(共2张PPT)
4.3 等
比
数
列
4.3.1 等比数列的概念 温馨提示：
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课时素养评价
八 等比数列的性质及应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2
019=3,则a1
010的值
为
( )
A.9
B.
C.±
D.3
【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2
019=3,
所以,所以a1
010=1×q1
009=.
2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,则公比q=
( )
A.
B.或-2
C.2
D.
【解析】选B.因为等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,
依题意,2a2-5a2q=3a2q2,
即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,
解得q=或q=-2.
3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是
( )
A.3或27
B.36
C.9
D.15
【解析】选A.设此三数为3,a,b,
则解得或
所以这个未知数为3或27.
4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则
( )
A.数列{2an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}是等比数列
C.数列{anan+1}是等比数列
D.数列{log2|an|}是递减数列
【解析】选BC.因为等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,
所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;
an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确;
anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确;
log2|an|=log22n-1=n-1,故数列{log2|an|}是递增数列,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则=________.?
【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,
所以数列{an}是公比q为2的等比数列,
所以=q2=4.
答案:4
【加练·固】
已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=
( )
A.5 B.6 C.8 D.11
【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.已知公比为q的等比数列{an}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.?
【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,
a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.
答案:2或
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.
【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,
所以5a1+×1=a1(a1+8),
解得a1=-5,或a1=2,
当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,
当a1=2时,an=2+n-1=n+1.
(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,
当d≠0,a1=-4d时,
q====.
8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q;
(2)若an>n+100,求n的取值范围.
【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,
所以,解得q=2,a1=1.
(2)由(1)可得an=2n-1,因为an>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N
.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{an}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11=
( )
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,
所以q3==2,
因为a2+a5=a2(1+q3)=3,
所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.
2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=
( )
A.512
B.32
C.8
D.2
【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,
B9=b1b2b3…b9=,所以==512.
3.(5分)在正项等比数列{an}中,an+1
【解析】因为数列{an}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为an+1所以q2==,所以==.
答案:
【加练·固】
已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.?
【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=,
由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
答案:
4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.?
【解析】因为=,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×,z=6×.
所以x+y+z=1+5×+6×==2.
答案:2
5.(10分)已知等比数列{an},a1a2=-,a3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N
,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
若a1a2=-,则q=-,
若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,
解可得:=1,则a1=1,则有q=-,
故an=.
(2)根据题意,an=,
则ak=,ak+1=,
ak+2=;则有
ak+ak+1-2ak+2=+-
2==0,
则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.
1.在等比数列{an}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.?
【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8,
即+16q2=8,解得q2=,
所以a9=a1q8=8×=.
答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N
).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=2an-3n(n∈N
).
所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),
两式相减,得an+1=2an+3,
bn=an+3,bn+1=an+1+3,
所以===2,
得bn+1=2bn(n∈N
),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=6×2n-1,
所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【加练·固】
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N
).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;
(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana
n+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以an=n.
(2){an}不能为等比数列,理由如下:
因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,
所以===a-1,
所以a3=a-1,
假设{an}为等比数列,
由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,
所以此方程无解,
所以数列{an}一定不为等比数列.
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课时素养评价
七 等比数列的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=
( )
A.3
B.9
C.27
D.36
【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,
解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.
3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8则an=
( )
A.2n-1
B.2n
C.3n-1
D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8,
所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36,
a1+a2+a3=26,则a4=
( )
A.24
B.36
C.48
D.54
【解析】选D.由a1·a3==36,an>0,得a2=6,
因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,
因为a1二、填空题(每小题5分,共10分)
5.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=________.?
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
6.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是________.(填出满足条件的一组即可)?
【解析】因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1得,q+q2=6,所以q=2或q=-3,
若q>1,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,
若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.
取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.
答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在等比数列{an}中
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q==-3,所以a5=405.
(2)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=.
8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若an=,求n.
【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2==.
所以q=±.
当q=时an=a3qn-3=32×=28-n;
当q=-时,an=a3qn-3=32×=
(-1)n+1·28-n.
所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.
(2)当an=时28-n=或32×
=,
解得n=9.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=
( )
A.16
B.64
C.128
D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保留两位小数)
( )?
A.10.09
B.11.85
C.9.85
D.11.09
【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形HPLJ中,LP=HJ==,则在矩形HJIF中,HF==,
同理:FC=,DC=,
则BC=≈11.09.
3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,=a4,则a5=________.?
【解析】因为a1=3,=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=,所以a5=3×=.
答案:
4.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=________.?
【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,解得an=.
答案:
【加练·固】
等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为________.?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1==,
所以an=·2n-1=2n-3,
所以lg
an=(n-3)lg
2.
答案:lg
an=(n-3)lg
2
5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,
所以cn+1=cn,
又因为a1+a1=1,即a1=,
所以c1=a1-1=-1=-,
所以数列{cn}是以-为首项、为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,
所以=+≥2=,因为a5>0,
所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=,a7=时等号成立.
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N
,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N
).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N
).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N
).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1
=4-2n-1(n∈N
).当n<3时,bn+1-bn>0,bn即b1当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6
所以k=3或k=4.
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第2课时 等比数列的性质及应用
1.等比数列的项之间的关系
等比数列{an},m,n,p,q∈N
必备知识·素养奠基
两项关系
an=_____
三项关系
若m+n=2p,则an·am=________
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=______
amqn-m
ap·aq
【思考】
等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=
2.等比数列的单调性
递增数列
a1>0
____
____
0递减数列
a1>0
______
a1<0
___
q>1
a1<0
0q>1
【思考】
当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等比数列{an}中a2·a6=
( )
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.
( )
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.
( )
提示:(1)×.a2·a6=
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-
,a1=
,则数列{an}是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-
<0,所以数列{an}是摆动数列.
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________.?
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·素养形成
类型一 等比数列性质的应用
【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11=( )
2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2
,a3=1,则a2=
( )
【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.
2.利用a3a7=
求出q,进而求出a2.
【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,
a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,
所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,
且a1所以q5=
,a11=a1q10=4×
2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满足:
a3a7=2
,所以
=2
,
所以q=
,
因为a3=1,
所以a2=
【内化·悟】
用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?
提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.
【类题·通】
1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法
(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.
(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
2.利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
【习练·破】
(2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,
a2a5=20,则
=
( )
A.5
B.10
C.25
D.510
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.
因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,
所以
解得a1=2,q=
,
所以
=q10=25.
【加练·固】
(2020·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零
点是a1,a5,则a3=
( )
A.1
B.-1
C.±
D.
【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,
且
=a1·a5=3,所以a3=
.
类型二 等比数列的实际应用
【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多
达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者
王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国
的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指
一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个
音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则
等于
( )
【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.
【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},
设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=
所以
【内化·悟】
在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?
提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【类题·通】
关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
【习练·破】
(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10
万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计
改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过
________年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg
2≈
0.301
0)
( )?
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+
50%)n>40×(1+20%)n,化为:
>4,取对数可得:n>
≈6.2.
所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
【加练·固】
某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年
的月平均增长率是________.?
【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为
=m,所
以月平均增长率为
-1.
答案:
-1
类型三 等比数列与等差数列的综合应用
角度1 灵活设项解题
【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,
设三个数为
,a,aq,则
×a×aq=a3=64,
所以a=4,所以三个数为
,4,4q,
第一个数与第三个数各减去1为
-1,4,4q-1,
则
-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或
,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
【素养·探】
在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.
本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为
,a,aq,
因为
·a·aq=512,所以a=8.
因为
+(aq-2)=2a,
所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=
,
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
角度2 等差、等比数列性质
【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+
a5,b5=a4+2a6,则a2
018+b9=
( )
A.2
274
B.2
074
C.2
226
D.2
026
【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2
018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1,则a2
018+b9=1+2
017+28=2
274.
【类题·通】
等比数列项的设法
(1)三数成等比数列常设成
,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为
,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设
为
,
,aq,aq3.
【习练·破】
设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,
a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,
则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),
即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,
因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.
答案:21
【加练·固】
已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________.?
【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,
a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.
答案:2
课堂检测·素养达标
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为
=q3,即
=a3a9,所以a3,a6,a9
成等比数列.
2.已知数列{an}是等比数列,若
=4,则a5=
( )
A.2
B.4
C.2
D.
【解析】选B.根据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,
若
=4,则
=a3q2=a5=4.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8
=
( )
A.12
B.24
C.30
D.32
【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8
=a1q5(1+q+q2)可求得结果.
【解析】选D.设等比数列
的公比为q,
则a1+a2+a3=a1
=1,
a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q
=q=2,
因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5
=
q5=32.
4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为________.?
【解析】在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π=
,
所以a4=
.
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)
=sin[log3(a1a2·…·a7)]
=sin(log3
)=sin(log3
)
答案:
【新情境·新思维】
已知数列{
}是等比数列,公比为q,则数列{an}
( )
A.是等差数列,公差为log3q
B.是等差数列,公差为3q
C.是等比数列,公比为log3q
D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列{
}是等比数列,
所以
所以an+1-an=log3q(常数),
所以数列{an}
是等差数列,公差为log3q.(共46张PPT)
第1课时 等比数列的概念
1.等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_______的比都等于_______常
数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字
母q表示(显然q≠0).
必备知识·素养奠基
前一项
同一个
【思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?
提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示:
=q(n≥2)或
=q(q≠0).
2.等比中项
在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_________,那么G叫做a与b的等比中项.
等比数列
【思考】
G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?
提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
3.等比数列的通项公式
首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为________.
an=a1qn-1
【思考】
等比数列的通项公式an=a1qn-1与指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么联系?
提示:an=a1·qn-1=
·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函
数f(x)=
·qx(x∈R)在x=n时的值,即an=f(n).数列{an}图象上的点(n,an)都
在指数函数f(x)的图象上.反之指数函数f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以构成
一个首项为a,公比为a的等比数列{a·an-1}.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等
比数列.
( )
(2)若G是a与b的等比中项,则G=
.
( )
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.
( )
提示:(1)×.应等于同一个常数.
(2)×.G=±
.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.?
【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b=
=4.
答案:4
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,
解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.
答案:(-3)n
关键能力·素养形成
类型一 等比数列基本量的计算
【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=
( )
2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=
( )
A.4
B.3
C.2
D.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=
,则{an}的通项公式
an=________.?
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.
2.将条件用a1,q表示,消元求公比.
3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则
=q3=-8,
则q=-2,则a1=
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以
且q>0,解得a1=
,q=2,
所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a3=
,所以
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=
.所以an=3n-2.
答案:3n-2
【内化·悟】
计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?
提示:常用到两式相除.
【类题·通】
关于等比数列基本量的运算
(1)基本量:a1,q,n,an;
(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
【习练·破】
1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=
( )
A.12
B.18
C.24
D.36
【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,
已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.
2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1=
( )
A.1
B.2
C.-
D.-1
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,
所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,
解得a1=1,q=-2.
【加练·固】
已知an=625,n=4,q=5,求a1.
【解析】a1=
=5,故a1=5.
类型二 等比中项及其应用
【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-
,c=3+
,则b=( )
A.2
B.-2
C.±2
D.4
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等
于
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.
2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,
则b2=ac=(3-
)(3+
)=9-5=4,则b=±2.
2.选B.因为an=(n+8)d,又因为
=a1·a2k,
所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】
等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?
提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
【类题·通】
应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;
(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.
【习练·破】
-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.?
【解析】设该等比数列的公比为q,
因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,
所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,
又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.
答案:-125
【加练·固】
已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求
的值.
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,
则a2-a1=d=
×[(-4)-(-1)]=-1,
因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以
=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以
类型三 等比数列的判定
角度1 利用定义证明等比数列
【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.
证明:{an+1}是等比数列.
【思维·引】证明
为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=
所以
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),
所以
.所以
是以
为公比的等比数列.
【素养·探】
在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.
若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,
证明:
{an+1}是等比数列.
证明:因为an+1=2an+1,
所以
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=
an+b(n∈N
,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列.
【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证
明.
【证明】(1)因为Sn=
an+b,
所以当n≥2时Sn-1=
an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=
an+b-
an-1-b,
所以an=
an-
an-1,
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1=
a1+b,
所以a1=-2b,
所以a2=-6b,a3=-18b,
所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,
(a2+1)2=1+36b2-12b.
(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.
【类题·通】
关于等比数列的证明
(1)定义法
①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明
或
(n≥2)为常数.
②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关
系证明.
(2)等比中项法
证明
=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.
【习练·破】
(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N
.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{
}和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为Sn=p-23-n,
所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,
所以a1=p-4,a2=2,a3=1,
因为数列{an}为等比数列,
所以q=
,所以
所以p=8,a1=4,所以an=4×
=23-n;
(2)数列{
}是等比数列,{nan}不是等比数列.
证明如下:由(1)得
=(23-n)2=43-n,
所以
所以数列{
}是以
为公比的等比数列,
由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是
等比数列.
【加练·固】
已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=
,求证数列
{bn}是等比数列,并求其通项公式.
【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
故
所以数列{bn}是等比数列.因为b1=
所以bn=
×2n-1=2n-3.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=
( )
A.15
B.24
C.32
D.64
【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,
故a6=a1q5=32.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为
( )
A.-
B.-1
C.-
或1
D.-
或-1
【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以
=2,整理,得2q2-
q-1=0,解得q=1,或q=-
.
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________.?
【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,
所以a1=3.
答案:3
4.若等比数列{an}满足a1=
,a2a3=2,则a7=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为等比数列{an}满足a1=
,a2a3=2,
所以
q·
q2=2,解得q=2,
所以a7=
×26=32.
答案:32
【新情境·新思维】
已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是
( )
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+3>0
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2
=(ak·q)2>0,B正确;对于C,
ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3
=
·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.