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课时素养评价
三 等差数列的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.
【加练·固】
已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是
( )
A.2
B.3
C.6
D.9
【解析】选B.由题意2n+m=8,2m+n=10,两式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中项是3.
2.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=
( )
A.50
B.49
C.48
D.47
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=,a4+a5=,所以2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×=,则ak==33,解得k=50.
3.(多选题)下列命题中正确的个数是
( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列
【解析】选BCD.对于A,取a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,A错.
对于B,取a=b=c?2a=2b=2c,B正确;
对于C,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.
所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),C正确;
对于D,取a=b=c≠0?==,D正确.
4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,
bn=-2+(n-1)×4=4n-6,
令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·南京高二检测)若等差数列{an}满足a2+a6=16,则a9+a3-a8=________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a2+a6=16=2(a1+3d),
所以a1+3d=8,则a9+a3-a8=a1+3d=8.
答案:8
6.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________.?
【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=.
所以这个等差数列的前三项依次为,,.
所以d=,an=+(n-1)×=+1.
答案:an=n+1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?
【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,
所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.
令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,又因为n为正整数,故有38项.
8.已知数列{an}满足a1=1,=,an>0,
求an.
【解题指南】由已知条件,引入数列,并证明是等差数列,再求an.
【解析】因为=,
所以=2+,-=2.
所以数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×2=2n-1.
又an>0,所以an=(n∈N+).
(15分钟·30分)
1.(5分)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系
是
( )
A.a=-b
B.a=3b
C.a=-b或a=3b
D.a=b=0
【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.
2.(5分)等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是
( )
A.d>
B.d<
C.D.【解析】选D.由题意
所以
所以【加练·固】
已知在等差数列{an}中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为
( )
A.-3 B.3 C.4 D.-4
【解析】选A.因为等差数列{an}中,首项为20,
公差是整数,从第8项开始为负项,
所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,
a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,
解得-≤d<-,又d为整数,所以d=-3.
3.(5分)正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N
,n≥2),则an=________,a7=________.?
【解析】因为2=+(n∈N
,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,
以d=-=4-1=3为公差的等差数列,
所以
=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1.
所以a7==.
答案:
4.(5分)(2020·徐州高二检测)若数列{an}是公差不为0的等差数列,ln
a1,ln
a2,ln
a5成等差数列,则的值为________.?
【解析】数列{an}是公差不为0的等差数列,ln
a1,ln
a2,ln
a5成等差数列,
所以2ln(a1+d)=ln
a1+ln(a1+4d),
所以(a1+d)2=a1(a1+4d),
所以+2a1d+d2=+4a1d,解得d=2a1,
所以==3.
答案:3
5.(10分)已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16.
(1)证明:数列是公差为-2的等差数列;
(2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,求新数列的第41项.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
因为a2=4,a6=16,所以4d=a6-a2=12,得d=3,
所以an=a2+(n-2)d=3n-2,
设bn=an-3n,则bn=-2n-,
所以bn+1-bn=-2,
即数列是公差为-2的等差数列.
(2)由(1)得a1=4-3=1,设新数列为{cn},其公差为d1,则c1=1,c5=4,所以4d1=3,得d1=,
所以c41=1+(41-1)×=31.
1.(2020·西安高二检测)数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+
a16=15,则实数λ的最大值为________.?
【解析】因为a1=1,a4+λa10+a16=15,
所以2+18d+λ(1+9d)=15,
解得:d=,λ≠-2.
因为公差d∈[1,2],所以1≤≤2,
解得:-≤λ≤-.
则实数λ的最大值为-.
答案:-
2.在数列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得
=+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,
所以数列{bn}为等差数列,公差为1.
(2)因为{bn}的首项b1==1.
所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,
所以=n,所以an=n·2n-1,n∈N+.
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PAGE(共47张PPT)
第2课时 等差数列的性质及应用
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
an=
_________(m,n∈N
).
(2)多项关系
若m+n=s+t(m,n,s,t∈N
),
则an+am=_____.
特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N
),则am+an=___.
必备知识·素养奠基
am+(n-m)d
as+at
2ap
【思考】
(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N
),m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?
提示:d=
等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线
上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d=
为直线的斜
率.
(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N
),则am+an=ap+aq?
提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.
所以am+an=2a1+(m+n-2)d.
同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
2.等差数列的项的对称性
文字
叙述
在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等
于首项与末项的和
符号
表示
n为偶数
n≥2
a1+an=a2+an-1=…=
n为奇数
n≥3
a1+an=a2+an-1=…=2
3.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件
{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列
(2)结论
数列
结论
{c+an}
公差为d1的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd1的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N
)
{pan+qbn}
公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)
4.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d,
(1)当d>0时,数列{an}为_____数列.
(2)当d<0时,数列{an}为_____数列.
(3)当d=0时,数列{an}为___数列.
递增
递减
常
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.
( )
(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列.
( )
(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq
,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N
).
( )
(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N
,则am+an=ar.
( )
提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.
(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.
(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.
2.(2020·常州高二检测)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.
3.等差数列{an}中,若a4=13,a6=25,则公差d等于
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选B.因为{an}为等差数列,
所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.
4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________.?
【解析】设公差为d,则9=2+4d,
所以d=
.所以c-a=2d=
.
答案:
关键能力·素养形成
类型一 等差数列性质的应用
【典例】1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于
( )
A.40
B.42
C.43
D.45
2.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为
( )
A.-6
B.6
C.0
D.10
3.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【思维·引】1.由已知条件可以求首项和公差,注意到a4+a6=2a5,可迅速求值;
2.关键是注意到{an-bn}也是等差数列,
3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;
思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;
思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N
)求解.
【解析】1.选B.由
即
得d=3.
所以a5=2+4×3=14,
所以a4+a5+a6=3a5=42.
2.选B.由于{an},{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.
3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,
因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
所以
解得
所以a75=a1+74d=
+74×
=24.
方法二:因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.
设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,
所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.
所以a75=a60+d=20+4=24.
方法三:因为a60=a15+(60-15)d,
所以d=
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×
=24.
【内化·悟】
对于新构成的等差数列,解题时要注意什么问题?
提示:要注意判断新构成的等差数列的首项和公差.
【类题·通】
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q
=2r(m,n,p,q
,
r∈N
),则am+an=ap+aq=2ar.
特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.
【习练·破】
1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为
( )
A.30
B.27
C.24
D.21
【解析】选A.设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.
2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________.?
【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,
所以可设其公差为d,则d=
所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.
方法二:由
得b8=
×5+b3=2×5+(-2)=8.
答案:8
【加练·固】
在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80.
求通项an.
【解析】因为a1+a5=2a3,所以
解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,
因为d=
,所以d=3或-3,
所以an=-10+3(n-1)=3n-13,
或an=2-3(n-1)=-3n+5.
类型二 等差数列中对称设项法的应用
【典例】(2019·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.
【思维·引】三个数成等差数列,可设这三个数为a+d,a,a-d.
【解析】设这三数为a+d,a,a-d,
则a-d+a+a+d=12,①
(a-d)·a·(a+d)=48,②,
由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),
所以这三个数为6,4,2.
【素养·探】
在解等差数列中对称设项法的应用有关的问题时,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究等差数列的各项之间的关系,巧设未知数,解方程组求解.
将本例的条件“递减”改为“递增”,“三个数的和为12,三个数的积为48”改为“三个数的和为21,三个数的积为231”,试求这三个数.
【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,
由题意,得
即
解得
因为等差数列是递增数列,所以d=4.
所以这三个数为3,7,11.
【类题·通】
设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.
【习练·破】
已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之
积比中间两数之积少18,求此等差数列.
【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
又递增数列d>0,所以解得a=±
,d=
,
此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
类型三 等差数列的应用
角度1 与其他知识的综合应用
【典例】(2020·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则
a3a7的最大值为________.?
【思维·引】利用等差数列的性质、均值不等式取最值.
【解析】依题意,等差数列{an}各项都为正数,
所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤
=(a5)2=9.
当且仅当a3=a7=3时等号成立.
答案:9
角度2 实际应用
【典例】(2020·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为
( )
A.12.5尺
B.10.5尺
C.15.5尺
D.9.5尺
【思维·引】将条件用首项a1,公差d表示,求出a1后即可.
【解析】选C.设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,
a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.
【内化·悟】
解决数列实际应用问题,要关注哪些问题?
提示:(1)认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
【类题·通】
1.解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
2.解决等差数列实际应用问题的步骤
特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
【习练·破】
1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为
的等差
数列,则a+b的值为
( )
【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,
故必有一个方程的根为
不妨设方程x2-x+a=0的根为
为等差数
列的首项,
为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等
差数列中的后3项中的两项,知只有
为第4项,才能满足中间两项之和为1的
条件,所以四根的排列顺序为
所以a+b=
2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金________斤.?
【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,
则a1,a2,…,a10成等差数列,
且
设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,
则
解得d=-
,
所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=
.
答案:
【加练·固】
方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=
有唯一不动点,
且x1=1
000,xn+1=
,n=1,2,3,…,则x2
004等于
( )
A.2
004
B.
C.
D.2
003
【解析】选B.令f(x)=x,则
=x,
因为ax2+(2a-1)x=0有唯一不动点,
则2a-1=0,即a=
,
所以f(x)=
xn+1=
即xn+1-xn=
(常数).
所以{xn}是首项为1
000,公差为
的等差数列.
所以x2
004=1
000+2
003×
课堂检测·素养达标
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于
( )
A.3
B.-6
C.4
D.-3
【解析】选B.由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,
所以d=
=-6.
2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是
( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
3.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=________.?
【解析】因为等差数列{an}中,a3+a8=a6+a5,
所以a5=(a3+a8)-a6=22-7=15.
答案:15
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于________.?
【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5
【新情境·新思维】
如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.?
【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.
又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.
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课时素养评价
四 等差数列的性质及应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(2020·扬州高二检测)在等差数列{an}中,若a3=-6,a7=a5+4,则a1等于( )
A.-10
B.-2
C.2
D.10
【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,a7=a5+4,
所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,
因为a3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.
2.(多选题)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有
( )
A.{an+an+1}
B.{}
C.{an+1-an}
D.{2an}
【解析】选ACD.设等差数列{an}的公差为d.对于A,
(an+an+1)-(an-1+an)
=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),
所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;
对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)
=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;
对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列;
所以{an+1-an}为等差数列;
对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列.
3.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为
( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5+a8=
15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,
由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.
4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值
为
( )
A.12
B.8
C.6
D.4
【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=
4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=,则tan(a3+a9)的值为________.?
【解析】因为数列{an}为等差数列,
a2+a6+a10=,
所以a2+a6+a10=3a6=,解得a6=,
所以a3+a9=2a6=,
所以tan(a3+a9)=tan=.
答案:
6.(2020·杭州高二检测)已知各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,则a6的值为________.?
【解析】因为各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,即2a6-2=0,则a6=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.
【解析】设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
由①,得a=.代入②,得d=±.
所以四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
8.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
【解析】(1)等差数列{an}中,
a15=8,a60=20,
解得d=,a65=a60+5d=20+=.
(2)数列{an}为等差数列,
且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
a5=a2+3d,
即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=
( )
A.7
B.14
C.21
D.7(n-1)
【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
2.(5分)若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
【解析】选D.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.
【加练·固】
等差数列{an}中,
a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况
( )
A.没有实根
B.两个相等实根
C.两个不等实根
D.无法判断
【解析】选A.由a2+a5+a8=9得a5=3,
所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0.
因为Δ<0,所以方程没有实根.
3.(5分)在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=________.?
【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.
答案:20
4.(5分)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.?
【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得a=3,d=4或a=3,d=-4.
所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
所以这三个数的积为-21.
答案:-21
5.(10分)已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=30,求公差d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.
【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,
所以d=2.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
a30=10,
当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.
1.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等
于
( )
A.-182
B.-78
C.-148
D.-82
【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+…+a97)+2d×33
=50+2×(-2)×33=-82.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=5,am=3,则am+2等于
( )
A.13 B.3-
C.3-
D.5-
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为a1=5,am=3,所以d==.
所以am+2=am+2d=3+=3-.
2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N
.
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d'=-20,所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N
,
所以当n=110时,m=4×110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
【加练·固】
已知两个等差数列{an}和{bn},且{an}为2,5,8,…,{bn}为1,5,9,…,它们的项数均为40项,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?
【解析】由已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm=4m-3(m,n∈N
,且1≤n≤40,1≤m≤40).
令an=bm,得3n-1=4m-3,
即n==,
令2m-1=3t,因为(2m-1)∈N
且为奇数,
所以t∈N
且为奇数,所以m=,n=2t.
又因为1≤n≤40,1≤m≤40,
所以所以
故≤t≤20,又t∈N
且为奇数,
所以它们共有10个数值相同的项.
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PAGE(共50张PPT)
第1课时 等差数列的概念
1.等差数列的定义
(1)条件:①从第__项起.
②每一项与它的_______的差都等于_______常数.
(2)结论:这个数列是等差数列.
(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.
必备知识·素养奠基
2
前一项
同一个
公差
d
【思考】
(1)为什么强调“从第2项起”?
提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;
②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)如何理解“每一项与前一项的差”?
提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项
(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.
(2)结论:__叫做a,b的等差中项.
(3)满足的关系式:2A=____.
A
a+b
【思考】
等式“2A=a+b”有哪些等价形式?
提示:2A=a+b?A-a=b-A?A=
.
3.等差数列的通项公式
递推公式
通项公式
______=d(n∈N
)
an=
_________(n∈N
)
an+1-an
a1+(n-1)d
【思考】
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.
( )
(2)常数列也是等差数列.
( )
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
( )
(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.
( )
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.
(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.
(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是
( )
A.
B.1,
C.1,-1,1,-1
D.0,0,0,0
【解析】选D.因为
-
≠
-
,故排除A;因为
-1≠
-
,故排除
B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为
( )
A.an=3n-1
B.an=2n+1
C.an=2n+3
D.an=3n+2
【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
4.
+1与
-1的等差中项是
( )
A.1
B.-1
C.
D.±1
【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=
关键能力·素养形成
类型一 等差数列的定义及应用
【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N
,且a3=3,则a1=________.?
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=
(n∈N
),bn=
(n∈N
).
求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.
【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项
求第一项;
2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为
=某常数的形式,方法二:
bn+1-bn是常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N
,
所以数列{an}是等差数列,其公差为2,
因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.
答案:-1
2.方法一:因为
所以
=
+3,所以
-
=3,
又因为bn=
(n∈N
),
所以bn+1-bn=3(n∈N
),且b1=
=
.
所以数列{bn}是等差数列,首项为
,公差为3.
方法二:因为bn=
,且an+1=
,
所以bn+1=
=
=
+3=bn+3,
所以bn+1-bn=3(n∈N
),b1=
=
.
所以数列{bn}是等差数列,首项为
,公差为3.
【素养·探】
在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,
通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N
)的关系,判定该数列是否为
等差数列,培养学生推理、论证的能力.
将本例2的条件“a1=2,an+1=
”改为“a1=
,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其
他条件不变,如何解答?
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),
所以
=1(n≥2).又因为bn=
,
所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1=
=2.
所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.
【类题·通】
定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【习练·破】
若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N
),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,
所以an+1=10+(n+1)lg2.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)
=lg2(n∈N
).所以数列{an}为等差数列.
【加练·固】
1.以下选项中构不成等差数列的是
( )
A.2,2,2,2
B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a
C.cos
0,cos
1,cos
2,cos
3
D.a-1,a+1,a+3
【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.
【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.
(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2
(不是常数),所以此数列不是等差数列.
类型二 等差中项的应用
【典例】1.已知a=
,b=
,则a,b的等差中项为
( )
A.
B.
C.
D.
2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=
( )
A.2
B.
C.1
D.
3.已知
,
,
成等差数列,证明
,
,
成等差数列.
【思维·引】1.a,b的等差中项为
(a+b).
2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.
3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【解析】1.选A.a,b的等差中项为
=
=
.
2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.
3.因为
成等差数列,所以
,
化简得2ac=b(a+c),
又
=
=
=
=
=
=2·
,
所以
,
,
成等差数列.
【内化·悟】
三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?
提示:条件是b=
(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项
的计算问题.
【类题·通】
1.等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.
(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N
,m2.等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.
【习练·破】
1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则
等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
所以a=
,b=
x.所以
.
2.已知
成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.
【证明】由已知
成等差数列,
可得
,所以
,
所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),
所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
【加练·固】
已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=
15,求a,b,c的值.
【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:
2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).
从而16=(6-d)(4+d),
即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.
所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
类型三 等差数列的通项公式及应用
【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N
)的项数是
( )
A.n
B.3n+11
C.n+4
D.n+3
2.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列
为等差数列,则an=________.?
3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.
(1)求a1,d及通项公式an;
(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?
【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x
与n的关系.
方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.
2.先求
,再求an.
3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可
求;
(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列
中的项.
【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x
=
n+3.
方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三
项,故这个数列的项数为n+3.
2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以
,
=
,又数列
为等差
数列,所以其公差d=
,所以
=
+(n-1)d
=
(n-1)=
,所以an=
.
答案:
3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,
得
解得
所以an=
+
(n-1)=
n+3.
(2)由an=
n+3=45,解得n=18,故45是第18项;
由an=
n+3=85,得n=
?N
,
故85不是数列中的项.
【内化·悟】
构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?
提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.
【类题·通】
等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
【习练·破】
1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则
a2
022的值为
( )
A.672
B.673
C.674
D.675
【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,
所以2(1-x)=x+3x,解得x=
,
所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=
,
所以a2
022=a1+(2
022-1)×d=
=674.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.?
【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.
答案:46
【加练·固】
1.2
000是等差数列4,6,8,…的
( )
A.第998项
B.第999项
C.第1
001项
D.第1
000项
2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.?
3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.
【解析】1.选B.
因为此等差数列的公差d=2,
所以an=4+(n-1)×2,即2
000=2n+2,所以n=999.
2.设首项为a1,公差为d,则有
即
解得a1=
-2,d=3.
答案:-2 3
3.由题意可知a1=1,a2=-3,
所以公差d=a2-a1=-4.
所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.
所以a20=5-4×20=-75.
即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.
课堂检测·素养达标
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列
( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),
所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),
所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.已知2,b的等差中项为5,则b为
( )
A.
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以
=5,所以2+b=10,所以b=8.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的
( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.第8项
【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N
),则此数列的通项an=________.?
【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N
),即an+1-an=-1,
所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,
所以an=2-(n-1)=3-n.
答案:3-n
【新情境·新思维】
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,
[2.6]=2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d=
.所以{an}的通项公式为an=
(2)由(1)知,bn=
当n=1,2,3时,1≤
<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤
<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤
<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤
<5,bn=4.
所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.(共2张PPT)
4.2 等
差
数
列
4.2.1 等差数列的概念
