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课时素养评价
十四 基本初等函数的导数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列命题正确的是
( )
A.(logax)′=
B.(logax)′=
C.(3x)′=3xln
3
D.(ln
x)′=
【解析】选CD.根据基本初等函数导数公式知,(logax)′=,(3x)′=
3xln
3,(ln
x)′=.所以A,B均不正确,C,D正确.
2.(2020·阜阳高二检测)已知f(x)=,则f′(8)等于
( )
A.0
B.2
C.
D.-1
【解析】选C.f(x)=,得f′(x)=,所以f′(8)=×=.
3.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于
( )
A.4
B.-4
C.5
D.-5
【解析】选A.f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4.
当a=4时,a-1=3,则f′(-1)=-4成立.
当a=-4时,f′(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.
4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为
( )
A.
B.-
C.-e
D.e
【解析】选D.因为y′=(ex)′=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k===,得x0=1,所以k=e.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数f(x)=,则f′(x)=________,f′=________.?
【解析】因为f(x)==,所以f′(x)=.
f′=×=×=.
答案:
6.曲线y=cos
x在x=处的切线方程为________.?
【解析】因为cos=0,
即求曲线y=cos
x在点处的切线方程,
y′=-sin
x,当x=时,y′=-1.
所以切线方程为y=-1·,即x+y-=0.
答案:x+y-=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知点P在曲线y=cos
x上,直线l是以点P为切点的切线.
(1)求a的值.
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.
【解析】(1)因为P在曲线y=cos
x上,
所以a=cos=.
(2)因为y′=-sin
x,
所以kl=y′=-sin=-.
又因为所求直线与直线l垂直,
所以所求直线的斜率为-=,
所以所求直线方程为y-=,
即y=x-+.
8.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积.
【解析】联立两条曲线方程解得
故交点坐标为(1,1).
因为k1=-x=1=-1,k2=2xx=1=2,
所以两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,
与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示.
因为两条切线与x轴的交点分别为(2,0),.
所以三角形的面积S=××1=.
(15分钟·30分)
1.(5分)正弦曲线y=sin
x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是
( )
A.∪
B.[0,π)
C.
D.∪
【解析】选A.因为y′=cos
x,而cos
x∈[-1,1].
所以直线l的斜率的范围是[-1,1],
所以直线l倾斜角的范围是∪.
2.(5分)若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是
( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【解析】选A.y′=,y′|x=a=x=a=,
所以切线方程为y-=(x-a).
令x=0,得y=,令y=0,得x=-a.
由题意知S=×a×=2,解得a=4.
3.(5分)(2020·广陵高二检测)若f(x)=x3,其导数满足f′(x0)=3,则x0的值为________.?
【解析】根据题意,若f(x)=x3,其导数f′(x)=3x2,若f′(x0)=3,则3=3,解得x0=±1.
答案:±1
4.(5分)设f0(x)=sin
x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2
020(x)等于________.?
【解析】因为f0(x)=sin
x,
所以f1(x)=f′0(x)=(sin
x)′=cos
x,
f2(x)=f′1(x)=(cos
x)′=-sin
x,
f3(x)=f′2(x)=(-sin
x)′=-cos
x,
f4(x)=f′3(x)=(-cos
x)′=sin
x,
所以4为最小正周期,所以f2
020(x)=f0(x)=sin
x.
答案:sin
x
5.(10分)求下列函数的导(函)数.
(1)y=x-5;
(2)y=4x;
(3)y=;
(4)y=sin;
(5)y=cos(2π-x).
【解析】(1)y′=(x-5)′=-5x-6;
(2)y′=(4x)′=4xln
4;
(3)因为y=··=,
所以y′=;
(4)因为y=sin=cos
x,
所以y′=-sin
x;
(5)因为y=cos(2π-x)=cos
x,
所以y′=-sin
x.
1.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.?
【解析】因为函数y=x2,y′=2x,
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),令y=0得ak+1=ak.
又因为a1=16,
所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,
所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21
2.已知两条曲线y1=sin
x,y2=cos
x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直?并说明理由.
【解析】不存在.理由如下:设y1=sin
x,y2=cos
x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0).
则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为
k1=y1′=cos
x0,
k2=y2′=-sin
x0,
若使两条切线互相垂直,
必须有cos
x0·(-sin
x0)=-1,
即sin
x0·cos
x0=1,
即sin
2x0=2,这是不可能的,
所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直.
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5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
1.几个常用函数的导数
必备知识·素养奠基
函
数
f(x)=c
f(x)=x
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=
f(x)=
导
数
f′(x)=0
f′(x)=1
f′(x)=2x
f′(x)=3x2
f′(x)
=-
f′(x)
=
2.基本初等函数的导数公式
函数
导数
函数
导数
f(x)=c
(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=ax
(a>0,且a≠1)
f′(x)=ax
ln
a
f(x)=xα(α∈Q,
且α≠0)
f′(x)=______
f(x)=ex
f′(x)=__
f(x)=sin
x
f′(x)=_______
f(x)=logax
(a>0,且a≠1)
f′(x)=
f(x)=cos
x
f′(x)=
________
f(x)=ln
x
f′(x)=______
αxα-1
ex
cosx
-sinx
【思考】
(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?
提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特殊的指数函数,所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况.
(2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?
提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(sinx)′=-cos
x.
( )
(2)
( )
(3)(log5x)′=
.
( )
(4)(lnx)′=
.
( )
提示:(1)×.(sin
x)′=cos
x.
(2)×.
′=(x-1)′=-x-2=-
.
(3)×.(log5x)′=
.
(4)√.
2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于
( )
A.0 B.2x C.6 D.9
【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.
关键能力·素养形成
类型一 利用导数公式计算导数
【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),则f′(2)=
( )
A.8 B.12
C.8ln
3 D.0
2.已知f(x)=
,则f′(1)=
( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
3.求下列函数的导数.
(1)y=x6.(2)y=2x.(3)y=log3x.(4)y=
.
【思维·引】运用基本初等函数的导数公式.
【解析】1.选D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数,
所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.
2.选D.f(x)=
=x-3,所以f′(x)=-3x-4,所以f′(1)=-3.
3.(1)y′=(x6)′=6x5.
(2)y′=(2x)′=2xln
2.
(3)y′=(log3x)′=
.
(4)y′=
′=(x-2)′=
-2x-3.
【内化·悟】
运用导数公式求导需注意什么问题?
提示:认真审题,确定函数类型,准确选择公式计算.
【类题·通】
运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数,直接套用公式;
(2)对于较为复杂,不能直接套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.
【习练·破】
1.已知函数f(x)=cos
,则f′(x)=
( )
A.sin
B.-sin
C.cos
D.0
【解析】选D.f(x)=cos
=-
,所以f′(x)=0.
2.已知f(x)=
,则f′(
)=________.?
【解析】因为f(x)=
,所以f′(x)=
,
所以f′(
)=
×
=
.
答案:
【加练·固】
若函数f(x)=
,则f′(1)=
( )
A.0 B.-
C.1 D.
【解析】选B.因为f(x)=
,
所以f′(x)=
,f′(1)=
-
.
类型二 导数公式的应用
【典例】1.曲线y=
在点(
)处的切线方程为
( )
A.4x-4
y+2
-1=0
B.4x-4y+1=0
C.4
x-4y+2-
=0
D.4x+4y-3=0
2.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=
(x>0)上点P处的切线垂直,则
点P处的切线方程为________.?
【思维·引】1.求函数y=
在x=
处的导数,即为切线的斜率.
2.先求函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y=
(x>0)上点P处的导数,从而
求出点P的坐标.
【解析】1.选B.由于y=
,所以y′=
,于是
=1,所以曲线在
点（
）处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.
2.由题意知,y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=
(x>0)
的导数为y′=-
(x>0),曲线y=
(x>0)在点P处的切线斜率k2=-
(m>0),
由题意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.
点P处的切线方程为x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
【内化·悟】
应用导数公式求切线方程的关键是什么?
提示:确定切点,求函数在切点处的导数,即切线的斜率.
【类题·通】
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【习练·破】
(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
【解题指南】求得函数f(x)的导数f′(x),计算出f(1)和f′(1)的值,可得出所
求切线的点斜式方程,化简即可.
【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,
因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
【加练·固】
函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有________条.
( )?
A.1 B.2 C.多于两个 D.不能确定
【解析】选B.因为f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±
.
所以可得切点坐标为（
）和（
）.
所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.
课堂检测·素养达标
1.下列结论不正确的是
( )
A.若y=3,则y′=0
B.若y=
,则y′=-
C.若y=-
,则y′=-
D.若y=3x,则y′=3
【解析】选B.y′=
′=
′=-
=-
.
2.若y=ln
x,则其图象在x=2处的切线斜率是
( )
A.1 B.0 C.2 D.
【解析】选D.因为y′=
,所以y′
,
故图象在x=2处的切线斜率为
.
3.若y=sin
x,则y′
=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.y′=cos
x,y′
=cos
=
.
4.曲线y=ln
x与x轴交点处的切线方程是________.?
【解析】因为曲线y=ln
x与x轴的交点为(1,0),
所以y′
=1,切线的斜率为1,
所求切线方程为y=x-1.
答案:y=x-1
