(共35张PPT)
第2课时 等比数列习题课
关键能力·素养形成
类型一 等差、等比数列性质的应用
【典例】1.已知数列{an}为等比数列,满足a3a11=6a7;数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=
( )
A.13
B.48
C.78
D.156
2.由实数构成的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=
( )
A.62
B.124
C.126
D.154
【思维·引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13;
2.利用等差条件求出q,再求S6.
【解析】1.选C.因为数列{an}为等比数列,
满足a3a11=6a7,所以
=6a7,解得a7=6,
因为数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,
且b7=a7,所以b7=a7=6,
所以S13=
=13b7=13×6=78.
2.选C.因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,
且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.
则S6=
=126.
【内化·悟】
本例2中的等差条件的作用是什么?
提示:利用等差中项构造方程求公比.
【类题·通】
等差、等比数列性质的综合应用
(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;
(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.
【习练·破】
(2020·江苏高考)设
是公差为d的等差数列,
是公比为q的等比数列,
已知数列
的前n项和Sn=n2-n+2n-1
,则d+q的值是______.?
【解析】设数列{an},{bn}的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,
则An=
结合Sn=n2-n+2n-1,
得
解得
所以d+q=4.
答案:4
【加练·固】
已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则
( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选C.等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列可得
=a1a4,
即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化为a1=d,
则
类型二 错位相减法求和
【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
【思维·引】(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,a1,q求通项.
(2)利用错位相减法求前n项和.
【解析】(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,
又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,
所以a6=32,q2=
=4,q>0,所以q=2,
所以an=8·2n-4=2n-1.
两式相减得:
所以Tn=8-(n+2)·
【内化·悟】
本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的
基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?
提示:可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式Sn=
【类题·通】关于错位相减法求和
(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;
(2)求和步骤
①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;
②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成
qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,
(i)(ii)式形成错位;
③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;
④两边同除以1-q,整理得Sn.
【习练·破】
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列
的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由已知条件可得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)Sn=
所以
两式相减得
【加练·固】
已知递减的等比数列{an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由等比数列性质可知a1
·a2
·a3
=
=
8,
所以a2=2,a1·a3=4.
由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,
可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.
联立
由等比数列{an}递减可知
于是q=
所以an=a1·qn-1=4×
(2)由(1)可知bn=n·an=n·
,
于是Sn=1×
+2×
+3×
+…+(n-1)×
+n×
,
Sn=1×
+2×
+3×
+…+(n-1)×
+n×
,
两式相减得
Sn=1×
+1×
+1×
+1×
+…+1×
-n×
=8-(n+2)×
,
故Sn=16-(n+2)
.
类型三 等比数列Sn与an的关系
角度1 求Sn与an的关系
【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是
( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=2an+1
C.Sn=4an-3
D.Sn=4an-1
【思维·引】分别表示出Sn与an,再确定关系.
【解析】选A.设等比数列的公比为q(q>0),
由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,
得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.
所以Sn=
,则Sn=2an-1.
【素养·探】
在确定Sn与an的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过对Sn计算公式寻求二者之间的关系.
本例中的等比数列{an},若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?
提示:Sn=
角度2 Sn与an的关系的应用
【典例】数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于{an}的
论断中正确的是
( )
A.一定是等差数列
B.可能是等差数列,但不会是等比数列
C.一定是等比数列
D.可能是等比数列,但不会是等差数列
【思维·引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.
【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1时,a2=
3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.
【类题·通】
关于等比数列Sn与an的关系
(1)Sn与an的关系可以由Sn=
得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关
系,也可以通过特殊项验证判断;
(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的
关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.
【习练·破】
已知等比数列{an}的公比q>0且q≠1,其前n项和为Sn,则S2a3与S3a2的大小关
系为
( )
A.S2a3>S3a2
B.S2a3C.S2a3=S3a2
D.不能确定
【解析】选B.S3a2-S2a3=a1(1+q+q2)·a1q-a1(1+q)·a1q2=
>0,所以S2a3【加练·固】
设首项为1,公比为
的等比数列{an}的前n项和为Sn,则
( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an
D.Sn=3-2an
【解析】选D.Sn=
=3-2an.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}为等差数列,且
成等比数列,则{an}前6项的和为
( )
A.15
B.
C.6
D.3
【解析】选C.设数列{an}为公差为d的等差数列,且
成等比数列,
可得4=
可得a1+a6=2,
即有{an}前6项的和为
×6(a1+a6)=6.
2.等比数列{an}中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列{an}的公比
为
( )
A.1
B.2
C.-2
D.4
【解析】选B.等比数列{an}的公比设为q,
满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,
可得2(a2+1)=a1+a3,
即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).
3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1,S3,S2成等差数列,
则数列{an}的公比为________.?
【解析】各项均为正数的等比数列{an}的公比设为q,若2S1,S3,S2成等差数列,
可得2S3=2S1+S2,
即为2(a1+a1q+a1q2)=2a1+a1+a1q,
即有2q2+q-1=0,解得q=
(q=-1不合题意,舍去).
答案:
4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若
,则
=________.?
【解析】根据题意,在等比数列{an}中,
,显然q≠1,
故
变形可得q5=3,故
答案:
【新情境·新思维】
对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若{an}的“差数
列”是首项为
,公比为
的等比数列,若a1=1,则a2
020=________.?
【解析】根据题意,an+1-an=
,
则a2
020=(a2
020-a2
019)+(a2
019-a2
018)+…+(a2-a1)+a1=
=2-
.
答案:2-(共40张PPT)
第1课时 等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式
必备知识·素养奠基
q=1
na1
q≠1
a1,q,n
Sn=_________________
a1,q,an
Sn=
_________________
【思考】
对于等比数列的前n项和Sn=
一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=
( )
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=
( )
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0.
( )
提示:(1)×.Sn=
(2)×.Sn=
(3)×.Sn=
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.
所以
=3a1(1+q),
化为q2=2,解得q=
(负值舍去).
3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.?
【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,
即q3=
=8,即q=2,首项a1=
,
则数列{an}的前n项和Sn=
答案:2n-1-
关键能力·素养形成
类型一 等比数列前n项和的计算
【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10=
( )
A.1
022
B.2
046
C.2
048
D.4
094
2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________.?
【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.
2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.
【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5=
=512,
所以a3=8,
因为a2+a4=2(a1+a3),所以
整理可得,q3+q=2(1+q2),
所以q=2,a1=2,S10=
=2
046.
2.因为S3=
=6,S6=
=54,
所以
=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,
所以
=6,解得a1=
.
答案:
【内化·悟】
本例2中的消元方法是什么?有什么优点?
提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.
【类题·通】
等比数列前n项和的运算技巧
(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.
(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.
(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【习练·破】
1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则
=
( )
A.2n-1
B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,
由a5-a3=12,a6-a4=24可得:
所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=
=2n-1,
因此
=2-21-n.
2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=
,
6
=a6,则S5=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=
,6
=a6,所以
解得,q=2,则S5=
答案:
【加练·固】
(2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=
,
=a6,
则S4=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=
,
=a6,
所以
解得,q=2,则S4=
答案:
类型二 等比数列前n项和的实际应用
【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.
【解析】选B.此人每天走的步数构成以
为公比的等比数列,所以
=378,解得a1=192,
所以an=192×
=384×
,
因为384×
<30,
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【内化·悟】
从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?
提示:Sn=378,q=
,n=6.
【类题·通】
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,
列出方程(组)求解.
【习练·破】
(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?( )
【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,
则{an}是公比为
的等比数列,
所以S3=
=50,解得a1=
,
所以羊主人应偿还:a3=
升粟.
类型三 等比数列前n项和的简单性质
角度1 前n项和公式的函数特征
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则
( )
A.
B.3
C.6
D.9
【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计
算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=
·3n-1,
所以
=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则
【素养·探】
等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.
将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.?
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn=
故q=2,
=-3,故a=-3.
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2 前n项和的性质
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( )
【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9=
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3=
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×
【类题·通】
1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列
?Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N
).
即指数式的系数与常数项互为相反数,
其中A=
2.等比数列前n项和公式的性质
等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.
【习练·破】
(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则
( )
A.A+C>2B
B.ACC.AC>B2
D.A+C<2B
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1
+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC当q>1时A+C>2B,当0A,C不正确.
【加练·固】
一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q=
又Sn=85+170=255,据Sn=
得
=255,
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
课堂检测·素养达标
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为
( )
A.1+
B.
C.
D.以上都不对
【解析】选D.当a=1时,Sn=n.
2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为
( )
A.29
B.
C.30
D.
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
则
解得
因此,数列{an}的前5项和S5=
3.数列{2n-1}的前99项和为
( )
A.2100-1
B.1-2100
C.299-1
D.1-299
【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99=
=299-1.
4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2
020的值为________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=3,2S2=S3+S4,
当q=1时显然不成立,故q≠1,
所以
,整理可得,q2+q-2=0,
解得,q=-2或q=1(舍),
则a2
020=3×(-2)2
019=-3×22
019.
答案:-3×22
019
【新情境·新思维】
已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N
),则
S5=
( )
A.30
B.31
C.15
D.62
【解析】选B.因为等比数列{an}的各项均为正数,且anan+1=4n(n∈N
),所以
a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=
,所以S5=
=31
.(共2张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和公式 温馨提示：
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课时素养评价
九 等比数列的前n项和公式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·来宾高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,则a2=
( )
A.-3
B.3
C.-
D.3或-
【解析】选D.设公比为q,易知q≠1.
由得,
解得或,当时,a2=a1q=3;
当时,a2=a1q=-,
所以a2=3或a2=-.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选C.S4=,a2=a1q,
所以==.
3.设f(n)=2+24+27+…+23n+1
(n∈N+),则f(n)等于
( )
A.(8n-1)
B.(8n+1-1)
C.(8n+2-1)
D.(8n+3-1)
【解析】选B.f(n)=2+24+27+…+23n+1
==(8n+1-1).
4.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·肇庆高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a3=-1,S3=-3,当q=1时,显然满足,
此时a1=-1,
当q≠1时,,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-,a1=-4.
综上,a1=-1或-4.
答案:-1或-4
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为________.?
【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),
又Sn=(2x·3n-1),所以x=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
所以q2==4,所以q=±2,
所以an=2n或an=-(-2)n.
(2)由(1)知Sn==2n+1-2
或Sn==[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.
8.(2020·海淀高二检测)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<100,求n的最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为a2=1,a5=8,所以q3==8,故q=2,
所以an=a2qn-2=2n-2.
(2)由(1)知,a1=,
所以Sn==(2n-1)<100,
则2n<201,由于27=128,28=256.
所以n的最大值为7.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·绍兴高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S10,则=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.由S5=2S10,可知q≠1,
则=2×,
整理可得,2q10-q5-1=0,
解得q5=-或q5=1(舍),
则==-.
2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000m,此时乌龟便领先他100
m;当阿基里斯跑完下一个100
m时,乌龟仍然领先他10
m;当阿基里斯跑完下一个10
m时,乌龟仍然领先他1
m……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2
m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)
为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5==
=.
3.(5分)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=________.?
【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比数列,所以S15==11.
答案:11
4.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为________.?
【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则{an}是以a1=×22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q≠1,
故这10个三角形的面积和为
S10===.
答案:
5.(10分)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,试求:
(1)a1和公比q;
(2)前6项的和S6.
【解析】(1)根据题意,在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,则有a1·a2·a3==27,即a2=3,
a2=3时,a4=30-a2=27,有q2==9,即q=±3,
若q=3,则a1==1,若q=-3,则a1==-1,
综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.
(2)当q=3,a1=1时,前6项的和S6==364;
当q=-3,a1=-1时,
前6项的和S6==182.
1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队长,每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
( )
A.(87-8)人
B.(89-8)人
C.8+(87-8)人
D.8+(89-84)人
【解析】选A.该问题中有8名将官,82名先锋,83名旗头,84名队长,85名甲头,86名士兵,
则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+82+83+84+85+86==(87-8)(人).
2.一个热气球在第一分钟上升了30
m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的.这个热气球上升的高度能超过150
m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn=a1+a2+…+an==
=150×<150,
即这个热气球上升的高度不可能超过150
m.
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课时素养评价
十 等比数列习题课
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.数列{an}为等比数列,若a1=1,a7=8a4,数列的前n项和为Sn,则S5=( )
A.
B.
C.7
D.31
【解析】选A.由题意,q6=8q3,解得q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1,
因为数列的前n项和为Sn,
所以S5=1++++==.
2.在等比数列{an}中,a2·a6=,则sin=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选C.在等比数列{an}中,a2·a6=,
可得=a2·a6=,
则sin=sin=.
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,=2a16,则数列{log2an}的前7项和等
于
( )
A.7
B.8
C.27
D.28
【解析】选A.由题意,得a10=2q6,
所以a1·q3=2,即a4=2,
所以T7=log2a1+log2a2+…+log2a7
=log2(a1·a2·…·a7)=log2=7.
4.(多选题)在递增的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,
a2+a3=12,则下列说法正确的是
( )
A.q=1
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{lg
an}是公差为2的等差数列
【解析】选BC.由题意,可得a2a3=a1a4=32>0,a2+a3=12>0,故a2>0,a3>0.
根据根与系数的关系,可知a2,a3是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根.
解得a2=4,a3=8,或a2=8,a3=4.
故必有公比q>0,所以a1=>0.
因为等比数列{an}是递增数列,所以q>1.
所以a2=4,a3=8满足题意.
所以q=2,a1==2.
故选项A不正确.an=a1·qn-1=2n.
因为Sn==2n+1-2.
所以Sn+2=2n+1=4·2n-1.
所以数列{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B正确.
S8=28+1-2=512-2=510.故选项C正确.
因为lg
an=lg
2n=n.
所以数列{lg
an}是公差为1的等差数列.故选项D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比q=________,如果a1=1,则S4=________.?
【解析】由4a1,2a2,a3成等差数列,可得4a1+a3=4a2,
即4a1+a1q2=4a1q,可得q2-4q+4=0,解得q=2,
又因为a1=1,则S4==15.
答案:2 15
6.(2020·上饶高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=+a·3n,则=________.?
【解析】因为等比数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=+a·3n,
所以a1=S1=+3a,a2=S2-S1=9a-3a=6a,a3=S3-S2=27a-9a=18a,
因为a1,a2,a3成等比数列,所以(6a)2=×18a,解得a=-(a=0舍去),
所以==28.
答案:28
【加练·固】
记等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}为等比数列,已知S5=10,且b10=a2+a4,则b5b15=________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由S5=10,且b10=a2+a4,
可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,
即有b10=4,b5b15==16.
答案:16
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,
即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,
因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
8.已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,
2b1+a3=b4,S3=3a2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d.
由a1+a2=6,得a1+a1q=6.
因为a1=2,所以q=2.
所以an=a1qn-1=2·2n-1=2n.
由 得
解得
所以bn=b1+(n-1)d=3n-2.
(2)由(1)知an=2n,bn=3n-2.
所以cn==3×2n-2.
从而数列{cn}的前n项和
Tn=3×(21+22+23+…+2n)-2n
=3×-2n=6×2n-2n-6.
(20分钟·40分)
1.(5分)已知{an}是等比数列,数列{bn}满足bn=log2an,n∈N
,且b2+b4=4,则a3的值为
( )
A.1
B.2
C.4
D.16
【解析】选C.{an}是等比数列,数列{bn}满足bn=log2an,n∈N
,
且b2+b4=4,则log2(a2·a4)=4,则=24,
整理得a3=±4,由于an>0,
所以a3=-4舍去,故a3=4.
【加练·固】
已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N
),且a1+a2+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)的值等于
( )
A.10
B.100
C.210
D.2100
【解析】选B.由题意log2an+1-log2an=1,
整理得:=2(常数),且a1+a2+…+a10=1,
则=1,解得:a1=,
所以a101=a1·2100=,
则log2(a101+a102+…+a110)
=log2=log22100=100.
2.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则an等于
( )
A.3×4n
B.3×4n+1
C.
D.
【解析】选C.当n≥1时an+1=3Sn
则an+2=3Sn+1,
所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,
即an+2=4an+1,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.
又a2=3S1=3a1=3.
所以an=
3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=2-2an+1,若a2=,则S5=________.?
【解析】Sn是数列{an}的前n项和,Sn=2-2an+1,
当n≥2时,Sn-1=2-2an,
两式相减得an=-2an+1+2an,所以an+1=an,
又a1=2-2a2=1,a2=,所以{an}是以1为首项,
为公比的等比数列,则S5==.
答案:
4.(5分)(2020·郑州高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若数列{Sn-2a1}也为等比数列,则=________.?
【解析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,对于等比数列{Sn-2a1},其前三项为:-a1,a2-a1,a3+a2-a1,则有(-a1)(a3+a2-a1)=(a2-a1)2,
变形可得:-(q2+q-1)=(q-1)2,
解得:q=或0(舍),则q=,
则===.
答案:
5.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1、a3、a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}是递增数列,数列{bn}满足bn=,Tn是数列{anbn}的前n项和,求Tn.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,
S3=9,a1、a3、a7成等比数列,
可得3a1+3d=9,=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,
则an=3或an=n+1;
(2)因为数列{an}是递增数列,所以d>0,
即an=n+1,bn==2n+1,从而anbn=(n+1)·2n+1,
Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,①,
2Tn=2×23+3×24+4×25+…+(n+1)·2n+2,②,
①-②得-Tn=8+23+24+…+2n+1-(n+1)·2n+2
=8+-(n+1)·2n+2=-n·2n+2,
所以Tn=n·2n+2.
6.(10分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=
20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N
)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
【解析】(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=(舍去),或q=2,a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.
所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
1.若数列{bn}满足:++…+=2n(n∈N
),则数列{bn}的前n项和Sn为( )
A.2n+1
B.4·2n+4
C.2n+2-2
D.2n+2-4
【解析】选D.数列{bn}满足++…+=2n(n∈N
),可得:++…+=2(n-1)(n∈N
),可得=2n-2(n-1)=2,
可得bn=2n+1(n≥2),
当n=1时,b1=4,适合上式.
所以数列{bn}的通项公式为:bn=2n+1.
所以数列{bn}是等比数列,公比为2.
数列{bn}的前n项和Sn==2n+2-4.
【加练·固】
(2019·咸阳高二检测)数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=5+2n(n∈N+),则a5=________.?
【解析】根据题意,若a1+a2+a3+…+an=5+2n①
则a1+a2+a3+…+an-1=5+2(n-1),②
①-②可得:an=2(n≥2),
则an=2n+1(n≥2),则a5=26=64.
答案:64
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3an-2,数列{nan}的前n项和为Tn,求满足Tn>100的最小的n值.
【解析】根据题意,数列{an}满足Sn=3an-2,①
当n≥2时,有Sn-1=3an-1-2,②,
①-②可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,
当n=1时,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,
则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=,数列{nan}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2×+3×+…+n×,③
则Tn=+2×+3×+…+n×④,
③-④可得-Tn=1+++…+-n×=-2-n×,
变形可得Tn=4+(2n-4)×,若Tn>100,
则4+(2n-4)×>100,
即(2n-4)×>96,经验证可知n≥7.
故满足Tn>100的最小的n值为7.
3.(2020·浙江高考)已知数列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=
·cn(n∈N
).
(1)若数列{bn}为等比数列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;
(2)若数列{bn}为等差数列,且公差d>0,证明:c1+c2+…+cn<1+.
【解析】(1)b1=1,b2=q,b3=q2,且b1+b2=6b3,
即1+q=6q2,又q>0得q=,
所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,
所以=4,所以{cn}是首项c1=1,
公比为4的等比数列,cn=4n-1,
由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+…+4n-2得an=.
(2)bn=1+(n-1)d,则bn+1
bn+2cn+1=bnbn+1cn=…=b1b2c1=1+d,故cn===.
于是c1+…+cn=<1+,得证.
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