+20）=1155
答： 原有树苗２１１ 棵， 这段路的长度为１ １５５ m．
【点评】上面方程含有括号，先利用乘法分配率去掉括号，再移项。
【变式练习】
1、去掉下列括号：
（1）（a-b）_(a+b)=_______,(2)_2(a-b)+3(c-d)=___________
(3)d-[-2a+(b+c)]=____________.
2、解方程2(X-3)-3(x-4)=5,去括号正确的是（ ）
A 2x-3-3x+4=5, B 2x-6-3x-4=5, C 2x-6-3x-12=5,D 2x-6-3x+12=5
主题2、解带括号的一元一次方程
【例】解方程：
【分析】去掉括号，再移项。
【解】去括号， 得：
移项， 得：
化简， 得：
方程两边同除以，得：
（检验的过程虽然不用再书写出来， 但还是要求同学们自己进行检验， 以后解一元一次方程也这样．）
【变式练习】
1、 下面方程的解法对不对？如果不对，请改正。
解方程：
解：去括号，得
移项，得
化简，得
方程两边除以，得：x= -
【答】不对，第一步，去括号时，与3漏乘,移项时，“x”没有变号。
【正解】【解】去括号，得：
移项，得：
化简，得：
方程两边乘以-5，得：x= -4
2、 解列方程，并口算检验：
（1）（4y+8）+(3y-7)=0 , （2）2(2x-1)-2(4x+3)=7, (3)
【解】（1）去括号，得 4y+8+3y-7=0, 移项，得4y+3y=-8+7,化简，得：7y=-1,两边同除以7，得：y=
（2）去括号，得：4x-2-8x-6=7,移项，得：4x-8x=2+6+7,化简，得：-4x=15,两边除以-4得：x=-
(3)去括号，得：，移项，得：，，
三 应用迁移，巩固提高
1 解含有多重括号的方程
【例1 】解方程：
【分析】先去括号，从外向里比从内向外简单些。
【点评】对于有多重括号的方程，要先观察，思考去括号的方向，是由内向外还是由外向内。
【变式练习】解方程：
2 实践应用
【例2】 如果代数式8x-9与6-2x的值互为相反数，则x的值为___________
【解】依题意，得：（8x-9）+(6-2x)=0,去括号得：8x-9+6-2x=0,移项，得：8x-2x=9-6
化简，得：6x=3,所以，x=0.5.
【变式练习】
如果用C表示摄氏温度（℃），f表示华氏温度（℉），那么c和f之间的关系是“c=(f-32)”
已知C=15,求f.
五 反思小结，拓展提高
遇到有括号的方程应该怎样处理呢？
遇到有括号的方程，一般先去括号，然后移项（未知数移到等号左边，常数项移到等号右边），化简（化为ax=b（a≠0））,两边同除以未知数系数（或两边同乘以未知数系数的倒数）。
六作业 p 118 A 组 5、6、7 B 组 2
1（第18届“希望杯”试题）以x 为未知数的方程2007x+2007a+2008a=0（a,b为有理数，且b>0）有正整数解，则ab是（ ）
（A）负数 （B）非负数 （C）正数 （D）零
2（第18届“希望杯”试题）如图7，正方形ABCD的面积为25平方厘米，点E在AB上，BE=1.5AE,点F在BC上，BF=4CF，则点D到EF的距离为 平方厘米。(提示：直接三角形两直角边的平方和等于斜边的平方)
3（第18届“希望杯”试题）三个有理数a，b，c满足a：b：c=2：3：5, 且，则a+b+c= 。
4（第18届“希望杯”试题）男女运动员各一名，在环行跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发，那么每隔25秒相遇一次，现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，男运动员经过15分钟追上女运动员，并且比女运动员多跑了16圈，女运动员跑了 圈。
5已知关于x的方程3[x-2 (x-)]=4x,和有相同的解，求这个解。
6、已知关于x的方程3[x-2 (x-)]=4x,和有相同的解，求这个解。
