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课时素养评价
六 等差数列习题课
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),
所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,
m+d=25,联立解得m=5,d=2.
2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为
( )
A.11
B.99
C.120
D.121
【解析】选C.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|
的值为
( )
A.61
B.62
C.65
D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.
4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则a5=______,an=________.?
【解析】因为Sn=3+2n,
所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.
a1=S1=5,
n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,
当n=1时,上式不成立,所以an=
答案:16
6.(2020·南通高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得an>Sn的n的最小值为________.?
【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,
所以a1+4d=0,a1=-4d,
由an>Sn,得a1+(n-1)d>na1+d,
即-4d+(n-1)d>-4nd+d,
因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,
解得n>10,所以n的最小值为11.
答案:11
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn===
所以Tn
=
==-.
8.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,
故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】因为等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,
所以an=13+(n-1)×(-4)=17-4n,
等差数列{an}的前n项和Sn=13n+×(-4)=15n-2n2,
由an=17-4n>0,得n<,
a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,
因为Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,
所以n≤4时,Tn=Sn=15n-2n2,
n≥5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.
所以Tn=
(15分钟·25分)
1.(5分)已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为
( )
A.4
B.4
C.1-
D.-
【解析】选A.因为an===,所以bn===
4.
所以Sn=41-+-+-+…+-=4.
【加练·固】
一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于
( )
A.12 B.16 C.9 D.16或9
【解析】选C.an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N
,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N
,所以n=9.
2.(5分)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是
( )
A.若S5=S9,则必有S14=0
B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项
C.若S6>S7,则必有S7>S8
D.若S6>S7,则必有S5>S6
【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14==
=0,A正确;
对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是Sn中的最大项,B正确;
对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确;
对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.
3.(5分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________.?
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N+).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N+.
答案:3(n+1)(n∈N+)
4.(10分)数列{an}满足an=6-(n∈N
,n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg
an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N
,n≥2),所以-=-=
=,所以数列是等差数列.
(2)因为a1=6,所以=.
由(1)知:=+=,
所以an=,所以lg
an=lg
3+lg(n+1)-lg
n.
所以数列{lg
an}的前999项和S=999lg
3+(lg
2-lg
1+lg
3-lg
2+…+lg
1
000-
lg
999)
=999lg
3+lg
1
000=999lg
3+3.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N
),则S21的值为________.?
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…
+a20)=+=231.
答案:231
2.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值范围为
( )
A.d≤-2或d≥2
B.-2≤d≤2
C.d<0
D.d>0
【解析】选A.由S5S6+15=0,
则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
整理可得,2+9a1d+10d2+1=0有解,
故Δ=81d2-8(1+10d2)≥0,
解可得,d≥2或d≤-2.
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PAGE(共57张PPT)
第1课时 等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和公式
必备知识·素养奠基
公式一
适用条件
知首项、末项、项数
公式二
适用条件
知首项、公差、项数
【思考】
(1)对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具
有什么特点?
提示:公式二可变形为
当d≠0时可以看作不含常数项的关于n
的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数
列是等差数列.
(2)等差数列的前n项和公式中
的意义是什么?
提示:
即等差数列前n项的平均数.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N
.
( )
(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.
( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.
( )
(4)1+3+5+7+9=
( )
提示:(1)×.n>1且n∈N
.
(2)√.等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征,可用倒序相加法.
(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.
(4)×.1+3+5+7+9=
.
2.在数列{an}中,Sn=2n2-3n(n∈N+),则a4等于
( )
A.11
B.15
C.17
D.20
【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.
3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为
( )
A.128
B.80
C.64
D.56
【解析】选C.设数列{an}的前n项和为Sn,则
4.平均数为1
010的一组数构成等差数列,其末项为2
019,则该数列的首项为
________.?
【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1
010=
,解得x=1.
答案:1
关键能力·素养形成
类型一 有关等差数列前n项和的计算
【典例】1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2
017,S6-2S3=18,则S2
019=
( )
A.-2
017
B.2
017
C.2
018
D.2
019
2.在等差数列{an}中:
(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应
的值.
2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的
值.
【解析】1.选D.设等差数列{an}的公差为d,
因为a1=-2
017,S6-2S3=18,
所以
化为:9d=18,解得d=2.
则
2.(1)方法一:由已知条件得
解得
所以
方法二:由已知条件得
所以a1+a10=42,
所以
所以a4=6.
所以
所以n=20.
【内化·悟】
解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?
提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.
【类题·通】
等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
类型
“知三求二型”
基本量
a1,d,n,an,Sn
方法
运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量
思想
方程的思想
注意
①利用等差数列的性质简化计算;
②注意已知与未知条件的联系;
③有时运用整体代换的思想
【习练·破】
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得
到数列{an},则{an}的前n项和为________.?
【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,
16,19,…,所以数列{an}为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列{an}
的前n项和为
=3n2-2n.
答案:3n2-2n
2.已知等差数列{an}中,
(1)a1=
,S4=20,求S6;
(2)a1=
,d=-
,Sn=-15,求n及an;
(3)a1=1,an=-512,Sn=-1
022,求d.
【解析】(1)S4=4a1+
d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.
故S6=6a1+
d=6a1+15d=3+15d=48.
(2)因为
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),
所以
(3)由
解得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
【加练·固】
1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的
等差数列所有项的和是781,则k的值为
( )
A.20 B.21 C.22 D.24
【解析】选A.由数列前n项和公式可得:
解得k=20.
2.已知等差数列{an}.
(1)a1=
,a15=-
,Sn=-5,求d和n.
(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【解析】(1)因为a15=
+(15-1)d=-
,所以d=-
.又Sn=na1+
d=-5,
解得n=15或n=-4(舍)..
(2)由已知,得
解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所
以d=5.
类型二 等差数列前n项和的性质
【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别
是它们的前n项和,并且
则
2.在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.
【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的
性质求解.
2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出
与n的关系.
3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;
方法二:依据数列
是等差数列解答;
方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.
【解析】1.选C.数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且
则
2.选B.因为等差数列有2n+1项,
所以
所以
所以n=10.
3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,
前10项的和为:10×100+
d=10,所以d=-22,
所以前11项的和S110=11×100+
d=11×100+
×(-22)=-110.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,
则
所以数列
成等差数列.
所以
即
所以S110=-110.
方法三:设等差数列{an}的公差为d,
S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+
(a100+10d)]=S10+S100+100×10d,
又
即100d=-22,所以S110=-110.
【类题·通】
等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.
(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列
是等差数列,且首项为a1,公差
为
.
(4)项的个数的“奇偶”性质.
{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;
(5)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
(6)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
【习练·破】
1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( )
A.130
B.170
C.210
D.260
【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),
所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.
2.在等差数列{an}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{an}的前8项和为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,
解得a2+a7=1,{an}的前8项和=
=4.
【加练·固】
1.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有
则
【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
等差数列的前n项和为:
所以
所以
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于
( )
A.63
B.45
C.36
D.27
【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
类型三 等差数列前n项和的最值
【典例】1.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误
的是
( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
2.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn的最大值,作差比较S9与
S5的大小.
2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{an}的通项公式;
(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的
项从哪一项开始由负变正,推出Sn的最小值.
【解析】1.选C.因为S5S8,
所以a6>0,a7=0,a8<0,
可得d<0,S6和S7均为Sn的最大值,
所以S92.(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
又a1=-7,所以d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn=
=n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,
Sn取得最小值,最小值为-16.
方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,则
由Sn最小?
即
所以
≤n≤
,
又n∈N
,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.
【内化·悟】
等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?
提示:利用到y=ax2+bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.
【类题·通】
等差数列前n项和最值的两种求法
(1)符号转折点法.
①当a1>0,d<0时,由不等式组
可求得Sn取最大值时的n值.
②当a1<0,d>0时,由不等式组
可求得Sn取最小值时的n值.
(2)利用二次函数求Sn的最值.
知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我
们可将其变形为
①若a>0,则当
最小时,Sn有最小值;
②若a<0,则当
最小时,Sn有最大值.
【习练·破】
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,a2+a2
018=0,则S2
019=________;当Sn取得最大值时,n=________.?
【解析】因为a2+a2
018=a1+a2
019=0,
所以S2
019=
=0.
因为a1>0,a1+a2
019=2a1+2
018d=0,
所以a1+1
009d=0,所以a1
010=0,
所以当Sn取得最大值时,n=1
009或1
010.
答案:0 1
009或1
010
2.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+
×(17-1)d=25×9+
×(9-1)d,
解得d=-2.
所以Sn=25n+
(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.
所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.
方法二:由方法一,得d=-2.
因为a1=25>0,
由
得
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+
×(-2)=169.
方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
由方法一,得d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值,
最大值为S13=13×25+
×(-2)=169.
【加练·固】
1.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N
,都有Sn≤Sk成立,则k的值为________.?
【解析】方法一:对任意n∈N
,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.因为
a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,
所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,当Sn取得最大值时,
对任意n∈N
满足
解得n=20.
即满足对任意n∈N
,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
答案:20
方法二:同方法一可得公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,
所以Sn=
n2+
=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时,Sn取得最大值,从而
满足对任意n∈N
,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
答案:20
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2
016>0,S2
017<0,则当n=________时,Sn最
大.?
【解析】由等差数列的性质知,S2
017=2
017a1
009<0,
所以a1
009<0,又S2
016=
=1
008(a1
008+a1
009)>0,所以a1
008+a1
009
>0,而a1
009<0,
故a1
008>0.因此当n=1
008时,Sn最大.
答案:1
008
课堂检测·素养达标
1.(2020·南阳高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S3=9,则S5的
值是
( )
A.15
B.30
C.13
D.25
【解析】选D.已知等差数列{an}中S2=4.S3=9,
则a3=S3-S2=9-4=5,则S5=
=5a3=25.
2.已知数列{an}的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则
( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为4的等差数列
D.不是等差数列
【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,所以
=2n+3,
当n≥2时,
=2n+3-2(n-1)-3=2,
故
是公差为2的等差数列.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=-4,a7=4,则
( )
A.S4>S6
B.S4=S5
C.S6D.S6=S5
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为a3=-4,a7=4,
所以a1+2d=-4,a1+6d=4,联立解得:a1=-8,d=2,
所以S4=4a1+
d=-20,同理可得:S5=-20,S6=-18.所以S4=S5.
4.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.?
【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0?2a1+12d=0?a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.
答案:6或7
【新情境·新思维】
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他
们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5
整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:b2019是数列
{an}中的第________项.?
【解析】由前四组可以推知an=1+2+…+n=
,
从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,依次可知,
当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时,由此知可被5整除的三角形数每五个
数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是
第2019个可被5整除的数,故它出现在数列{an}按五个一段分组的第1
010组的
第4个数字,由此知,b2
019是数列{an}中的第1
009×5+4=5
049个数.
答案:5
049(共2张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
版课程标准
学业水平要求
借助教材实例」解等差数列前η项和公式的推导过程.(数
探索并掌握等差数列的前η项和公式,理解等差数列的通项:运算)
式
项和公式的关系
借助教材掌握a1,an,l,n
关系.(数学运算
在具体冋题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的∶3.掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)
★水平
能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值
等相关问题.(数学运算、数学建模)(共48张PPT)
第2课时 等差数列习题课
关键能力·素养形成
类型一 由递推公式写数列的项
【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1=
,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,
n∈N
),则数列{an}的通项公式an=________.?
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列.
【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定
义证出数列
是等差数列.
2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N
时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.
【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,
所以an=-2Sn·Sn-1.
当n=1时,a1=
.
当n≥2,n∈N
时,an=Sn-Sn-1,
所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.
因为a1=
,所以SnSn-1≠0,
①式的两边同除以SnSn-1得:
所以数列
是首项为2,公差为2的等差数列,
所以
=2+2(n-1)=2n,即:Sn=
,则
因为a1=
不满足
所以数列的通项公式为
答案:
2.(1)因为Sn=3n2+2n,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.
又a1=S1=5,满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.
(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,
所以{an}是等差数列.
【素养·探】
在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,
根据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-
1”,如何解答?
【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.
又a1=S1=4,不满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是
(2)由(1)知,当n≥2时,
an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,
但a2-a1=11-4=7≠6,
所以{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
【类题·通】
1.由Sn求通项公式an的步骤
第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;
第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;
第三步:验证a1与an的关系:
(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.
(2)若a1不适合an,则
2.Sn与an的关系式的应用
(1)“和”变“项”.
首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转
化为“项”之间的关系,最后求通项公式.
(2)“项”变“和”.
首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.
提醒:关于数列的式子中,如果含有如an-1,Sn-1,必须注明n≥2.
【习练·破】
设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N
,an与1的等差中项等于
,
求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意知,
得
所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=
[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-
(an+1)2=0.
即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,
所以an+1-an=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.
【加练·固】
数列{an}的前n项和Sn=-
n2+n-1,求数列{an}的通项公式.
【解析】n=1时,
当n≥2时,
因为
不适合
所以
类型二 实际应用题
【典例】1.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中
“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只
云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1
864人前往修
筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在
该问题中的1
864人全部派遣到位需要的天数为
( )
A.9
B.16
C.18
D.20
2.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民
间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著
作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一
个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿
多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,
则a1=
( )
A.23
B.32
C.35
D.38
【思维·引】1.每天派出的人数组成等差数列,问题是知道首项、公差和前n项和,求项数.
2.儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.
【解析】1.选B.根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列是首
项a1=64,公差d=7的等差数列,该问题中的1
864人全部派遣到位的天数为n,则
64n+
·7=1
864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.
2.选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,
即S9=9a1+
×(-3)=207,
解得a1=35.
【内化·悟】
解答等差数列实际应用问题的关键是什么?
提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公差、项数、第n项、前n项和,知道哪些量,要求什么量.
【类题·通】
应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10
m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________
m.?
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此
时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有
同学往返的总路程为S=9×20+
×20+10×20+
×20=2
000.
答案:2
000
类型三 数列求和问题
角度1 裂项求和与并项求和问题
【典例】1.已知函数f(n)=
且an=f(n)+f(n+1),则
a1+a2+a3+…+a100等于
( )
A.0
B.100
C.-100
D.10
200
2.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.
2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;
(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.
【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),
所以由已知条件知
即
所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),
所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为
所以
解得a1=1,d=
.
所以{an}的通项公式为an=
.
所以
【素养·探】
在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.
将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
角度2 求数列{|an|}的前n项的和
【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.
【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可
得首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得
解得
则an=n+2.
(2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn=
n(19+21-2n)=20n-n2,
当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;
当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,
综上可得数列{|bn|}的前n项和为
【类题·通】
1.裂项相消求和
(1)适用数列:形如
(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式:
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有
理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、
保留项.
(4)特殊裂项:
2.关于并项法求数列的和
(1)适用形式:
①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而
使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在
求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.
3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},
可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始
其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负
数,同样可以把数列分成两段处理.
【习练·破】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N
,满足a1+a2=10,S5=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知,a1+a2=2a1+d=10,
S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,
所以
所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
(2)令cn=13-an=11-2n,
bn=|cn|=|11-2n|=
设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.
当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52
+10×5)=n2-10n+50.
【加练·固】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.
(1)求an及Sn.
(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N
),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
即
解得
则an=3+2(n-1)=2n+1,
所以Sn=3n+
=n2+2n.
(2)由题意可得
所以Tn=b1+b2+…+bn=
2.等差数列{an}的前n项和Sn=-
n2+
n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-
n2+
n-[-
(n-1)2+
(n-1)]
=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,
an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-
n2+
n,
当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=
n2-
n+3
502,
所以
课堂检测·素养达标
1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019=
( )
A.-2
020
B.-1
010
C.-505
D.1
010
【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019
=(1+5+9+…+2
017)-(3+7+11+…+2
019)
【解析】选B.原式
3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以
后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两
周共得________积分.?
【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周
共得
=105积分.
答案:105
4.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和
S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=________.?
【解析】由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,
所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18
=2S10-S18=60.
答案:60
【新情境·新思维】
在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第
n列的数为an,求数列
的前100项和S100.
【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第
n行的数为2+2(n-1)=2n,
第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,
所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,
所以
所以数列
的前100项和温馨提示：
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课时素养评价
五 等差数列的前n项和公式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=
( )
A.-12
B.-10
C.10
D.12
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为
( )
A.84
B.108
C.144
D.156
【解析】选B.由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,
所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,
所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.
【加练·固】
在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为
( )
A.9
B.12
C.16
D.17
【解析】选A.由等差数列的性质知S4,
S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,
不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,
于是求得b3=5,b4=7,b5=9,
即a17+a18+a19+a20=b5=9.
3.(2020·徐州高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18
=
( )
A.-162
B.-1
C.3
D.-81
【解析】选D.根据题意,等差数列{an}中,
S9==9a5=-9,解可得a5=-1,
又由a14=-8,则S18===-81.
4.若等差数列{an}满足a5=11,a12=-3,{an}的前n项和Sn的最大值为M,则lg
M
=
( )
A.1
B.2
C.10
D.100
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
则7d=a12-a5=-3-11=-14,故d=-2,
所以an=a12+(n-12)d=-3-2(n-12)=21-2n,
所以当1≤n≤10时,an>0;
当n≥11时,an<0,当n=10时,Sn最大,
最大值为M=S10===100,
所以lg
M=lg
100=2.
【加练·固】
{an}为等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,S6>S7>S5,则下列结论中不正确的是
( )
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.S13<0
【解析】选C.S6>S7>S5,则d<0,a6>0且a7<0,所以S11==>0,
S13==<0,S12===6(a6+a7),因为S7=S5+a6+a7>S5,所以a6+a7>0,所以S12>0,故选项C错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.?
【解析】设等差数列的公差为d.
因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,
根据等差数列通项公式:an=a1+d,
可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,
整理可得:6d=6,解得:d=1.
根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,n∈N
,
可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25.
答案:25
6.(2020·南京高二检测)已知等差数列{an}中,a3-2a4=-1,a3=0,则{an}的前10项和是________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a3-2a4=-1,a3=0,
所以0-2(0+d)=-1,a1+2d=0,
解得d=,a1=-1,
则{an}的前10项和=-10+×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等差数列{an}中,已知a1+a2=5,S4=14.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
则由a1+a2=5,S4=14得,
即
解得a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)=n+1.
(2)由(1)可知,Sn=a1+a2+…+an
=na1+=.
8.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an.
(2)求{an}前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=1,a5=-5,
所以
解得
所以an=3-2(n-1)=5-2n.
(2)由an≥0,解得n≤2.5,
数列{an}的前2项和最大,且最大值为3+1=4.
(15分钟·30分)
1.(5分)在等差数列{an}中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,①
an+an-1+an-2+an-3=60,②
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
所以①+②得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.③
Sn==100.④
将③代入④中得n=10.
2.(5分)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,
a7<0,则
( )
A.a6>0
B.-C.Sn<0时,n的最小值为13
D.数列中的最小项为第六项
【解析】选ABC.根据题意,等差数列{an}中,S12>0,即S12===6(a6+a7)>0,
又a7<0,则a6>0,A正确;
已知a3=12,且a6>0,a7<0,a6+a7>0,
则有,
解可得-根据题意,S13==13a7<0,而S12>0,
故Sn<0时,n的最小值为13,C正确;
数列中,由上面分析可知d<0,所以数列{an}是递减的等差数列,当1≤n≤6时,an>0;当n≥7时,an<0;当1≤n≤12时,Sn>0;当n≥13时,Sn<0,
所以当1≤n≤6时,>0;当7≤n≤12时,<0;
当n≥13时,>0,故数列中的最小项不是第六项,D错误.
3.(5分)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.?
【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
【加练·固】
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=________.?
【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.
答案:4
4.(5分)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则数列{an}的通项公式为________.?
【解析】设公差为d,由S10=4S5=100,
可得,解得a1=1,d=2,
故an=2n-1(n∈N
).
答案:an=2n-1(n∈N
)
5.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.
(1)求通项an.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
【解析】(1)由a3=10,S6=72,得
所以an=4n-2.
(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.
由得≤n≤,
因为n∈N
,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值,
所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.
1.已知数列{an}是等差数列,且an>0,若a1+a2+…+a100=500,则a50·a51的最大值为________.?
【解析】a1+a2+…+a100=500=,
a50+a51=10.又an>0.
则a50·a51≤=25,
当且仅当a50=a51=5时取等号.
答案:25
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
则所以
所以an=4-6(n-1)=10-6n,
Sn=na1+d=7n-3n2.
(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2
=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)
=-6n2-6n+4,
若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
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