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课时素养评价
十七 函数的极值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.x=a是函数y=f(x)的极小值点
B.当x=-a或x=b时,函数f(x)的值为0
C.函数y=f(x)关于点(0,c)对称
D.函数y=f(x)在(b,+∞)上单调递增
【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知,A中,在x=a附近,f′(x)<0,故x=a不是极小值点;B中,导数为0时,函数值不一定为0;C中,导函数的对称性与原函数的对称性没有关系;D中,当x>b时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
2.(2020·张家界高二检测)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值是
( )
A.-3e
B.-e2
C.2e2
D.
【解析】选D.f(x)=(x2-3x+1)ex,x∈R.f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+1)ex=(x2-x-2)ex=
(x-2)(x+1)ex.令f′(x)=0,解得x=-1,2.令f′(x)>0,解得x>2,或x<-1.令f′(x)<0,解得-1
3.(多选题)对于函数f(x)=x3-3x2,给出选项中正确的是
( )
A.f(x)是增函数,无极值
B.f(x)是减函数,无极值
C.f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2)
D.f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值
【解析】选CD.f′(x)=3x2-6x.
令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;
令f′(x)=3x2-6x<0,得0当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和极小值-4.
所以CD正确.
4.(2020·荆州高二检测)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值为M,极小值为N,则M-N
( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a无关,且与b有关
C.与a无关,且与b无关
D.与a有关,且与b无关
【解析】选C.f′(x)=3(x-a)2-3,
令f′(x)=0,得x=a-1,或x=a+1,
当x变化时,f′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a-1)
a-1
(a-1,a+1)
a+1
(1+a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
因此,函数f(x)在x=a+1处取得极小值,函数f(x)在x=a-1处取得极大值,M-N=f(a-1)-f(a+1)=-1-3(a-1)+b-1+3(a+1)-b=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是________(填写序号).?
①当x=时函数取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数取得极小值;
④当x=1时函数取得极大值.
【解析】从题中图象上可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有①不正确.
答案:②③④
6.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.?
【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,
又f(x)=x(x2-2cx+c2),
所以f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.
所以f′(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.
当c=2时,不能取极大值,故c=6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求f(x)的单调区间与极值.
【解析】由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln
2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln
2)
ln
2
(ln
2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
2(1-ln
2+a)
↗
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln
2),
单调递增区间是(ln
2,+∞);且f(x)在x=ln
2处取得极小值.极小值为
f(ln
2)=eln
2-2ln
2+2a=2(1-ln
2+a),无极大值.
8.设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.
(1)求a,b,c的值.
(2)求函数的递减区间.
【解析】(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.
又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,
故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.
所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.
令y′=0,解得x=0或x=-a,
即x=0和x=-a是极值点.
由图象知函数在x=0处取极大值,
故在x=-a处取极小值.
当x=-a时,函数有极小值-4,
所以+a=-4,
整理得a3=-27,解得a=-3.
故a=-3,b=0,c=0.
(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,
令y′<0,即3x2-6x<0,
解得0所以函数的递减区间是(0,2).
(15分钟·30分)
1.(5分)如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,
b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.
2.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是
( )
【解析】选C.由题意可得f′(-2)=0,
而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;
当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),
xf′(x)>0,
所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
3.(5分)(2020·福州高二检测)设a<0,若函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是________.?
【解析】因为y=ex+2ax,a<0,所以y′=ex+2a.
由题意知ex+2a=0有小于0的实根,
令y1=ex,y2=-2a,则两曲线交点在第二象限,
结合图象:
易得0<-2a<1?-故实数a的取值范围是.
答案:
4.(5分)若函数y=x·2x在x=x0时取极小值,则x0=________.?
【解析】令y′=2x+x·2xln
2=2x(1+xln
2)=0,
得x=-.
所以当x>-时,y′>0,函数递增;
当x<-时,y′<0,函数递减.
所以当x=-时函数取极小值.
答案:-
【加练·固】
三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是
( )
A.y=x3+6x2+9x
B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x
D.y=x3+6x2-9x
【解析】选B.三次函数过原点,结合选项,
可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,
由题设知,f′(1)=3+2b+c=0,
f′(3)=27+6b+c=0,
解得b=-6,c=9.
所以f(x)=x3-6x2+9x;
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
当x=1时,f(x)极大值=4;
当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件.
5.(10分)已知函数f(x)=x2-2ln
x,h(x)=x2-x+a.
(1)求函数f(x)的极值.
(2)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+∞).
令f′(x)=2x-=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
所以f(x)在x=1处取得极小值,又f(1)=1,
所以f(x)的极小值为1,无极大值.
(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-2ln
x-a(x>0),
所以k′(x)=1-,令k′(x)>0,
得x>2,令k′(x)<0,得0所以k(x)在(0,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增.
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,
则需解得2-2ln
23.
1.若函数f(x)=aln
x-ex有极值点,则实数a的取值范围是
( )
A.(-e,+∞)
B.(1,e)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
【解析】选D.因为函数f(x)=aln
x-ex,x∈(0,+∞),所以f′(x)=-ex,
①当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值点,
②当a>0时,根据y=与y=ex的图象,如图所示,
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0,
当x∈(0,x0)时,>ex,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,x0)上单调递增;当x∈(x0,
+∞)时,0时,函数f(x)有一个极大值点.
2.设f(x)=xln
x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由f′(x)=ln
x-2ax+2a,
可得g(x)=ln
x-2ax+2a,x∈(0,+∞),
则g′(x)=-2a=,
当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0,x∈时,
g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.
(2)由(1)知,f′(1)=0.
①当a≤0时,f′(x)单调递增.
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01,由(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x∈(0,1)时,
f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,
在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,
f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x∈时,
f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
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PAGE(共49张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件
如果在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必
有最大值和最小值.
必备知识·素养奠基
连续不断
【思考】
(1)在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,反之成立吗?
提示:反之不成立,在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,但有
最值不一定有极值.
(2)函数的极值与最值有什么区别?
提示:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定
区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部取得,函数最值可能在区间端点取
得.
2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【思考】
函数的最值一定在区间端点处取得吗?
提示:不一定,当函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数时,函数最值在区间端点取得,否则,函数最值不一定在区间端点取得.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最
小值.
( )
(2)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值.
( )
(3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值.
( )
(4)若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有
极值,则可有多个极值.
( )
提示:(1)×.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值.
(2)×.闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值.
(3)×.
(4)√.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.
2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是
( )
A.5,15
B.5,-4
C.5,-16
D.5,-15
【解析】选D.由y=2x3-3x2-12x+5得y′=6x2-6x-12,
令y′=0得x=-1(舍去)或x=2.
故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值,而
f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
故最大值为5,最小值为-15.
3.已知函数f(x)=sin
x-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值为-1,则实数a的值是
______.?
【解析】由f(x)=sin
x-2x-a,得f′(x)=cos
x-2<0,
所以函数f(x)在[0,π]上单调递减,
所以f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,
故a=1.
答案:1
关键能力·素养形成
类型一 求函数的最值
【典例】(2020·阳泉高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)=
的最大值是
________.?
【思维·引】求导,求极值,求区间端点的函数值,通过比较求函数的最值.
【解析】由f(x)=
可得,f′(x)=
因为-1≤x≤1,所以2-x>0,
当-1≤x<0时,f′(x)=
<0,函数单调递减,
当0>0,函数单调递增,
又f(1)=
,f(-1)=e,故当x=-1时,函数取得最大值e.
答案:e
【内化·悟】
求函数在给定闭区间上的最值需要注意什么问题?
提示:特别要注意自变量的取值范围.
【类题·通】
求函数最值的四个步骤
第一步,求函数f(x)的定义域.
第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0.
第三步,列出关于x,f(x),f′(x)的变化表.
第四步,求极值、端点值,确定最值.
警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
【习练·破】
1.(2020·和平高二检测)函数f(x)=eln
x-x在(0,2e]上的最大值为( )
A.1-e
B.-1
C.-e
D.0
【解析】选D.根据条件可得f′(x)=
-1,令f′(x)=0可得x=e,
则当00,f(x)单调递增,当e则当x=e时,f(x)取极大值也为最大值,所以f(x)max=f(e)=eln
e-e=0.
2.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在
[-2,2]上的最小值为
( )
A.-37
B.-29
C.-5
D.-11
【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
由f′(x)=0得x=0或2.
又f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)>f(2)>f(-2),
所以m=3,最小值为f(-2)=-37.
【加练·固】
函数f(x)=
,x∈[-2,2]的最大值是______,最小值是______.?
【解析】因为f′(x)=
令f′(x)=0可得x=1或-1.
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,
f(2)=
,f(-2)=-
,
所以最大值为2,最小值为-2.
答案:2 -2
类型二 含参数的最值问题
【典例】已知函数f(x)=ln
x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
【思维·引】
(1)求导,求单调区间.
(2)讨论函数在[1,2]上的单调性,求最值.
【解析】(1)f′(x)=
-a(x>0),
①当a≤0时,f′(x)=
-a>0,
即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f′(x)=
-a=0,可得x=
,
当0时,f′(x)=
>0;
当x>
时,f′(x)=
<0,
故函数f(x)的单调递增区间为
单调递减区间为
(2)①当
≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小
值是f(2)=ln
2-2a.
②当
≥2,即0时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最
小值是f(1)=-a.
③当1<
<2,即
上是增函数,在
上是减函数.
又f(2)-f(1)=ln
2-a.
所以当
2时,最小值是f(1)=-a;
当ln
2≤a<1时,最小值为f(2)=ln
2-2a.
综上可知,
当02时,函数f(x)的最小值是-a;
当a≥ln
2时,函数f(x)的最小值是ln
2-2a.
【内化·悟】
(1)求函数的单调区间需要特别注意什么?
提示:函数的定义域.
(2)求函数在给定闭区间上的最值需特别注意什么?
提示:求导,判断函数在给定区间上的单调性.
【类题·通】
1.含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大
于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调
函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端
点值比较后确定最值.
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.
【习练·破】
已知函数g(x)=ex-2ax-b,求g(x)在[0,1]上的最小值.
【解析】因为g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],ex∈[1,e],
所以:
(1)若a≤
,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,
g(x)min=g(0)=1-b.
(2)若
,则1<2a于是当0当ln(2a)0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,
g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
(3)若a≥
,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,
g(x)min=g(1)=e-2a-b.
综上所述,当a≤
时,
g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=1-b;
当
时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为
g(x)min=2a-2aln(2a)-b;
当a≥
时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=e-2a-b.
类型三 与最值有关的综合问题
角度1 求参数的范围
【典例】(2020·襄城高二检测)若函数f(x)=2x2-ln
x在其定义域的一个子区
间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是________.?
【思维·引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围.
【解析】函数f(x)=2x2-ln
x,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=4x-
=
令f′(x)=0得,x=
,由题意可知:
解得1≤k<
,所以实数k的取值范围是:1≤k<
.
答案:
【素养·探】
在解答与最值相关的问题时,往往对参数的范围进行讨论,需要用到核心素养
中的逻辑推理.分情况表示最值或求参数的范围.
本例中的函数不变,试求区间
上的最小值.
【解析】函数f(x)=2x2-ln
x,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=4x-
=
,令f′(x)=0得,x=
.
所以当0时,f′
<0,函数单调递减;
当x>
时,f′
>0,函数单调递增.
所以当a≤
时,函数有最小值f
=f
=2a2-ln
a;
当a>
时,函数有最小值f
=f
=
+ln
2.
角度2 探究问题
【典例】(2020·桂林高二检测)已知函数f(x)=x-aln
x+b(a≠0,b∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)是否存在正实数a,b,且b≤
,使得函数f(x)在区间[1,e]的值域为[2,e]?
若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【思维·引】(1)先求导,再根据a的不同取值情况讨论;
(2)借助函数的单调性,分别表示出值域后求a,b的值.
【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=1-
=
,
①当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当a>0时,令f′(x)>0,则x>a,故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上
单调递减.
(2)①当1由f(1)=1+b≤1+
=
所以必有
可得
令g(x)=2x-xln
x-2(1g′(x)=1-ln
x>0,
故函数g(x)在(1,e)上单调递增.
又由g(1)=0,故当1a>2,
不存在a使得2a-aln
a=2.
②当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减,
得a=2e-3,b=e-1>
,不合题意,舍去;
③当a<0时,由(1)可知f(x)在[1,e]上单调递增,
所以
解得a=1,b=1,不合题意,舍去;
④当0所以
解得a=1,b=1,符合题意.
综上所述,满足条件a,b的值为a=1,b=1.
【类题·通】
1.关于与最值有关的参数问题
一般从单调区间对参数的影响,最值的大小对参数的影响两个方面讨论.关键
是弄清函数的单调性,函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值.
2.关于与最值有关的探究问题
可以假定存在,根据已知条件表示出相关的量,再求参数的值,如果有解,则说
明存在,否则不存在.
【习练·破】
1.f(x)=x3+f′(1)x2+1,f(x)在(-2,m)上有最大值,则m的最大值为________.?
【解析】因为f(x)=x3+f′(1)x2+1,
所以f′(x)=3x2+2f′(1)x,因此f′(1)=3+2f′(1),
解得f′(1)=-3,所以f′(x)=3x2-6x,
由f′(x)=3x2-6x>0得x>2或x<0;
由f′(x)=3x2-6x<0得0所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递
增;
所以当x=0时,f(x)取极大值f(0)=1,由f(x)=x3-3x2+1=1得x=0或x=3;
又f(x)在(-2,m)上有最大值,所以只需0答案:3
2.(2020·徐州高二检测)已知函数f(x)=x2+ax-ln
x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(2)令函数g(x)=f(x)-x2(x∈(0,e]),是否存在实数a使函数g(x)的最小值是4?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)f′(x)=2x+a-
,因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以
f′(1)=2+a-1=0,解得a=-1.
(2)g(x)=f(x)-x2=ax-ln
x,x∈(0,e],假设存在实数a使函数g(x)的最小值是4.
即a≥
,x∈(0,e],令h(x)=
,x∈(0,e],
h′(x)=-
,可得x=
时,函数h(x)取得极大值即最大值.h
=e3.
所以a≥e3.所以存在实数a=e3,使函数g(x)的最小值是4.
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是
( )
A.1+
B.1
C.e+1
D.e-1
【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;
当x∈[0,1]时,f′(x)≥0.
所以
f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增.
又因为f(-1)=
+1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+
-e<0,即f(-1)所以f(x)max=f(1)=e-1.
2.函数y=f(x)=ln
x-x在区间(0,e]上的最大值为
( )
A.-e
B.1-e
C.-1
D.0
【解析】选C.y′=
-1,令y′=0,得x=1,列表如下:
从而y最大值=f(1)=-1.
x
(0,1)
1
(1,e)
e
y′
+
0
-
y
↗
-1
↘
1-e
3.函数y=x+2cos
x在
上取最大值时,x的值为
( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选B.因为y′=1-2sin
x,
解y′>0得sin
x<
,故0≤x<
,
解y′<0得sin
x>
,故
,
所以原函数在
上单调递增,
在
上单调递减,当x=
时函数取极大值,同时也为最大值.
4.函数f(x)=(1+x)ex的最小值为________.?
【解析】f′(x)=ex+(1+x)ex=ex(x+2),
令f′(x)=0得,x=-2,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,
函数f(x)单调递增,所以当x=-2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-e-2.
答案:-e-2
【新情境·新思维】
若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=
______.?
【解析】f′(x)=3x2-3,得当x>1或x<-1时,f′(x)>0;
当-1所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.
所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.
又f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)所以f(x)max=f(3)=18-a=m,
所以m-n=18-a-(-2-a)=20.
答案:20(共52张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系
在某个区间(a,b)上的函数y=f(x):
必备知识·素养奠基
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
函数f(x)在(a,b)上_________
f′(x)<0
函数f(x)在(a,b)上_________
单调递增
单调递减
【思考】
(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上单调递
增”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递增,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?
提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.
(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上单调递减”,
反之,若f(x)在(a,b)上单调递减,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?
提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递减,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.
(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?
提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=c.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一个函数f
在某一范围内导数的绝对值为
,则
函数值的变化
函数的图象
越大
在这一范围内变化得较快
比较“陡峭”
(向上或向下)
越小
在这一范围内变化得较慢
比较“平缓”
【思考】
为什么|f′(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?
提示:|f′(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象
越陡峭.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)因为
=
<0恒成立,所以函数y=
在(-∞,+∞)上单调递减.( )
(2)因为
=1+
>0,所以函数y=x-
在(-∞,+∞)上单调递增.( )
(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3
在(-∞,+∞)上是增函数.
( )
提示:(1)×.因为函数y=
的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
由
=-
<0恒成立,
所以函数y=
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
(2)×.因为函数y=x-
的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由
=1+
>0恒成
立,
所以函数y=x-
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
(3)×.因为f′(x)=2x+2,
所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,
当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,
即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上单调递减,在x∈(-1,+∞)上单调递增.
2.函数y=x-ln
x的单调递减区间为
( )
A.(-1,1]
B.(0,+∞)
C.[1,+∞)
D.(0,1]
【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),
令y′=1-
=
≤0,
解得x∈(0,1],
所以函数的单调递减区间为(0,1].
关键能力·素养形成
类型一 导数与函数图象的关系
【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是
( )
2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是
( )
3.函数y=f(x)在定义域
内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数
y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________.?
【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递
增.
【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上
为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)单调递增,故y=f(x)
在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)
上,f′(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为
对数增长的模式.
2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
3.函数y=f(x)在区间
和区间(2,3)上单调递减,
所以在区间
和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,
所以f′(x)<0的解集为
∪(2,3).
答案:
∪(2,3)
【内化·悟】
结合图象来研究导数与函数的关系,需注意哪些问题?
提示:(1)函数的定义域.
(2)导数的符号与函数单调性的关系.
【类题·通】
函数与导数图象间的关系
判断函数与导数图象间的对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次再注意以下两个方面:
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快
函数值增加得越来越慢
f′(x)>0且越来越大
f′(x)>0且越来越小
函数值减少得越来越快
函数值减少得越来越慢
f′(x)<0且越来越小,
绝对值越来越大
f′(x)<0且越来越大,
绝对值越来越小
【习练·破】
已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是( )
【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0.
【加练·固】
设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是
( )
【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知,当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0所以函数y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数.
类型二 利用导数求函数的单调区间
【典例】1.(2020·南平高二检测)函数f(x)=xex+1的单调递减区间是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)
2.(2020·金安高二检测)函数f(x)=x-2sin
x+1在(0,π)上的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【思维·引】1.求导,解使f′(x)<0的区间.
2.求导,解使f′(x)>0的区间.
【解析】1.选C.f′(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.
2.选D.f(x)=x-2sin
x+1,令f′(x)=1-2cos
x>0,可得
π故f(x)在(0,π)上的单调递增区间为
【内化·悟】
求函数的单调区间需要特别关注什么?
提示:求函数的单调区间需要特别关注函数的定义域.
【类题·通】
求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y′=f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.
如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而
只能用“逗号”或“和”字隔开.
【习练·破】
1.(2020·渝中高二检测)函数f(x)=(1-x)ex的单调递减区间是
( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
【解析】选D.f′(x)=-xex.当x>0时,f′(x)=-xex<0,函数单调递减.即函数的
单调递减区间是(0,+∞).
2.函数f(x)=2x2-ln
x,x∈(0,+∞)的单调递减区间为________.?
【解析】由题意得f′(x)=4x-
,令f′(x)=4x-
<0且x∈(0,+∞),
则x∈
答案:
【加练·固】
判断函数f(x)=ax3-1的单调性.
【解析】因为f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.
①当a>0时,f′(x)≥0,函数在R上单调递增;
②当a<0时,f′(x)≤0,函数在R上单调递减;
③当a=0时,f′(x)=0,函数在R上不具备单调性.
类型三 利用导数求参数的取值范围
角度1 已知函数单调性求参数的取值范围
【典例】1.若函数f(x)=kx-ln
x在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k的取值范
围是
( )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m的范围是________.?
【思维·引】1.f(x)=kx-ln
x在区间(1,+∞)上单调递增,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.
2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
【解析】1.选D.f′(x)=k-
,因为函数f(x)=kx-ln
x在区间(1,+∞)上单调
递增,所以f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,所以k≥
,而y=
在区间
(1,+∞)上单调递减,
所以k≥1,故实数k的取值范围是[1,+∞).
2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0对x∈R恒成立.
即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-
.
答案:
【素养·探】
已知函数单调性求参数的取值范围时,经常利用核心素养中的逻辑推理,将
函数单调性问题转化为恒成立问题.
将本例1条件改为:函数f(x)=kx-ln
x在区间(0,e)上单调递减,求实数k的取值
范围.
【解析】函数f(x)=kx-ln
x在区间(0,e)上单调递减,
即f′(x)=k-
≤0在区间(0,e)上恒成立,所以k≤
.
角度2 求参数范围的综合问题
【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
【思维·引】函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.
【解析】方法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=
-3x2+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函数,
则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.
即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.
设函数g(x)=3x2-2x,
由于g(x)的图象是对称轴为x=
且开口向上的抛物线,
故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立?t≥g(-1),
即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,
即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).
方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,
则f′(x)=-3x2+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.因为f′(x)的图象是开
口向下的抛物线,所以当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)
在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.
故t的取值范围是[5,+∞).
【类题·通】
1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
【习练·破】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0【解析】选A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,
又f(x)在(0,1)内单调递减,
所以不等式3x2-2ax-1≤0在
(0,1)内恒成立,
即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.
2.若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是
________.?
【解析】f′(x)=(mx-1)′ex+(mx-1)·(ex)′
=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).
由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f′(x)≥0,
即mx+m-1≥0对x∈(0,+∞)恒成立,
即m≥
对x∈(0,+∞)恒成立,
又当x∈(0,+∞)时,
<1,故m≥1.
答案:[1,+∞)
课堂检测·素养达标
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
( )
A.y=sin
2x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=-x+ln(1+x)
【解析】选B.y=xex,则y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.
2.若函数f(x)=-cos
x+ax为增函数,则实数a的取值范围为
( )
A.[-1,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-1,+∞)
D.(1,+∞)
【解析】选B.由题意可得,f′(x)=sin
x+a≥0恒成立,
故a≥-sin
x恒成立,
因为-1≤-sin
x≤1,所以a≥1.
3.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,且在
区间(0,2)上单调递减,则常数a的值为________.?
【解析】f′(x)=6x2+2ax,
令6x2+2ax<0,
当a>0时,
解得-
当a<0时,解得0,
由题意知-
=2,a=-6.
答案:-6
【新情境·新思维】
已知定义在区间(-2,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示,若函数f′(x)是f(x)
的导函数,则不等式
>0的解集为
( )
A.(-2,1)
B.(-2,-1)∪(-1,1)
C.(1,2)
D.(-
,-1)∪(0,
).
【解析】选B.结合导数与单调性关系可知,-2此时f′(x)<0,
当-1此时f′(x)>0,由不等式
>0可得,(x+1)f′(x)>0,
解得,-1故不等式的解集为(-2,-1)∪(-1,1).(共56张PPT)
第1课时 函数的极值
1.极小值点与极小值
若函数f(x)满足:
(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a).
(2)f′(a)=0.
(3)在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
则a叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做函数y=f(x)的_______.
必备知识·素养奠基
极小值点
极小值
【思考】
(1)函数的极小值点是点吗?
提示:函数的极小值点不是点,它是函数极小值对应的自变量的值.
(2)函数的极小值唯一吗?
提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.
2.极大值点与极大值
若函数f(x)满足:
(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b).
(2)f′(b)=0.
(3)在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
则b叫做函数y=f(x)的_________,f(b)叫做函数y=f(x)的_______.
极大值点
极大值
【思考】
函数的极大值一定大于它的极小值吗?
提示:不一定.
3.极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点.
(2)极小值、极大值统称为极值.
【思考】
极值点的分布有什么规律吗?
提示:有规律.如果函数y=f(x)既有极大值又有极小值,那么
①函数y=f(x)在极值点处导数为0;
②极大值点与极小值点交替出现,相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点,相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点.
4.求函数y=f(x)极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)为函数的极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)为函数的极小值.
【思考】
若f′(x0)=0,函数y=f(x)在x=x0处一定取得极值吗?
提示:不一定.例如f(x)=x3,x=0时,f′(0)=0,但由于在x=0两侧导数同号,因此函数f(x)=x3在x=0处不取得极值.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点.
( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值.
( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值.
( )
(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数.
( )
提示:(1)×.导数值为0的点不一定是函数的极值点.
(2)×.有的函数的某个极小值大于它的某个极大值.
(3)×.有的函数只有一个极大值或极小值;有的函数有一个极大值和一个极小
值;有的函数有多个极小值和极大值;也有的函数无极值.
(4)√.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反,
所以它在(a,b)内不是单调函数.
2.函数y=1+3x-x3有
( )
A.极小值-2,极大值2
B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值1
D.极小值-1,极大值3
【解析】选D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).
令y′=0得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;
当-10,函数y=1+3x-x3是增函数;
当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.
所以当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;
当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.
3.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(1,-6),当函数f(x)
取得极大值-5时,x的值应为
( )
A.1
B.0
C.-5
D.5
【解析】选B.设f(x)=x4-2x2+c,
又f(x)的图象过点(1,-6),
所以c=-5.故f(x)=x4-2x2-5.
又当f′(x)=0时,x=0或1或-1,
所以当函数f(x)取得极大值-5,
即f(x)=-5时,x=0.
关键能力·素养形成
类型一 求函数的极值(点)
【典例】1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是
( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.设函数f(x)=xex,则
( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【思维·引】
1.结合图象判断导数的符号,找出函数的极值点及极值.
2.求导,利用极值的定义求解.
【解析】1.选D.由函数的图象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0,则函数f(x)有极小值f(2).
2.选D.因为f(x)=xex,
所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x).
当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1,
所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数.
同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.
所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【内化·悟】
函数的极值点满足的条件是什么?
提示:(1)导数为0.
(2)两侧导数异号.
【类题·通】
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.
【习练·破】
(2020·平顶山高二检测)函数f(x)=-x2-2ln
x+5x的极大值是
( )
A.6-ln
2
B.6-ln
4
C.
+ln
4
D.
【解析】选B.函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=-2x-
+5
=
令f′(x)=
=0,则x1=
,x2=2.
当x∈
时,f′(x)<0;
当x∈
时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.
所以函数f(x)=-x2-2ln
x+5x的极大值为f(2)=6-2ln
2=6-ln
4.
类型二 与参数相关的极值问题
【典例】1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是________.?
2.函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则m的取值范围是________.?
【思维·引】
1.求出极小值点,令其在(0,1)内,求b的范围.
2.f′(x)≥0恒成立.
【解析】1.f′(x)=3x2-6b.
当b≤0时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值.
当b>0时,令3x2-6b=0得x=±
.
由函数f(x)在(0,1)内有极小值,可得0<
<1,
解得0.
答案:
2.因为f′(x)=3x2+2mx+1,
f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,
所以f′(x)≥0对x∈R恒成立,
所以Δ=(2m)2-4×3×1≤0?-
≤m≤
.
答案:[-
,
]
【内化·悟】
解决与参数相关的极值问题的范围的关键是什么?
提示:根据极值条件列不等式(组).
【类题·通】
已知函数的极值情况求参数时的注意问题
(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
【习练·破】
1.设a∈R,若函数y=x+aln
x在区间
上有极值点,则a的取值范围为
( )
A.
B.
C.
∪(e,+∞)
D.(-∞,-e)∪
【解析】选B.函数y=f(x)=x+aln
x在区间
上有极值点?y′=0在区间
上有零点.f′(x)=1+
=
(x>0).所以f′
·f′(e)<0,所以
(e+a)<0,
解得-e.所以a的取值范围为
.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是
__________.?
【解析】由题意知f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不等实根,所以Δ=4a2-
12(a+6)>0,
解得a<-3或a>6.
答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)
【加练·固】
已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=________.?
【解析】f′(x)=6x2+6(a+2)x+3a.
因为x1,x2是f(x)的两个极值点,
所以f′(x1)=f′(x2)=0,
即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,
从而x1x2=
=2,解得a=4.
答案:4
类型三 函数极值的综合问题
角度1 已知极值点求参数的值
【典例】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值.
(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.
【思维·引】
(1)x=±1是导函数的零点,结合f(1)=-1列方程组,求a,b,c的值.
(2)求导,确定极大值点还是极小值点.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,
由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.
又f(1)=-1,即a+b+c=-1.
解得a=
,b=0,c=-
.
(2)f(x)=
x3-
x,
所以f′(x)=
x2-
=
(x-1)(x+1);
当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,
在(-1,1)上为减函数.所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,x=-1是极大值
点;
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1,x=1是极小值点.
角度2 求含参数的函数极值
【典例】已知函数f(x)=x-aln
x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
【思维·引】(1)求导,点斜式求切线方程.
(2)求导,对a讨论判断导数符号求极值.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-
.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln
x,f′(x)=1-
(x>0),
则f(1)=1,f′(1)=-1,
故y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-
=
,x>0可知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln
a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln
a,无极大值.
【类题·通】
1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值的充要条件
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值?导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.
2.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为
(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)
和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.
(如图所示)
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0
【习练·破】
(2020·平谷高二检测)已知函数f(x)=
,其中a∈R.
(1)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)的极大值恒大于0.
【解析】(1)f′(x)=
当a=0时,f′(1)=
,f(1)=
,
则f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=
x.
(2)令f′(x)=0,解得x=2或x=-a,
①当a=-2时,f′(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)无
极值;
②当a>-2时,令f′(x)>0,解得-a2,
所以函数f(x)在(-a,2)上单调递增,在(-∞,-a),(2,+∞)上单调递减,
所以f(x)极大值=f(2)=
>0;
③当a<-2时,令f′(x)>0,解得2-a,
所以函数f(x)在(2,-a)上单调递增,在(-∞,2),(-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)极大值=f(-a)=
>0,
综上,函数f(x)的极大值恒大于0.
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.极小值点应有先减后增的特点,
即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.
由图象可知只有1个极小值点.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是
( )
A.在区间(-2,2)上单调递减
B.在x=-2处取得极小值
C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增
D.在x=0处取得极大值
【解析】选B.由图象得:f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(x)在x=-2处取极小值,在x=2处取极大值.
3.函数f(x)=
的极大值为________.?
【解析】因为函数f(x)=
,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=
令f′(x)=0得,x=e2,所以当x∈(0,e2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当
x∈(e2,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以当x=e2时,函数f(x)取到极
大值,极大值为f(e2)=
答案:
【新情境·新思维】
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则
下列图象不可能为y=f(x)图象的是
( )
【解析】选D.因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′
=[f(x)+f′(x)]ex,
且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,
所以f(-1)+f′(-1)=0;
选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,
不满足f′(-1)+f(-1)=0.温馨提示：
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课时素养评价
十六 函数的单调性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有
( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,
所以f(x)>f(a)≥0.
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象
是
( )
【解析】选A.f′(x)=2x+b,由于函数f(x)=x2+bx+c图象的顶点在第四象限,所以x=->0,得b<0.结合选项,可知选A.
3.(2020·开封高二检测)函数y=+3ln
x的单调增区间为
( )
A.(0,1)
B.
C.(1,+∞)
D.
【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),
令y′=-+=>0,解得x>.
故函数的单调递增区间为.
4.(2020·沧州高二检测)已知f(x)=a-2ln
x(a≥0)在[1,+∞)上为单调递增函数,则a的取值范围为
( )
A.[0,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选D.由题意知f′(x)=a-=≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
即ax2-2x+a≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
所以a≥=,
因为y=x+在[1,+∞)上单调递增,
所以y=x+≥2,则0<≤1,所以a≥1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·和平高二检测)已知函数f(x)=-x2+3x-2ln
x,则函数f(x)的单调递减区间为__________,单调增区间为________________.?
【解析】定义域为(0,+∞),令f′(x)=-x+3-<0,又x>0,解得:x>2或0答案:(0,1)和(2,+∞)
6.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f′(x)<0的解集为________.?
【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上为增函数,在(-,)内为减函数,
所以当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,
f′(x)>0;当x∈(-,)时,f′(x)<0.
所以x·f′(x)<0的解集为
{x|x<-或0答案:{x|x<-或0三、解答题(每小题10分,共20分)
7.(2020·赣州高二检测)已知函数f(x)=aln
x-bx2,a,b∈R,函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在上的单调性.
【解析】(1)f′(x)=-2bx,
由题意得解得
(2)由(1)知f(x)=ln
x-x2,
所以f′(x)=-x=-,
所以当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈(1,e)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的增区间是,减区间是(1,e).
8.已知函数f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a为实数.
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间.
(2)若f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=0时,f(x)=x2ex,
f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,
由f′(x)>0?x>0或x<-2,
故f(x)的单调增区间为(0,+∞)和(-∞,-2).
(2)由f(x)=(x2-ax)ex,x∈R?f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex.
记g(x)=x2+(2-a)x-a,
依题意知,当x∈[-1,1]时,g(x)≤0恒成立,
结合g(x)的图象特征得
即a≥,所以a的取值范围是.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是
( )
【解析】选C.由题图可知,当x<-1时,xf′(x)<0,
所以f′(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;
当-10,所以f′(x)<0,
此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;
当0此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;
当x>1时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,
此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.
2.(5分)(多选题)已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f′(x)( )
A.f(x)+f(b)≥g(x)+g(b)
B.f(x)-f(b)≥g(x)-g(b)
C.f(x)+g(a)≤g(x)+f(a)
D.f(x)+g(a)≥g(x)+f(a)
【解析】选BC.据题意,
由f′(x)故F(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上为减函数,
由单调性知识知,在[a,b]上必有F(x)≥F(b),
即f(x)-g(x)≥f(b)-g(b),
移项整理得:f(x)-f(b)≥g(x)-g(b).
同理F(x)≤F(a),f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),
移项整理得f(x)+g(a)≤g(x)+f(a).
3.(5分)函数f(x)=的单调递减区间为________.?
【解析】因为f′(x)=,
因为定义域为(0,1)∪(1,+∞),
所以f′(x)<0,即<0时,x∈∪(1,+∞),所以单调递减区间为和(1,+∞).
答案:和(1,+∞)
4.(5分)(2020·武汉高二检测)若函数f(x)=在上单调递减,则实数a的取值范围为________.?
【解析】f′(x)=≤0,
即-sin
2x-cos
2x-acos
x=-1-acos
x≤0,
acos
x≥-1,x∈,a≥,
由于y=-在x∈上递减,
当x=0时,y=-1,所以a≥-1.
答案:a≥-1
5.(10分)(2020·沧州高二检测)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln
x,a>1.
(1)若f′(2)=0,求a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解析】(1)由题意可得:f′(x)=x-a+,
故f′(2)=2-a+=0,所以a=3.
(2)因为函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln
x,其中a>1,
所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-a+==,
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.
①若a-1=1,即a=2时,f′(x)=≥0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②若00得,01.故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增,
③若a-1>1,即a>2时,由f′(x)<0得,10得,0a-1.
故f(x)在(1,a-1)上单调递减,
在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.
综上可得:当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当1在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增;
当a>2时,f(x)在(1,a-1)上单调递减,
在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.
1.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)<1,若f(1-m)-f(m)>1-2m,则实数m的取值范围是________.?
【解析】令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1<0,
故函数F(x)=f(x)-x在R上单调递减,
又由题设知f(1-m)-f(m)>1-2m,
则F(1-m)>F(m),故1-m.
故实数m的取值范围是.
答案:
2.(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln
x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f(x)≤2x+c?f(x)-2x-c≤0?
2ln
x+1-2x-c≤0(
),
设h(x)=2ln
x+1-2x-c(x>0),
则有h′(x)=-2=,
当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当00,h(x)单调递增,
所以当x=1时,函数h(x)有最大值,
即h(x)max=h(1)=2ln
1+1-2×1-c=-1-c,
要想不等式(
)在(0,+∞)上恒成立,
只需h(x)max≤0?-1-c≤0?c≥-1.
(2)g(x)=
=(x>0且x≠a),
因此g′(x)=,
设m(x)=2(x-a-xln
x+xln
a),
则有m′(x)=2(ln
a-ln
x),
当x>a时,ln
x>ln
a,所以m′(x)<0,m(x)单调递减,
因此有m(x)当0xa,所以m′(x)>0,m(x)单调递增,
因此有m(x)所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间.
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