(共38张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.3 简单复合函数的导数
1.导数的四则运算法则
必备知识·素养奠基
和、差的导数
[f(x)±g(x)]′=
_______________
积的导数
[f(x)·g(x)]′=
_______________________
商的导数
=____________________（g（x）≠0）
f′(x)±g′(x)
f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)
【思考】
函数y=c·f(x)求导,是积的导数吗?结果是什么?
提示:函数y=c·f(x)求导,是积的导数,其结果为:
y′=[c·f(x)]′=c·f′(x).
2.复合函数及其导数
(1)定义:一般地,对于两个函数y=f（u）和u=g（x）,如果通过中间变量u,y
可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f
（u）和u=g
（x）的复合函
数,记作y=f（
g（x））.
(2)求导法则:对于复合函数y=f
（g
（x））,y′x=__________,即y对x的导数
等于_____的导数与_____的导数的乘积.
y′u·u′x
y对u
u对x
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若y=x+
,则y′=1+
.
( )
(2)若y=x2cos
x,则y′=-2xsin
x.
( )
(3)若y=
,则y′=-cos
x.
( )
(4)若y=3x2-e2x,则y′=6x-2ex.
( )
提示:(1)×.由y=x+
,得y′=1-
.
(2)×.由y=x2
cos
x,得y′=2x
cos
x-x2
sin
x.
(3)×.由y=
,得y′=
(4)×.根据导数四则运算法则,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.
2.已知函数f(x)=
,f′(m)=-
,则m=
( )
A.-4
B.4
C.±2
D.-2
【解析】选C.f′(x)=-
,所以f′(m)=-
=-
,解得m=±2.
3.函数y=x2sin
x的导数为
( )
A.y′=2xsin
x+x2cos
x
B.y′=2xsin
x-x2cos
x
C.y′=x2sin
x+2xcos
x
D.y′=x2sin
x-2xcos
x
【解析】选A.因为y=x2sin
x,
所以y′=(x2)′sin
x+x2(sin
x)′=2xsin
x+x2cos
x.
关键能力·素养形成
类型一 利用运算法则求函数的导数
【典例】1.(2020·永州高二检测)已知函数f(x)=ax2+2
020,且f′(1)=4,则
a的值为
( )
A.2
020
B.2
015
C.2
D.
2.求下列函数的导数:
(1)y=
-ln
x.
(2)y=(x2+1)(x-1).
(3)y=
.
(4)y=
.
【思维·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.
2.运用导数的四则运算法则求导.
【解析】1.选C.根据题意,函数f(x)=ax2+2
020,
则f′(x)=2ax,
若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.
2.(1)y′=(
-ln
x)′=(
)′-(ln
x)′=
.
(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.
(3)y′=
.
(4)y′=
.
【内化·悟】
运用导数四则运算法则求导需要注意哪些问题?
提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.
(2)准确运用法则求导.
【类题·通】
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数
组合成的,确定求导法则,基本公式.
(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积
式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法
则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.
【习练·破】
1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于
( )
A.-1
B.-2
C.2
D.0
【解析】选B.因为f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,
所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.
2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=
.若f′(1)=
,则a=________.?
【解析】由函数的解析式可得:
f′（x）
=
,
则f′（1）=
,
所以
,
所以a2-2a+1=0,解得:a=1.
答案:1
【加练·固】
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln
x,则f′(1)
等于
( )
A.-e B.-1 C.1 D.e
【解析】选B.因为函数f(x)的导函数为f′(x),且满足
f(x)=2xf′(1)+ln
x(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+
,
把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.
2.若函数f(x)=
在x=x0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值等于( )
A.0
B.1
C.
D.不存在
【解析】选C.由于f(x)=
,
得f(x0)=
,f′(x)=
,
所以f′(x0)=
.
依题意知f(x0)+f′(x0)=0,得
+
=0,
即
=0,所以2x0-1=0,得x0=
.
类型二 复合函数的导数
【典例】求下列函数的导数.
(1)y=ln
(6x+4).
(2)y=sin
.
(3)y=5log2(2x-1).
【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则
进行求导.
【解析】(1)设y=ln
u,u=6x+4,则
y′x=y′u·u′x=
·6=
=
.
(2)设y=sin
u,u=3x-
,则y′x=y′u·u′x=cos
u·3=3cos（
）.
(3)设y=5log2u,u=2x-1,则y′=5(log2u)′·(2x-1)′=
.
【类题·通】
求复合函数的导数的步骤
提醒:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.
【习练·破】
1.(2020·大庆高二检测)已知f(x)=sin
2x+e2x,则f′(x)=
( )
A.2cos
2x+2e2x
B.cos
2x+e2x
C.2sin
2x+2e2x
D.sin
2x+e2x
【解析】选A.根据题意,f(x)=sin
2x+e2x,则f′(x)=2cos
2x+2e2x.
2.(2020·泉州高二检测)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,则a=( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.f′(x)=
-a,
所以f′(2)=
-a=-1,解得a=
.
类型三 导数运算法则的综合应用
【典例】1.已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与
直线2ex-y-1=0平行,则实数a=
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,
求a,b,c的值.
【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程,也满足切线方程.
【解析】1.选B.函数y=aex+x的导数为y′=aex+1,可得曲线y=aex+x在
点(1,ae+1)处的切线的斜率为y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a=
.
2.因为f(1)=1,所以a+b+c=1.①
又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②
又切点(2,-1)在抛物线上,所以4a+2b+c=-1.③
把①②③联立得方程组
解得
即a=3,b=-11,c=9.
【内化·悟】
运用导数解有关切线问题应特别注意什么?
提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】
关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
【习练·破】
1.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围
是________.?
【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函数f(x)=ex+2ax存在与直线
y=5x+6平行的切线,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a<
.
答案:a<
2.设曲线y=xn+1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令
an=lg
xn,则a1+a2+…+a99的值为________.?
【解析】因为当x=1时,y′=n+1,所以y=xn+1在点(1,1)处的切线方程为
y=(n+1)(x-1)+1.
令y=0,得x=xn=
,所以an=lg
n-lg(n+1),
所以a1+a2+…+a99=lg
1-lg
100=-2.
答案:-2
【加练·固】
若曲线y=x2+aln
x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则
此时该切点的坐标为
( )
A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4)
【解析】选A.y=x2+aln
x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知
y′=2x+
≥2
=4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,
故所求的切点坐标是(1,1).
课堂检测·素养达标
1.已知函数f(x)=sin
2x+ln
x,则f′(1)的值为
( )
A.1-2sin
2
B.1+2cos
2
C.1+2sin
2
D.1-2cos
2
【解析】选B.因为f′(x)=2cos
2x+
,所以f′(1)=2cos
2+1.
2.函数f(x)=ex+xsin
x-7x在x=0处的导数等于
( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin
x)′-(7x)′=ex+sin
x+xcos
x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.?
【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′
=3
-10=2,
即
=4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15).
答案:(-2,15)
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x3-
2x,则f(1)=________.?
【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln
2,当x=1时,
有f′(1)=3f′(1)-2ln
2,解得f′(1)=ln
2,则f(x)=ln
2×x3-2x,故f(1)=
ln
2-2.
答案:ln
2-2
【新情境·新思维】
(2020·广州高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N
).若f(x)=xsin
x,
则f5(x)+f7(x)=
( )
A.-2cos
x
B.-2sin
x
C.2cos
x
D.2sin
x
【解析】选B.f(x)=xsin
x,则f1(x)=f′(x)=sin
x+xcos
x,
f2(x)=f1′(x)=cos
x+cos
x-xsin
x=2cos
x-xsin
x,
f3(x)=f2′(x)=-2sin
x-sin
x-xcos
x=-3sin
x-xcos
x,
f4(x)=f3′(x)=-3cos
x-cos
x+xsin
x=-4cos
x+xsin
x,
f5(x)=f4′(x)=4sin
x+sin
x+xcos
x=5sin
x+xcos
x,
f6(x)=f5′(x)=5cos
x+cos
x-xsin
x=6cos
x-xsin
x,
f7(x)=f6′(x)=-6sin
x-sin
x-xcos
x=-7sin
x-xcos
x.
则f5(x)+f7(x)=5sin
x+xcos
x-7sin
x-xcos
x=-2sin
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课时素养评价
十五 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·秦州高二检测)函数f(x)=x-2ln
x,则f′(1)=
( )
A.-1
B.1
C.2
D.-2
【解析】选A.根据题意,f(x)=x-2ln
x,
其导数f′(x)=1-,则f′(1)=1-2=-1.
2.(2020·福州高二检测)已知函数f(x)=,则f′(x)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.根据题意,f(x)=,
则f′(x)=
=.
3.(2020·高安高二检测)f(x)=x(2
018+ln
x),若f′(x0)=2
020,则x0等
于
( )
A.e2
B.1
C.ln
2
D.e
【解析】选D.f(x)=x(2
018+ln
x),
则f′(x)=2
019+ln
x,
所以f′(x0)=2
019+ln
x0=2
020,所以x0=e.
4.(2020·兰州高二检测)已知f(x)=sin
x+cos
x+,则f′等于
( )
A.-1+
B.1+
C.1
D.-1
【解析】选D.f′(x)=cos
x-sin
x,
故f′=cos
-sin
=-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·南通高二检测)已知函数f(x)=(x+a)ln
x,f′(x)是函数f(x)的导函数.若f(1)=f′(1),则实数a的值为________.?
【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln
x,
则f(1)=(1+a)ln
1=0,
则f′(x)=(x+a)′ln
x+(x+a)(ln
x)′=ln
x+,则f′(1)=ln
1+1+a=1+a,
则有1+a=0,解得a=-1.
答案:-1
6.(2020·全国Ⅰ卷)曲线y=ln
x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.?
【解题指南】设切线的切点坐标为(x0,y0),对函数求导,利用y′=2,求出x0,代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程,化简即可.
【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=ln
x+x+1,
y′=+1,y′=+1=2,x0=1,y0=2,
所以切点坐标为(1,2),
所求的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
答案:y=2x
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求下列函数的导数:
(1)y=x.
(2)y=.
(3)y=cos
(3x-2).
(4)f(x)=3x2+xcos
x+lg
x.
【解析】(1)因为y=x=x3+1+,
所以y′=3x2-.
(2)y′=′=
==-.
(3)y′=-sin
(3x-2)×(3x-2)′=-3sin
(3x-2).
(4)f′(x)=6x+cos
x-xsin
x+.
8.已知曲线y=e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.
【解析】因为y′=(e2x)′·cos
3x+e2x·(cos
3x)′
=2e2x·cos
3x-3e2x·sin
3x,所以y′|x=0=2,
所以经过点(0,1)的切线方程为y-1=2(x-0),
即y=2x+1.
设符合题意的直线方程为y=2x+b,
根据题意,得=,解得b=6或-4.
所以符合题意的直线方程为y=2x+6或y=2x-4.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知f(x)=x2+cos
x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象
是
( )
【解析】选A.函数f(x)=x2+cos
x,f′(x)=-sin
x,
f′(-x)=-sin(-x)=-=-f′(x),
故f′(x)为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除B,D,f′=×-sin=-<0.故C不对,A正确.
2.(5分)(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是
( )
A.1
B.
C.
D.-
【解析】选AB.因为(0,0)在直线l上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为f′(0)=2,所以直线l的方程为y=2x,
又直线l与y=x2+a相切,
所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;
当O(0,0)不是f(x)的切点时,
设切点为(x0,-3+2x0)(x0≠0),
则f′(x0)=3-6x0+2,
所以=3-6x0+2,得x0=,
所以f′=-,所以直线l的方程为y=-x.
由得x2+x+a=0,
由题意得Δ=-4a=0,所以a=.
综上得a=1或a=.
3.(5分)(2018·全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________________.?
【解析】y′=,k==2,
所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案:y=2x
4.(5分)若f(x)=x2-2x-4ln
x,则f′(x)=________,f′(x)>0的解集为________.?
【解析】由f(x)=x2-2x-4ln
x,得函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=2x-2-
=
=>0,解得x>2,
故f′(x)>0的解集为{x|x>2}.
答案:2x-2- {x|x>2}
【加练·固】
已知f(x)=cos
x,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为________.?
【解析】f′(x)+g′(x)=-sin
x+1≤0,
所以sin
x≥1,又sin
x≤1,
所以sin
x=1,所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:
5.(10分)已知函数f(x)是关于x的二次函数,f′(x)是f(x)的导函数,对一切x∈R,都有x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1成立,求函数f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.
所以x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,
所以解得
所以f(x)=2x2+2x+1.
1.已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.则实数a的值为________,切线l的方程为________.?
【解析】因为f(x)=x3-2x2+ax,
所以f′(x)=x2-4x+a.
由题意可知,方程f′(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.所以Δ=16-4(a+1)=0,所以a=3.
所以f′(x)=x2-4x+3=-1,即x2-4x+4=0.
解得切点横坐标为x=2,所以f(2)=×8-2×4+2×3=,所以切线l的方程为y-=(-1)×(x-2),
即3x+3y-8=0.
所以a=3,切线l的方程为3x+3y-8=0.
答案:3 3x+3y-8=0
2.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.
(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.
(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.
【解析】(1)函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,+2x1)处的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-. ①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x,
曲线C2在点Q(x2,-+a)的切线方程是y-(-+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x++a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程消去x2得方程2+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).
由Δ=0,得a=-,解得x1=-,此时P与Q重合,即当a=-时,C1和C2有且仅有一条公切线.
由①得公切线方程为y=x-.
(2)由(1)可知,当a<-时,C1和C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,y1+y2=+
2x1+(-+a)=+2x1-(x1+1)2+a=-1+a,线段PQ的中点为.
同理另一条公切线段P′Q′的中点也是,
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
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