(共39张PPT)
5.1.1 变化率问题
1.瞬时速度
我们把物体在_________的速度称为瞬时速度.
【思考】
物体在时间段
的平均速度与在时刻t=1的瞬时速度有什么关系?
提示:当时间间隔
无限趋近于0时,平均速度
就无限趋近于t=1时的
瞬时速度.
必备知识·素养奠基
某一时刻
2.极限
对于
=
=-4.9Δt-5,我们把-5叫做“当Δt无限趋近于0时,
=
的极限”,记为
=-5.
3.曲线的切线
当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的
直线P0T称为抛物线f（x）=x2在点P0（1，1）处的切线.
【思考】
曲线的割线P0P与曲线在P0的切线有什么关系?
提示:当横坐标间隔
无限变小时,点P无限趋近于点P0,割线P0P无限趋近于
点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数.
( )
(2)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
公式中Δx与Δy同号.
( )
(3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在[t,t+Δt]上,当Δt较小时的平均速度.
( )
提示:(1)×.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数,
也可以是负数,但不能为0.
(2)×.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
公式中Δx与Δy
可能同号,也可能异号.
(3)×.物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt?0时,平均速度的极限.
2.某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内下列理解正确的
是( )
A.(t0+Δt)-t0称为函数值增量
B.t0称为函数值增量
C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)称为函数值增量
D.
称为函数值增量
【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C
正确.
3.曲线y=x2-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为
( )
A.0
B.1
C.-1
D.
【解析】选A.
k=
=
=0.
关键能力·素养形成
类型一 求运动物体的平均速度
【典例】1.已知一物体的运动方程为y=f(t)=2t2+1,其中t的单位是s,路程单位为m,那么物体在时间[1,1+Δt]内的平均速度为
( )
A.4 B.4Δt C.4+2Δt D.2Δt
2.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的
是( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【思维·引】1.根据函数变化率的定义求解.
2.结合图形的变化趋势判断甲乙在各个时间段的平均速度的大小.
【解析】1.选C.由题意,Δy=f(1+Δt)-f(1)
=2(1+Δt)2+1-3=4Δt+2(Δt)2,
所以
=4+2Δt.
2.选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;
在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速
度较大.
【内化·悟】
如何计算运动物体的平均速度?
提示:应用公式
,
或者
.
【类题·通】
求平均变化率的步骤
物体的运动方程为y=f（x）,求在区间
[
]的平均变化率的步骤:
(1)求时间的改变量Δx=x-x0;
(2)求函数值的变化量Δy=f（x）-f（x0）;
(3)求平均变化率
.
提醒:Δx,Δy的值可正、可负,但Δx≠0,当f（x）=c为常数时,Δy=0.
【习练·破】
已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2,其中r∈(0,+∞),则当
半径r∈[1,1+Δr]时,圆的面积S的平均变化率为________.?
【解析】当r∈[1,1+Δr]时,圆面积S的平均变化率为
=
=
=2π+πΔr.
答案:2π+πΔr
类型二 求瞬时速度
【典例】1.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2
s时的瞬时速度是
( )
A.2
m/s
B.6
m/s
C.4
m/s
D.8
m/s
2.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是
( )
A.-3
B.3
C.6
D.-6
【思维·引】关键是求位移改变量.
【解析】1.选D.v=
.
2.选D.v=
(-3Δt-6)=-6.
【内化·悟】
求
(aΔt+b)时,能否直接求Δt=0的结果?
提示:能.因为当Δt无限接近0时,在含有Δt的整式中,可直接把Δt看作0来
处理.
【类题·通】
1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度
.
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,
无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
2.求
(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算.
(2)求出
的表达式后,Δx无限趋近于0,可令Δx=0,求出结果即可.
【习练·破】
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t
(单位:s)存在函数关系为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则起跳后1
s的瞬时速度
是________.?
【解析】起跳后1
s的瞬时速度
答案:-3.3
m/s
类型三
求曲线的切线方程
角度1 求切线方程
【典例】曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为
( )
A.y=5x-1
B.y=-5x+1
C.y=
x+1
D.y=-
x-1
【思维·引】关键是求函数在某点处的切线的斜率.
【解析】选A.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线的斜率为
k=
=5,f(1)=4.由点斜式得切线方程为y-4=5(x-1),
即y=5x-1.
【类题·通】
1.求曲线上某点处切线方程的三个步骤
2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0,y0).
(2)求出函数y=f(x)在点x0处的极限k=
.
(3)利用Q在曲线上和k=kPQ,解出x0,y0及k.
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=k(x-x0).
【习练·破】
1.曲线f(x)=
在点(-2,-1)处的切线方程为________.?
【解析】点(-2,-1)在曲线f(x)=
上.
因为
所以切线方程为y+1=-
(x+2),即x+2y+4=0.
答案:x+2y+4=0
2.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则
=______.?
【解析】
=2a=2,
解得a=1,把切点(1,3)代入函数y=ax2+b,
得3=a+b,所以b=3-a=2,故
=2.
答案:2
角度2 求切点坐标
【典例】已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标
为( )
A.(-2,1)
B.(0,-7)
C.(2,1)
D.(3,11)
【思维·引】求出切点的横坐标,进而求出切点坐标.
【解析】选C.设P点坐标为(x0,2
-7),
则
所以4x0=8,解得x0=2.所以P的坐标为(2,1).
【内化·悟】
已知切线斜率求切点坐标只有一解吗?
提示:不是,也可能两解或多解.
【类题·通】切点问题的处理方法
(1)借斜率先求横坐标:由条件得到直线的倾斜角或斜率,由这些信息求出点的
横坐标.
(2)与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直
线的倾斜角和斜率的关系,两直线平行或垂直与斜率的关系等.
【习练·破】
1.曲线y=f(x)=x3在点P处切线的斜率k=3,则点P的坐标为
( )
A.(-2,-8)
B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8)
D.(-
,-
)
【解析】选B.设点P的坐标为(x0,y0),
则k=
.
因为k=3,所以3
=3,得x0=1或x0=-1,
所以y0=1或y0=-1.
所以点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
2.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.
【解析】设点P的坐标为(x0,y0),
则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为
=2x0,
直线2x-6y+5=0的斜率为
,
由题设知2x0·
=-1,解得x0=-
,
此时y0=
,所以点P的坐标为(
)
.
课堂检测·素养达标
1.某物体的运动方程为y=x2,在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为
( )
A.k1>k2
B.k1C.k1=k2
D.不确定
【解析】选D.k1=
=
=2x0+Δx,
k2=
=
=2x0-Δx.因为Δx可大于零也可小于零,所以k1与k2的大小不确定.
2.某物体做自由落体运动的位移s(t)=
gt2,g=9.8
m/s2,若
=9.8
m/s,则9.8
m/s是该物体
( )
A.从0
s到1
s这段时间的平均速度
B.从1
s到(1+Δt)s这段时间的平均速度
C.在t=1
s这一时刻的瞬时速度
D.在t=Δt
s这一时刻的瞬时速度
【解析】选C.根据题意,
=9.8
m/s,
则物体在t=1
s这一时刻的瞬时速度为9.8
m/s.
3.如图是物体的运动方程的图象,则该物体在区间[0,2]上的平均变化率
为________.?
【解析】由题图知,f(x)=
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
答案:
【新情境·新思维】
如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象,k为曲线在点P处的切线斜率,则
f(2)+k=________.?
【解析】由题干图可知,
点P处切线的斜率为k=
=-
,
切线方程为y=-
(x-4),
将x=2代入得f(2)=
.则f(2)+k=
-
=
.
答案:温馨提示：
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课时素养评价
十二 变化率问题
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( )
A.(5+Δt)(m/s)
B.[5+(Δt)2](m/s)
C.[5(Δt)2+Δt](m/s)
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s).
2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是
( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.Δs=2+Δt+-2-
=Δt-,=1-,
所以t=2时的瞬时速度为
==.
3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
( )
A.-9
B.-3
C.9
D.15
【解析】选C.=
=3+3Δx+(Δx)2,
则曲线在点P(1,12)处的切线斜率
k=[3+3Δx+(Δx)2]=3,
故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.
4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为
( )
A.y=9x
B.y=9x-26
C.y=9x+26
D.y=9x+6或y=9x-26
【解析】选D.设P(x0,y0),=
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.
所以[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,
因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________.?
【解析】===-1.
答案:-1
6.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.?
【解析】==2,
故切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.一物体的运动方程为y=f(x)=x2+3,在其图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy).
求:(1).
(2)在x=1处的瞬时速度.
【解析】(1)=
==2+Δx.
(2)=(2+Δx)=2.
8.已知s(t)=gt2,其中g=10
m/s2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度.
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.
(3)求t=3秒时的瞬时速度.
【解析】(1)Δt=3.1-3=0.1(s),
Δs=s(3.1)-s(3)=·g·3.12-·g·32=3.05(m),
则===30.5(m/s).
(2)Δt=3.01-3=0.01(s),
Δs=s(3.01)-s(3)=·g·3.012-·g·32
=0.300
5(m),
则==
=30.05(m/s).
(3)由瞬时速度的定义,可知
Δs=s(3+Δt)-s(3)=g(3+Δt)2-g·32
=3gΔt+g(Δt)2,=3g+g·Δt,
则v瞬时==3g=30(m/s).
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·开封高二检测)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为
( )
A.2
B.4
C.2c
D.4c
【解析】选B.根据题意,f(x)=x2+2c,
则有==4.
2.(5分)已知曲线y=-x2-2上一点P,则点P处的切线的倾斜角为
( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
【解析】选C.因为点P在曲线y=f(x)=-x2-2上,则点P处的切线斜率为
k=
===-1.
所以点P处的切线的倾斜角为135°.
3.(5分)已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=________时的速度为7.?
【解析】令s=f(t),由题意知
=
=(12t+6Δt-5)=12t-5=7,
所以t=1.
答案:1
4.(5分)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[0,1],则点P横坐标的取值范围为__________.?
【解析】设点P(x0,y0),则
=
=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
又切线斜率的取值范围为[0,1],
所以0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.
答案:
5.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】==2x+Δx,
则=(2x+Δx)=2x,
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=2x0,由点斜式可得,所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,
所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是{a|a<2}.
1.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为________.?
【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
=3+2ax0-9=3--9,
当x0=-时,取最小值--9,
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,
所以该切线斜率为-12.所以--9=-12,
解得a=±3.又a<0,所以a=-3.
答案:-3
2.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,其运动方程为s=at2.如果它的加速度是a=5×105
m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为t0=1.6×10-3
s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.
【解析】因为Δs=a(t0+Δt)2-a
=at0Δt+a(Δt)2,
所以=at0+aΔt,所以瞬时速度v==at0.
由题意知a=5×105
m/s2,t0=1.6×10-3
s,
故v=at0=8×102=800(m/s).
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.
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