(共45张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.函数y=f(x)的自变量x从x0变化到x0+Δx的平均变化率
必备知识·素养奠基
定义式
实质
函数值的改变量与自变量的改变量之比
意义
刻画函数在
上函数值变化的快慢
【思考】
(1)Δx=x2-x1是正数吗?
提示:Δx=x2-x1可能是正数,也可能是负数,但不能为0.
(2)函数的平均变化率的几何意义是什么?
提示:几何意义为函数y=f
图象上过两点P1
,P2
的割线的
斜率.
(
）
(x2,y2)
(x)
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)
(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率
无限趋近于一个确定的值,即
有
极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f
(x)
在x=x0处的
导数.
(2)记作f′
或y′
,
即f′
=
=
.
(3)作用:刻画函数在某点处函数值变化的快慢.
【思考】
(1)函数y=f
在x=x0处的导数一定存在吗?
提示:当Δx→0时,平均变化率
的极限存在,则函数y=f
在x=x0处可导,
否则在x=x0处不可导或无导数.
(2)函数y=f
在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?
提示:还可以表示为f′
=
=
等.
(x)
(x)
(x)
3.导数的几何意义
(1)切线的定义
如图,在曲线y=f(x)上任取一点P（
x,f（x））,如果当点P（x,f（x））沿着
曲线y=f(x)无限趋近于点P0
时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,
这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在P0处的切线.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,
即k0=
=f′(x0).
【思考】
(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?
提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.
(2)曲线的切线与导数有什么关系?
提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值
就是该切线的斜率.
②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定
可导,例如f(x)=
在x=0处有切线,但不可导.
4.导函数的概念
(1)定义:当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,称它为y=f(x)的导函数(简称导数).
(2)记作f′(x)或y′,即f′(x)=y′=
.
【思考】
f′(x)与f′(x0)相同吗?它们之间有何关系?
提示:f′(x)与f′(x0)不相同.f′(x)是函数f(x)的导函数,f′(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f′(x)在x=x0时的函数值.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值.
( )
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值.
( )
(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
( )
(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.
( )
提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)
在点x=x0处的导数值.
(2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在
点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值.
(3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在
点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
(4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在
点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.
2.函数f(x)在x0处可导,则
( )
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.与x0,h均无关
D.仅与h有关,而与x0无关
【解析】选B.因为f′(x0)=
,
所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.
3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等于________.?
【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3,
所以由导数的几何意义可知y′|x=2=3.
答案:3
关键能力·素养形成
类型一 求函数在某点处的导数
【典例】求函数y=x+
在x=1处的导数.
【思维·引】先求
,再求
得结果.
【解析】因为Δy=(1+Δx)+
-(1+1)=Δx+
-1,
所以
=1-
,
所以
=
（
1-
）=0.
【素养·探】
在求函数在某点处的导数时,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数定义,通过计算求得.
将本例中的函数改为y=3x+2,结果如何?
【解析】
=
=
=3.
【类题·通】
求函数y=f(x)在点(x0,f(x0))
处的导数的三个步骤
简称:一差、二比、三极限.
【习练·破】
利用导数的定义,求函数y=
+2在x=1处的导数.
【解析】因为Δy=
所以y′|x=1=
=
=-2.
【加练·固】
已知函数f(x)在x=1处存在导数,则
=
( )
A.f′(1)
B.3f′(1)
C.
f′(1)
D.f′(3)
【解析】选C.
=
=
f′(1).
类型二 导数的意义在实际问题中的应用
【典例】一质点做抛物线运动,已知在t
s时,质点的运动路程(单位:m)为
s(t)=8-3t2.
(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;
(2)求质点在t=1
s时的瞬时速度,并说明它们的意义.
【思维·引】(1)按照平均速度的定义式计算;
(2)取平均速度的极限即为瞬时速度.
【解析】(1)因为s(t)=8-3t2,
所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,
所以质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为:
=-6-3Δt.
(2)质点在t=1
s时的瞬时速度即s′(1).
s′(1)=
=
(-6-3Δt)=-6.
质点在t=1
s时的瞬时速度为-6
m/s,说明在第1
s附近,
质点的运动路程每秒大约减少6
m.
【内化·悟】
本例中当导数值为正或负时,有什么不同的意义?
提示:当导数值为正时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是增加的;当导数值为负时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是减少的.
【类题·通】
关于导数的实际意义
根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生.可以利用上述实际问题理解导数的实际意义,导数是在某一时刻附近的瞬时变化率,是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小.
【习练·破】
柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体,如果开始加热后第x
h的沥青温度(单位:℃)为y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f′(0.25),并说明它的实际意义.
【解析】因为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,
所以
所以f′(0.25)=
=40.
它的实际意义表示,在x=0.25
h附近,沥青的温度以40
℃/h速率上升.
【加练·固】
一杯80
℃的热红茶置于20
℃的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出,请问
(1)f′(t)是正数还是负数?有什么实际意义?
(2)f′(3)=-4的实际意义是什么?
【解析】(1)f′(t)<0,其意义为在t附近温度的瞬时变化率,f′(t)为负数,说明f(t)的值在t附近红茶的温度降低.
(2)f′(3)=-4的实际意义是:在3
min附近红茶的温度以4
℃/min的速率下降.
类型三 导数几何意义的应用
【典例】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【思维·引】(1)先由已知求出l1的斜率,再由l1⊥l2,求出l2的斜率,进而求出切点坐标,得出l2的方程.
(2)先求出l1与l2的交点坐标,l1,l2与x轴的交点,进而求出直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【解析】(1)y′=
=2x+1.
所以y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,
则有2b+1=-
,b=-
,B(
)
,
所以直线l2的方程为y=-
x-
.
(2)解方程组
得
所以直线l1和l2的交点坐标为(
)
.
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),
(
)
.
所以所求三角形的面积S=
×
×
=
.
【素养·探】
在导数几何意义的应用问题中,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数的双重性和切点的双重性,列方程,通过计算得到答案.
将本例中“l1⊥l2”改为“l1与l2倾斜角互补”结果如何?
【解析】(1)由典例可知直线l1的斜率为3,方程为y=3x-3.
因为l1与l2倾斜角互补,所以直线l2的斜率为-3,
所以2b+1=-3,b=-2,B(-2,0),
所以直线l2的方程为y=-3x-6.
(2)解方程组
解得
所以直线l1和l2的交点坐标为(
),l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),
(-2,0),所以所求三角形的面积S=
×3×
=
.
【类题·通】
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.
【习练·破】
1.若曲线y=x2上的点P处的切线与直线y=-
x+1垂直,则在点P处的切线方程
为
( )
A.2x-y-1=0
B.2x-y-2=0
C.x+2y+2=0
D.2x-y+1=0
【解析】选A.与直线y=-
x+1垂直的直线的斜率为k=2.
由y=x2知,y′=
=
(2x+Δx)=2x.
设点P的坐标为(x0,y0),则2x0=2,即x0=1,故y0=1.
所以在点P处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
2.求抛物线y=x2上的一点到直线x-y-2=0的最短距离.
【解析】根据题意可得,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点
到直线x-y-2=0的距离最短,由y=x2知,y′=
=
(2x+Δx)=2x.
设切点坐标为(x0,
).
根据定义可求导数y′
=2x0=1,
所以x0=
,所以切点坐标为(
)
.
切点到直线x-y-2=0的距离d=
.
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为
.
课堂检测·素养达标
1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线
( )
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交
【解析】选B.f′(x0)=0,说明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,所以与x轴平行或重合.
2.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.f′(xA)>f′(xB)>0
【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(xA)3.若函数y=f(x)在x=1处的导数为1,则
=
( )
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选B.根据导数的定义,
=f′(1)=1.
4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a=________.?
【解析】由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,
所以4=13+a+3,解得a=0.
答案:0
【新情境·新思维】
李华在参加一次同学聚会时,用如图所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子中
倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h
是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图象可能是
( )
【解析】选B.由于圆口杯是“下细上粗”,则开始饮料高度增加较快,以后饮料高度增加得越来越慢,仅有B符合.温馨提示：
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课时素养评价
十三 导数的概念及其几何意义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·沧州高二检测)设f(x)为可导函数,且f′(2)=,则的值为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选C.因为f′(2)=,
则=f′(2)=.
2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的
是
( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
【解析】选B.在t0处,W1(t0)=W2(t0),但
W1(t0-Δt)<,
所以,在相同的时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,即乙厂的治污效果较好.
3.一物体的运动方程为f(x)=x2-3x,则f′(0)=
( )
A.Δx-3
B.(Δx)2-3Δx
C.-3
D.0
【解析】选C.f′(0)=
==(Δx-3)=-3.
4.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上一点,且f′(x0)=0,则点P的坐标
为
( )
A.(1,10)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(-1,10)
【解析】选B.=
=
=3Δx+6x0+6,
所以f′(x0)=
=(3Δx+6x0+6)
=6x0+6=0,
所以x0=-1.
把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y0=-2.
所以P点坐标为(-1,-2).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a=________.?
【解析】f′(1)==
=a=3.
答案:3
6.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为,则a=________.?
【解析】因为f′(a)==3a2,
所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).
令y=0,得切线与x轴的交点为,
由题设知三角形面积为·|a3|=,
解得a=±1.
答案:±1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.
【解析】由方程组
得x2-2x+1=0,解得x=1,y=4,
所以交点坐标为(1,4),
又=Δx+2.
当Δx趋近于0时,Δx+2趋近于2.
所以在点(1,4)处的切线斜率k=2.
所以切线方程为y-4=2(x-1),即y=2x+2.
8.已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程.
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
【解析】(1)将x=1代入y=x3得y=1,
所以切点为P(1,1).
因为y′==
=
=[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,所以y′|x=1=3.
所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)由
可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,
解得x1=1,x2=-2.
从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).
说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·琼山高二检测)设函数f(x)=x2+ax,且=1,则a=
( )
A.-
B.-
C.1
D.-1
【解析】选D.若=1,
即=2+a=1,解得a=-1.
2.(5分)已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2
020的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,
由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,
所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),
所以=-,故数列的前n项和为Sn=+++…+=1-,
所以S2
020=1-=.
3.(5分)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=________.?
【解析】由导数的定义可求得y′=
=2ax,所以曲线斜率k=2ax=1,所以x=,y=-1.
代入y=ax2,可解得a=.
答案:
4.(5分)已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值范围为________.
?
【解析】由题意,得f′(x)=
=3x2-3a=-1无解,
即3x2-3a+1=0无解,故Δ<0,解得a<.
答案:a<
5.(10分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)(单位:℃)为蜥蜴的体温,t(单位:min)为太阳落山后的时间.
(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少?
(2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?
(3)求T′(5),并解释它的实际意义.
【解析】(1)T(10)-T(0)=+15-
=-16,
即从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为==-1.6(℃/min),
表示从t=0到t=10这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.
(3)
=
=-,
当Δt趋近于0时,-趋近于-1.2,
即T′(5)=-1.2,它表示在太阳落山后的5分钟左右,蜥蜴体温每分钟大约降低1.2
℃.
1.设f(x)在x=x0处可导,则=
( )
A.-f′(x0)
B.f′(-x0)
C.f′(x0)
D.2f′(x0)
【解析】选A.=
-=-f′(x0).
2.已知点M(0,-1),F(0,1),过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.
(1)求直线l的方程.
(2)求以点F为焦点,l为准线的抛物线C的方程.
【解析】(1)令f(x)=y=x3-4x+4,
所以f′(2)=
=
==0,
即曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线斜率为0,
而l与此切线平行,故l的斜率也为0.
又l过点M(0,-1),所以直线l的方程为y=-1.
(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点,y=-1为准线,
设抛物线方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2.
故抛物线C的方程为x2=4y.
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