(共50张PPT)
4.4
数学归纳法
数学归纳法
(1)概念:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种
证明方法称为数学归纳法.
必备知识·素养奠基
(2)证明形式:
记P(n)是一个关于正整数n的命题.
条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N
,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.
结论:P(n)为真.
【思考】
(1)验证的第一个值n0一定是1吗?
提示:不一定,如证明“凸n边形对角线的条数f(n)=
”时,第一步应验
证n=3是否成立.
(2)在第二步证明中,必须从归纳假设用综合法证明吗?
提示:不是,在归纳递推中,可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.
( )
(2)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时由n=k到n=k+1时,项数都增加
了一项.
( )
(3)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为
1+2+22+23.
( )
提示:(1)×.也可以用其他方法证明.
(2)×.有的增加了不止一项.
(3)√.观察左边的式子可知有n+3项,所以验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.
2.已知
则
( )
A.f(n)共有n项,当n=2时,
B.f(n)共有n+1项,当n=2时,
C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,
D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,
【解析】选D.结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连
续自然数共有n2-n+1个,且
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N
)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到
( )
A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1
B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1
C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1
D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
【解析】选D.因为将式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替换得:当n=k+1时,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.
关键能力·素养形成
类型一 用数学归纳法证明等式
【典例】用数学归纳法证明:
【思维·引】等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正
整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都与n有
关.
【证明】(1)当n=1时,左边
右边=
,等式成立;
(2)假设当n=k(k∈N
)时等式成立,即
那么当n=k+1时,
左边
右边,
所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知对一切n∈N
,等式都成立.
【内化·悟】
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时的关键是什么?要注意什么?
提示:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.
【类题·通】
数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式
子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的
两边会增加多少项、增加怎样的项.
(3)利用假设是核心
在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”也成立,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
【习练·破】
用数学归纳法证明:
【证明】(1)当n=1时,左边
右边
左边=右边,所以等式成立.
(2)假设n=k(k∈N
且k≥1)时等式成立,即有
则当n=k+1时,
所以当n=k+1时,等式也成立,
由(1)(2)可知,对于一切n∈N
等式都成立.
【加练·固】
用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=
n(4n2-1)(n∈N
).
【证明】(1)当n=1时,左边=12,
右边=
×1×(4×1-1)=1,
左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N
,k≥1)时,等式成立,
即12+32+52+…+(2k-1)2=
k(4k2-1),则当n=k+1时
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=
k(4k2-1)+(2k+1)2
=
k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
=
(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]
=
(2k+1)(2k2+5k+3)=
(2k+1)(k+1)(2k+3)
=
(k+1)(4k2+8k+3)=
(k+1)[4(k+1)2-1],
即当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N
等式成立.
类型二 用数学归纳法证明不等式
【典例】求证:
【思维·引】由n≥2知n的初始值为2,在第二步可以应用分析法或放缩法证明.
【解析】(1)当n=2时,左边
故左边>右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N
)时命题成立,即
则当n=k+1时,
方法一 (分析法)下面证
式≥
,即
只需证(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,
只需证(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,
只需证9k+5≥0,显然成立.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
方法二 (放缩法)
式
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N
均成立.
【内化·悟】
1.在什么条件下适合应用数学归纳法证明数学命题?
提示:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
2.应用数学归纳法证明数学命题的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,这一步骤有哪些方法?
提示:主要方法有①放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等.
【类题·通】
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
【习练·破】
用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式
均成立.
【证明】(1)当n=2时,左边=1+
=
;右边=
.
因为左边>右边,所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N
)时不等式成立,
即
则当n=k+1时,
所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式
都成立.
【加练·固】
已知数列{an},an≥0,a1=0,
求证:当n∈N
时,an
【证明】(1)当n=1时,因为a2是方程
+a2-1=0的正根,所以a1(2)假设当n=k(k∈N
,k≥1)时,0≤ak则由
得ak+1根据(1)和(2),可知an都成立.
类型三 归纳-猜想-证明
【典例】在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=
(1)求a1,a2,a3.
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.
【思维·引】(1)数列{an}的各项均为正数,且
,所以可根据解方程
求出a1,a2,a3.
(2)观察a1,a2,a3猜想出{an}的通项公式an,然后再证明.
【解析】(1)S1=a1=
得
=1.
因为an>0,所以a1=1,
由S2=a1+a2=
,
得
+2a2-1=0,所以a2=
-1.
又由S3=a1+a2+a3=
,
得
+2
a3-1=0,所以a3=
-
.
(2)猜想an=
-
(n∈N
)
证明:①当n=1时,a1=1=
-
猜想成立.
②假设当n=k
(k∈N
)时猜想成立即ak=
-
,
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk
所以
即n=k+1时猜想成立.
由①②知,
【素养·探】
本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发
现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力,在这类问题
中经常用到的数学核心素养是逻辑推理.
已知
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系.
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
【解析】
(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,
所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)=
,g(2)=
,
所以f(2),g(3)=
,
所以f(3)(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.
①当n=1,2,3时,不等式显然成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N
)时不等式成立,即
那么,当n=k+1时,
因为
所以
由①②可知,对一切n∈N
,都有f(n)≤g(n)成立.
【类题·通】
1.“归纳——猜想——证明”的解题步骤
2.“归纳——猜想——证明”解决的主要问题
(1)已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和.
(2)由一些恒等式,不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单命题(n=1,2,3……),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
提醒:①计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;②猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功.③如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.
【习练·破】
(2020·全国Ⅲ卷)设数列
满足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)计算a2,a3,猜想
的通项公式并加以证明;
(2)求数列
的前n项和Sn
.
【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,
a3=3a2-8=15-8=7,
由数列
的前三项可猜想数列
是以3为首项,2为公差的等差数列,
即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;
假设n=k(k≥1,k∈N
)时,ak=2k+1成立.
那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.
则对任意的n∈N
,都有an=2n+1成立.
(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,
Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①
2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②
由①-②得:
即Sn=(2n-1)·2n+1+2.
课堂检测·素养达标
1.证明
假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增
加的项数是
( )
A.1
B.k-1
C.k
D.2k
【解析】选D.当n=k时,不等式左端为
当n=k+1时,不等式左端为
增加了
项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n-an(n∈N
),若已经算出a1=1,a2=
,则
猜想an等于
( )
【解析】选D.因为a1=1,a2=
,
S3=1+
+a3=6-a3,所以a3=
.
同理可得a4=
.观察
猜想
3.已知f(n)=1+
+
+…+
(n∈N
).用数学归纳法证明f(2n)>
,请补全
证明过程:
(1)当n=1时,f(21)=1+
>
;
(2)假设n=k时命题成立,即f(2k)>
,则当n=k+1时,
f(2k+1)=f(2k)+________,?
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)(2)可知,对任意n∈N
,都有f(2n)>
成立.
【解析】因为当n=k时,f(2k)=1+
+
+…+
>
,
所以当n=k+1时,f(2k+1)=
答案:温馨提示：
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课时素养评价
十一 数学归纳法
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1
B.f(n)+n
C.f(n)+n-1
D.f(n)+n-2
【解析】选C.边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步
是
( )
A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N
)
B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N
)
C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N
)
D.假设n=k时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N
)
【解析】选B.因为n为正奇数,所以n=2k-1(k∈N
).
3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取
( )
A.2
B.3
C.5
D.6
【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.
4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上
( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
【解析】选D.当n=k时,左端=1+2+3+…+k2.当n=k+1时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.用数学归纳法证明不等式1+++……+>成立,起始值应取为n=________.?
【解析】用等比数列求和公式可得>整理得2n>128?n>7,所以n=8.
答案:8
6.(2020·余姚高二检测)若f(n)=1+++…+(n∈N
),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=________;第二步“从n=k到n=k+1时”,
f(k+1)=f(k)+________.?
【解析】f(1)=1+=;
假设当n=k时,f(k)=1+++…+,
那么,当n=k+1时,f(k+1)=1+++…++++,
f(k+1)=f(k)+++.
答案: ++
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N
).
【证明】(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N
,k≥1)时等式成立,
即(k+1)(k+2)…(k+k)
=2k·1·3·5…(2k-1),
那么当n=k+1时,
左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=2k·1·3·5…(2k-1)(2k+1)·2
=2k+1·1·3·5…(2k-1)(2k+1)
=2k+1·1·3·5…[2(k+1)-1].
这就是说当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可知,对所有n∈N
等式成立.
8.用数学归纳法证明对一切,n∈N
,1+++…+≥.
【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.
(2)假设当n=k时,不等式成立,
即1+++…+≥,
则当n=k+1时,
要证1+++…++≥,
只需证+≥.
因为-
=-
=
=≤0,
所以+≥,
即1+++…++≥,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知,不等式对一切n∈N
都成立.
(15分钟·30分)
1.(5分)对于不等式),某同学用数学归纳法证明的过程如下:
(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N
)时,不等式成立,即=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法
( )
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
【解析】选D.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.
2.(5分)用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N
)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边
( )
A.增加了一项
B.增加了两项,
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项,,少了一项.
3.(5分)平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=
f(k)+________.?
【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.
答案:k+1
4.(5分)用数学归纳法证明…1+>(k>1),则当n=k+1时,左端应乘上__________,这个乘上去的代数式共有因式的个数是________.?
【解析】因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是,最后一个是,根据等差数列通项公式可求得共有+1=2k-2k-1
=2k-1项.
答案:… 2k-1
5.(10分)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N
)且点P1的坐标为(1,-1).
(1)求过点P1,P2的直线l的方程.
(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N
,点Pn都在(1)中的直线l上.
【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.
所以b2==.a2=a1·b2=.
所以点P2的坐标为,
所以直线l的方程为2x+y=1.
(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,2ak+bk=1成立,
则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1
=(2ak+1)===1,
所以当n=k+1时,命题也成立.
由①②知,对于n∈N
,都有2an+bn=1,
即点Pn在直线l上.
(2020·南阳高二检测)设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N
.
(1)当n=1,2,3,4时,试比较与1的大小;
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.
【解析】(1)因为f(1)=12=1,g(1)=21=2,
所以f(1)因为f(2)=23=8,g(2)=32=9,
所以f(2)因为f(3)=34=81,g(3)=43=64,
所以f(3)>g(3),>1.
因为f(4)=45=1
024,g(4)=54=625,
所以f(4)>g(4),>1.
(2)猜想:当n≥3,n∈N
时,有>1.
证明:①当n=3时,猜想成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N
)时猜想成立,
=>1.
当n=k+1时,=
=·>.
因为(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0,
所以>1,则>1,
即>1,所以当n=k+1时,猜想成立,由①②知,当n≥3,n∈N
时,有>1.
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