人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 4.1 数列的概念课件+练习(5份打包)

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名称 人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 4.1 数列的概念课件+练习(5份打包)
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文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2020-11-27 12:31:24

文档简介

(共53张PPT)
第1课时 数列的概念与简单表示法
1.数列及其相关概念
(1)定义:按___________排列的一列数叫做数列.
(2)项:数列中的_________叫做这个数列的项.
(3)形式:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an是数列的第__项,第1项也叫做
首项.
必备知识·素养奠基
确定的顺序
每一个数
n
【思考】
(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?
提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.
(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?
提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
2.数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数_____的数列
无穷数列
项数_____的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列
常数列
各项都_____的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
3.函数与数列的关系
数列{an}是从________(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,自变量
是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
正整数N
【思考】
函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?
提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成. 
4.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以
用_________来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
一个式子
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.
(  )
(2){an}与an是一样的,都表示数列.
(  )
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.
(  )
(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(  )
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.
(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.
(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.
(4)×.
第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为
(  )                    
A.an=n,n∈N
B.an=n+1,n∈N
C.an=n+2,n∈N
D.an=2n,n∈N
【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N
.
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的
(  )
A.第9项
B.第10项
C.第11项
D.第12项
【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,
所以n=11或n=-11(舍去).
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________.?
【解析】a8=2×8-1=15.
答案:15
关键能力·素养形成
类型一 数列的概念以及分类
【典例】1.下列说法错误的是
(  )
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,…就是数列{n}
D.数列中的项不能是三角形
2.已知下列数列:
①2
011,2
012,2
013,2
014,2
015,2
016;
②1,
,
,…,
,…;
③1,-
,
,…,
,…;
④1,0,-1,…,sin
,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).?
【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.
2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.
【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.
同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.
按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.
数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.
2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
【内化·悟】
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?
提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.如何判断两个数列是相同数列?
提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.
【类题·通】
数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【习练·破】
下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
(  )
A.1,
,
,…
B.sin
,sin
,sin
,sin
,…
C.-1,-
,-
,-
,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,
,
,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减
数列;数列sin
,sin
,sin
,sin
,…是无穷数列,但它既不是递增数
列,又不是递减数列;数列-1,-
,-
,-
,…是无穷数列,也是递增数列;数列
1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
【加练·固】
下列数列
(1)1,2,22,23,…,263;
(2)0,10,20,30,…,1
000;
(3)2,4,6,8,10,…;
(4)-1,1,-1,1,-1,…;
(5)7,7,7,7,…;
(6)
其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号)?
【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是
(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是
(4),常数列是(5).
答案:(1)(2) (3)(4)(5)(6) (1)(2)(3) (6) (4) (5)
类型二 观察法写出数列的通项公式
【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为
(  )      
      
      
A.an=3n
B.an=n(n+2)
C.an=n+2n
D.an=2n+1
2.写出下列数列的一个通项公式:
(1)
,2,
,8,
,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9
999,…;
(4)
…;
(5)
…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.
2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,
所以an=n+2n.
2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:
…,所以,它的一个通项公式为an=
.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n
-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n
-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1
000,10
000,…此数列的通项公式为10n,可
得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-
1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1
开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an=
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为
负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的
形式表示通项公式,即an=
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示
为an=2+2×(-1)n+1.
【素养·探】
在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.
将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=
此数列两项3与5的平均数为
=4,
奇数项为4-1,偶数项为4+1,
故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
【类题·通】
(1)用观察法求数列通项公式的策略
(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
【习练·破】
写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)1
,2
,3
,4
,…;
(3)1,11,111,1
111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,
…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N
).
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为
故所求的数列的一个通项公式为an=n+
=
(n∈N
).
(3)原数列的各项可变为
×9,
×99,
×999,
×9
999,…,易知数列
9,99,999,9
999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为
an=
(10n-1)(n∈N
).
【加练·固】
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)
3,5,7,9,11,13,…;
(2)
,
,
,
,
,
…;
(3)
0,
1,
0,
1,
0,
1,…;
(4)
1,
3,
3,
5,
5,
7,
7,
9,
9,…;
(5)
2,
-6,
12,
-20,
30,
-42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积
an=
(4)
将数列变形为1+0,
2+1,
3+0,
4+1,
5+0,
6+1,
7+0,
8+1,
…,
所以
(5)
将数列变形为1×2,
-2×3,
3×4,
-4×5,
5×6,…,
所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三 数列通项公式的简单应用
【典例】已知数列{an}的通项公式为an=
.
(1)求a10.
(2)判断
是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.
(3)求证:0【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.
(2)令an=
,若n为正整数,则
是{an}的项,否则,不是{an}的项.
(3)分离常数后可证.
【解析】(1)根据题意可得a10=
(2)令an=
,即
=
,解得n=3,
所以
为数列{an}中的项,为第3项.
(3)由题知an=
=1-
,
因为n∈N
,所以3n+1>3,所以0<
<1,
所以0<1-
<1,即0【类题·通】
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
【习练·破】
数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.
(1)-60是否是{an}中的一项?
(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,
则-60=30+n-n2.
解得n=10或n=-9(舍去).
所以-60是{an}的第10项.
(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;
30+n-n2<0,
解得n=6;06,
即n=6时,an=0;
当0时,an>0;
当n>6且n∈N
时,an<0.
【加练·固】
已知数列{an}的通项公式为an=
.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)试问
是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为an=
,
所以a4=
=
,a6=
=
.
(2)令
=
,则n2+3n-40=0,
解得n=5或n=-8,注意到n∈N
,
故将n=-8舍去,所以
是该数列的第5项.
课堂检测·素养达标
1.有下列命题:
①数列
…的一个通项公式是an=
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,
1,-1,1,…是同一数列;
④数列
是递增数列.
其中正确命题的个数为
(  )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.由通项公式知a1=

,故①不正确;易知②正确;由于两数列中
数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,
所以④不正确.
2.数列
…的一个通项公式是
(  )
【解析】选B.因为数列
…的第三项可写成
这样,每一项都
是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________.?
【解析】由已知得a3=51-3=
.
答案:
4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=
n∈N
,则
是数列
中的第________项.?
【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=

即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).
答案:4
【新情境·新思维】
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.
【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:
2=2×1=2×12=2×
8=2×4=2×22=2×
18=2×9=2×32=2×
32=2×16=2×42=2×
50=2×25=2×52=2×

则该数列第18项为2×
=2×92=2×81=162.(共43张PPT)
第2课时 数列的通项公式与递推公式
1.数列的递推公式
必备知识·素养奠基
数列的表示法
意 义
结 构
通项公式
an可以用关于__的式子表示
an=f(n)
递推公式
数列的_________或_____之间的关系
可以用一个式子表示
an=f(an-1)(n>1)
n
相邻两项
多项
【思考】
数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
提示:
不同点
相同点
通项
公式
可根据某项的序号,直接用代入法求
出该项
都可确定一个数列,都可
求出数列的任何一项
递推
公式
可根据第1项或前几项的值,通过一次
或多次赋值逐项求出数列的项,直至
求出所有的项
2.数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和.记作Sn.即
Sn=
___________.
a1+a2+…+an
【思考】
数列{an}的通项公式和其前n项和Sn的关系是什么?
提示:an=
 
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)递推公式不能用来表示数列.
(  )
(2)所有的数列都有递推公式.
(  )
(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.(  )
(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.
(  )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如
精确到1,0.1,0.01,0.001,…
的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
(3)×.还需知道数列中至少一项的值.
(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为
(  )      
      
      
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0,
=2(n∈N
),则数列{an}是________数列(填“递
增”或“递减”).?
【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N
),得an<0(n∈N
).
又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.
答案:递减
关键能力·素养形成
类型一 由递推公式写数列的项
【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N
),那么a4的值为
(  )      
      
      
A.4
B.8
C.15
D.31
2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________.?
3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N
);
(2)a1=1,an+1=
(n∈N
);
(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N
).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.
2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.
3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N
),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.
2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,
a5=a4+a3=8.
答案:8
3.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,
所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2=
,a3=
,
a4=
,a5=
=
,所以an=
.
(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,
a3=19=1+2×32,
a4=55=1+2×33,
a5=163=1+2×34,
所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】
由递推公式写出通项公式的步骤是什么?
提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.
(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 
【习练·破】
设数列{an}满足
写出这个数列的前五项.
【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+
=2,a3=1+
=
,a4=1+
=
,a5=1+
=
.
类型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法
【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln
,求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln
=ln(1+n)-ln
n,a1=2,
a2-a1=ln
2,a3-a2=ln
3-ln
2,
a4-a3=ln
4-ln
3,…
an-an-1=ln
n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式相加得an=2+ln
2+(ln
3-ln
2)+…+[ln
n-ln(n-1)].
所以an=2+ln
n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln
n.
【素养·探】
在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研
究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算
能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+
(n≥2)”,
求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+
(n≥2),
所以an-an-1=
=
,
所以a1=1,
a2-a1=
,
a3-a2=
,
a4-a3=
,

an-an-1=
.
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1+(
-
)+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=
-
+1.
当n=1时a1=1也适合上式,
所以an=
-
+1.
角度2 累乘法
【典例】设数列{an}中,a1=1,an=
an-1(n≥2),求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为
=f(n),累乘求通项公式.
【解析】因为a1=1,an=
an-1(n≥2),
所以
,an=
×
×
×…×
×
×a1=
×…×
×1=
.
又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=
.
【类题·通】
1.用“累加法”求数列的通项公式
当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
+a1累加来求通项an.
2.用“累乘法”求数列的通项公式

=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=
·
·
·…·
·a1累
乘来求通项an.
【习练·破】
已知数列{an}中,a1=1,当n∈N
且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.
【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,
所以
=
,
所以
·…·
=
·
·
·…·
·
=
所以
,所以an=
,
当n=1时符合上式,所以an=
,n∈N
.
【加练·固】
若a1=2,an+1=
an,求该数列{an}的通项公式.
【解析】由an+1=
an,可得
=
,
则an=
·…·
·a1=
·
·
·…·
·2=
,n=1时,
a1=2也满足上式,
所以an=
.
类型三 数列相关概念的应用
角度1 Sn与an的关系
【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.
【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.
【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N
).
【素养·探】
本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.
【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.
所以an=
(n∈N
).
角度2 数列的单调性
【典例】已知函数f(x)=(x+1)
(x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)
(n∈N
).
(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.
(2)求该数列的最大项.
【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.
(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1)
.
所以an+1-an=(n+2)
-(n+1)
=
,当n<9时,an+1-an>0,即an+1
>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1则a1a11>a12>….
所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.
a9=a10=10×
.
【内化·悟】
数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?
提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】
1.关于Sn与an的关系
数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an=
求通项公式时
注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是
要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.
2.数列单调性的判断方法
根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1数列;若an+1=an,则{an}是常数列.
作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单
调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.
3.求数列的最大项和最小项的方法
方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大
项或最小项.
方法二:解不等式(组):设an是最大项,则有
对任意n∈N
且n≥2均成
立,解不等式组即可.
【习练·破】
1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是
(  )      
      
      
A.107
B.108
C.108
D.109
【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2
+108
,由于n∈N
,故当n
取距离
最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=
108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________.?
【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,
答案:7 
【加练·固】
数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1,
所以数列中仅有两项a2,a3是负数.
(2)an=n2-5n+4=
其对称轴为n=
,
又n∈N
,所以n取2,3时,an有最小值-2.
课堂检测·素养达标
1.符合递推关系式an=
an-1的数列是
(  )      
      
      
A.1,2,3,4,…
B.1,
,2,2
,…
C.
,2,
,2,…
D.0,
,2,2
,…
【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的
倍,符合递推公式an=
an-1.
2.已知数列{an}的通项公式为an=
则数列{an}为
(  )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定数列的增减性
【解析】选B.因为an=
所以n≥2时,an-an-1=2+
<0,所以an3.
已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=________.?
【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,
a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:255
4.已知数列{an}中,a1=2,an=-
(n≥2),则a2
020=________.?
【解析】因为a2=-
a3=-
=2,a4=-
=a2,
所以{an}的周期为2,所以a2
020=a2=-
.
答案:-
【新情境·新思维】
两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足
(  )
A.an+1=4an-3n
B.an+1=4an-1
C.an+1=2an+1
D.an+1=2an+n
【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.温馨提示:
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课时素养评价
一 数列的概念与简单表示法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列叙述正确的是
(  )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列
【解析】选D.对于A,数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列,故A错误;对于B,数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},n∈N
,故B错误;对于C,数列0,1,0,1,…是摆动数列,故C错误;对于D,数列,-==>0,故数列是递增数列,故D正确.
2.数列,,,,…的一个通项公式是
(  )
A.an=
B.an=
C.an=-
D.an=1-
【解析】选C.因为=1-,=-,
=-,=-.所以推断an=-.
【加练·固】
   数列0,,,,,…的一个通项公式是
(  )
A.an=     
B.an=
C.an=
D.an=
【解析】选C.已知数列可化为:0,,,,,…,故an=.
3.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3等于
(  )
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.因为a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.
4.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则
(  )
A.3不是数列{an}中的项
B.3是数列{an}的第2项
C.3是数列{an}的第6项
D.a3<0
【解析】选BC.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.a3=9-24+15=0.
【加练·固】
   在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的
(  )
A.第100项      
B.第12项
C.第10项
D.第8项
【解析】选C.因为an=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.数列,,,,…的第10项是________.?
【解析】由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=,当n=10时,a10==.
答案:
6.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.?
【解析】由an=19-2n>0,得n<.
因为n∈N
,所以n≤9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N
.
(1)写出它的第10项.
(2)判断是不是该数列中的项.
【解析】(1)a10==.
(2)①当n为偶数时,an=,
令=,化简得8n2-33n-35=0,
解得n=5.而n=5为奇数,
所以不是该数列中的偶数项.
②当n为奇数时,an=-,
令-=,化简得8n2+33n+31=0,
解得n=不是整数,所以不是该数列中的奇数项.
综上,不是该数列中的项.
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项.
(2)-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项呢?如果是,应是哪一项?
【解析】(1)a4=3×42-28×4=-64;
a6=3×62-28×6=-60.
(2)由3n2-28n=-49得n=7或n=(舍去),
所以-49是该数列的第7项;
由3n2-28n=68得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项.
(15分钟·30分)
1.(5分)对任意的an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N
),则函数y=f(x)的图象可能是
(  )
【解析】选A.据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足.
2.(5分)已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则an=________,a17=________.?
【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,
所以an=2n-5,所以a17=2×17-5=29.
答案:2n-5 29
3.(5分)数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为________.?
【解析】注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案:an=
【加练·固】
   数列,,,,,…的一个通项公式为________.?
【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25,…故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=.
答案:an=
4.(5分)如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为________.?
【解析】我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
答案:an=4n+2
【加练·固】
   图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有________根.?
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;

第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
5.(10分)在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项.
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.
(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
【解析】(1)a7==.
(2)因为an==1-,
所以0(3)令<<,则,
故n=1,即在区间内有且只有1项a1.
1.已知数列{an}的通项公式为an=5n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为________.?
【解析】数列{an}的通项公式为an=5n+1,
其数据符合平方的数有:16,36,81,121,196,256,…,
数列{bn}的通项公式为bn=n2,
当n=4,6,9,11,14,16,…时符合上面各个数.
数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为256.
答案:256
2.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)-是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
【解析】(1)因为an=pn+q,又a1=-,a2=-,
所以解得
因此{an}的通项公式是an=-1(n∈N
).
(2)令an=-,即-1=-,
所以=,n=8.故-是{an}中的第8项.
(3)由于an=-1,且随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.
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课时素养评价
二 数列的通项公式与递推公式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.数列,,,,…的递推公式可以是
(  )
A.an=(n∈N
)
B.an=(n∈N
)
C.a1=,an+1=an(n∈N
)
D.a1=,an+1=2an(n∈N
)
【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(n∈N
).
2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=
(  )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,
a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.
3.(多选题)如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为
(  )
A.an=2n+3
B.an=-n2-3n+1
C.an=
D.an=1+log2n
【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;
B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-,所以为递减数列;
C是n的指数函数,且底数为,是递减数列;
D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.
【加练·固】
   在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是
(  )
A.R        
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
【解析】选C.因为{an}是递减数列,
所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
4.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是
(  )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
【解析】选C.因为ln
an+1-ln
an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.?
【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以
当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6;
当n=4时,a4=4a3=24;
当n=5时,a5=5a4=120.
故a5=120.
答案:120
6.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.?
【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,
a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则a3==,a5==.故a3+a5=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+(n∈N
).
(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N
).
【解析】(1)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=.
(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.
【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,
所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]
=4n-5.
n=1时,4n-5=-1≠a1,
所以{an}的通项公式an=(n∈N
).
(15分钟·30分)
1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2
012=
(  )
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,

故知{an}是周期为6的数列,
所以a2
012=a2=6.
2.(5分)已知数列{an}满足an=若对于任意的n∈N
都有an(  )
A.(1,4)
B.(2,5)
C.(1,6)
D.(4,6)
【解析】选A.因为对于任意的n∈N
都有an所以应满足解得1故实数a的取值范围是(1,4).
3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N
),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.?
【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.
当n=1时,a1=S1=1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.
答案:12 2n
4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
(1)该数列有无限多个正数项.
(2)该数列有无限多个负数项.
(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.
(4)-70是该数列中的一项.
其中正确说法的序号为________.?
【解析】令-2n2+13n>0,得0令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).
即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.
答案:(2)(4)
5.(10分)已知数列{an}满足a1=,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.
所以n≥2时,=+++…+=2+
=n+1.所以=n+1,所以当n≥2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(n∈N
).
1.(2020·辛集高二检测)已知an=(n∈N
),则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是
(  )
A.a1,a50
B.a1,a44
C.a45,a50
D.a44,a45
【解析】选D.an==1+,
因为442=1
936,452=2
025,
所以n≤44时,数列{an}单调递减,且01.
所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.
2.设an=n2-2kn+6(n∈N
,k∈R)
(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;
(2)若对任意的n∈N
,≥1,求k的取值范围.
【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,
解得k<,所以k<.
所以k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件.
(2)因为对任意的n∈N
,≥1,
所以n+-2k≥1,即n+≥2k+1,
因为n+≥5,
所以2k+1≤5,所以k≤2.
所以k的取值范围是k≤2.
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第四章 数  列
4.1 数列的概念