(共44张PPT)
4.1.2 乘法公式与全概率公式
1.乘法公式
公式:P(BA)=P(A)P(B|A).
意义:根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,
可以求出事件A与B_________的概率.
必备知识·素养奠基
同时发生
【思考】如果已知事件B发生的概率和在事件B发生的条件下事件A发生的概率,可以求出事件A与B同时发生的概率吗?
提示:可以,P(BA)=P(B)P(A|B).
2.全概率公式
(1)一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,则BA与B
是互斥的,且B=BA+B
,从
而P(B)=P(BA)+P(B
),当P(A)>0且P(
)>0时,有P(B)=____________________.
(2)定理1
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
①任意两个事件均_____,即AiAj=?,i≠j,i,j=1,2,…,n;
②A1+A2+…+An=___;
③P(Ai)>0
(i=1,2,…,n).
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,
且P(B)=_________=______________.
互斥
Ω
【思考】在全概率公式的推导过程中,用到了哪些概率公式?
提示:互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.
3.贝叶斯公式
一般地,当0
0时,有
=____________________.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)P(AB)=P(A)P(A|B).
( )
(2)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为
.
( )
(3)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的
概率.
( )
提示:(1)×P(AB)=P(A)P(B|A).
(2)×.需满足的条件为AiAj=?(i≠j),
,且P
>0.
(3)√.
2.已知P(B)=
,P(A|B)=
,则P(AB)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由乘法公式得,
P(AB)=P(B)P(A|B)=
×
=
.
3.已知A,B为样本空间为Ω中的事件,BA与B
是互斥的,B=BA+B
,且P(AB)
=
,P(
B)=
,则P(B)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由互斥事件概率的加法公式得,
P(B)=P(AB)+P(
B)=
+
=
.
关键能力·素养形成
类型一 利用乘法公式求概率
【典例】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________.?
【思维·引】认真分析题意,利用乘法公式求解.
【解析】记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件AB(发芽,又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.
答案:0.72
【内化·悟】
乘法公式与条件概率公式是什么关系?
提示:乘法公式是条件概率公式的变形式.
【类题·通】
应用乘法公式的关注点
1.功能:已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率,求事件A与B同时发生的概率.
2.推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).
【习练·破】
某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为________.?
【解析】记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5.
所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,
即这个选手过关的概率为0.4.
答案:0.4
【加练·固】
一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一
台,求第3次才抽到合格品的概率.
【解析】设Ai(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件,
则有P(
)=P(
)P
P(A3|
)=
≈0.008
3.
类型二 利用全概率公式求概率
角度1 全概率公式的应用
【典例】1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3
个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱取出红球的概率.
【思维·引】弄清题意,用全概率公式求解.
【解析】设A:最后从2号箱取出的是红球,B:从1号箱取出的是红球,则:
P(B)=
,P(
)=1-P(B)=
;
P(A|B)=
,P(A|
)=
;
所以P(A)=P(AB)+P(A
)
=P(A|B)P(B)+P(A|
)P(
)=
.
角度2 定理1的应用
【典例】播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
【思维·引】细研题意,利用定理1解决问题.
【解析】设Bk:从这批种子中任选一颗是k等种子,k=1,2,3,4;设A:从这批种子
中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上,则
P(B2)=0.02,P(B3)=0.015,P(B4)=0.01,
P(B1)=1-0.02-0.015-0.01=0.955,
P(A|B1)=0.5,P(A|B2)=0.15,
P(A|B3)=0.1,P(A|B4)=0.05,由定理1得,
P(A)=
=0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05
=0.482
5.
【素养·探】
★本例考查全概率公式的应用,同时考查了数学建模与数学运算的核心素养.
本例条件不变,求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率.
【解析】由典例知P(A)=0.482
5,所以
P(B1|A)=
≈0.989
6.
【类题·通】
全概率公式求概率的关注点
(1)实质:为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果.
(2)应用:把事件B看作某一过程的结果,
把A1,A2,…,An
…看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概率(即P(An))已知,而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知,则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).
【习练·破】
有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占
30%
,二厂生产的占
50%
,三厂生产的占
20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%
,
1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
【解析】设事件A
为“任取一件为次品”,
事件Bi:任取一件为i厂的产品,i=1,2,3.
B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=?,i,j=1,2,3,i≠j;
P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,由全概率公式得,
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.
【加练·固】
设一仓库中有10
箱同种规格的产品,
其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱
,
3箱,
2
箱,三厂产品的废品率依次为
0.1,
0.2,
0.3
从这10箱产品中任取一箱
,
再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”,
B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,
由题设知P(B1)=
,P(B2)=
,P(B3)=
,
P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,
所以P(A)=
P(A|Bi)
=
=0.83.
类型三 利用贝叶斯公式求概率
【典例】三部自动的机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生产的占25%,机器丙生产的占35%,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和
1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求:
(1)它是由机器甲生产出来的概率;
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大.
【思维·引】利用贝叶斯公式分别求出不合格产品是由哪一部机器产出的概率,比较大小即可.
【解析】设B1,B2,B3分别表示事件:任取的零件为甲、乙、丙机器生产的,
A:
抽取的零件是不合格品,由条件知,
P(B1)=0.40,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35,
P(A|B1)=0.10,P(A|B2)=0.05,P(A|B3)=0.01,
(1)所求概率为P(B1|A),P(B1|A)=
≈0.714.
(2)类似(1)的计算可得P(B2|A)≈0.223,
P(B3|A)≈0.063,比较可知是机器甲
生产出来的可能性大.
【内化·悟】
贝叶斯公式与全概率公式有何内在联系?
提示:每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式.而贝叶斯公式可以看作“已知结果求原因”,它可以帮助人们确定某结果(事件
B)发生的最可能原因.
【类题·通】
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果,
把A1,A2,…,An
…看作该过程的若干个原因,根据历史资料,每一原因发生的概率即P(An)已知,而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第
i个原因引起的概率,则用贝叶斯公式
(即求P(Ai|B)).
【习练·破】
用血清诊断肝癌,临床实践表明,患肝癌的病人中有95%试验呈阳性,也有2%的非肝癌患者化验呈阳性.若将此法用于人群肝癌普查,设人群中肝癌患病率0.2%,现某人在普查中化验结果呈阳性,求此人确患肝癌的概率.
【解析】设A:被化验者确患肝癌症,B:被化验者结果呈阳性,则
P(B|A)=0.95,P(B|
)=0.02,P(A)=0.002,
P(
)=1-P(A)=0.998,
P(A|B)=
=
≈0.087.
【加练·固】
已知5%的男人和0.25%的女人是色盲患者,现随机地选取一人,此人恰为色盲患者,此人是男人的概率是多少?(假设男人,女人各占人数的一半)
【解析】设A:选取的人患色盲,设B:选取的人是男人,则
:选取的人是女人,
依题意得,
P(B)=
,P(A|B)=0.05,P(
)=
,
P(A|
)=0.002
5.根据贝叶斯公式,所求概率为:
P(B|A)=
=
.
课堂检测·素养达标
1.第一个袋中有黑、白球各2只,第二个袋中有黑、白球各
3
只.先从第一个
袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.则第一、二次均取
到白球的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.记Ai:第i次取得白球,i=1,2,则P(A1)=
,
P(A2|A1)=
,由乘法公式求得,
P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=
.
2.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为
( )
A.0.6
B.0.85
C.0.868
D.0.88
【解析】选C.设B:从仓库中随机提出的一台是合格品,Ai:提出的一台是第i车
间生产的,i=1,2,
则有B=A1B∪A2B,由题意,
P(A1)=
,P(A2)=
,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,
由全概率公式P(B)=
P(A1)P(B|A1)+
P(A2)
P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率
为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为
________.?
【解析】设B:中途停车修理,A1:经过的是货车,A2:经过的是客车,则B=A1B∪A2B,
由贝叶斯公式有
P(A1|B)=
=
=0.8.
答案:0.8
4.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球.随机取一个袋
子,再从该袋中随机取一球,该球是红球的概率为________.?
【解析】记B:该球是红球,A1:取自甲袋,A2:取自乙袋,
已知P(B|A1)=
,
P(B|A2)=
,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=
.
答案:
【新情境·新思维】
五个阄,其中两个阄内写着“有”字,
三个阄内不写字
,五人依次抓取,问第一个人与第二个人抓到“有”字阄的概率是否相同?
【解析】设Ai表示“第i人抓到′有′字阄”的事件,
i=1,2,3,4,5.则P(A1)=
,
P(A2)=P(A1A2∪
A2)=P(A1A2)+P(
A2)
=P(A1)P(A2|A1)+P(
)P(A2|
)
=
.所以第一个人与第二个人抓到“有”字阄的概率相同.温馨提示：
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课时素养评价
九 乘法公式与全概率公式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.某厂的产品中有4%的废品,在100件合格品中有75件一等品,则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为
( )
A.0.21
B.0.72
C.0.75
D.0.96
【解析】选B.设A:任取的一件是合格品,
B:任取的一件是一等品,因为P(A)=1-P()=96%,P(A)=75%,
所以P(B)=P(AB)=P(A)P(A)=×=0.72.
2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5
盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A.0.08
B.0.1
C.0.15
D.0.2
【解析】选A.以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,
P=,P=,P=,
P=,P=,P=;
则由全概率公式,所求概率为
P=PP+PP+PP
=×+×+×=0.08.
3.如果在上题中已知取得的X光片是次品,则该次品是由甲厂生产的概率为
( )
A.0.085
B.0.226
C.0.625
D.0.815
【解析】选C.以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,
P=,P=,P=,
P=,P=,P=,
所以P=0.08,P
=
===0.625.
【加练·固】
设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占,今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号袋子中的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设Ai:取到第i号袋子,i=1,2,3,4,5.
B:取到白球,
由贝叶斯公式得P(A1)=
==.
4.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S
在病人中占60%.则
( )
A.任意一位病人有症状S
的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【解析】选ABC.P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,
P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,
P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)
=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
由贝叶斯公式得:
P(D1|S)===0.4,
P(D2|S)===0.45,
P(D3|S)===0.15.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为________,第三个人摸到中奖彩票的概率为________.?
【解析】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai
,
显然P(A1)=,而P(A2)=P[A2∩(A1∪)]
=P(A2∩A1)+P(A2∩)=P(A2A1)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×0+×=,
P(A3)=P[A3∩(A1A2+A1+A2+
)]
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)+
P(A3)=0+0+0+P(A3)
=P()P(|)P(A3|)=××=.
答案:
6.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则P(B)=________.?
【解析】由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,
且A1∪A2∪A3=Ω,
所以P(B)=P[B∩(A1∪A2∪A3)]=P(BA1)+
P(BA2)+P(BA3)
=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=
×+×+×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%、35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.
【解析】设A1:药材来自甲地,
A2:药材来自乙地,
A3:药材来自丙地,
B:抽到优等品;
P=0.4,P=0.35,P=0.25,
P=0.65,P=0.7,
P=0.85,
P=PP+PP
+PP
=0.65×0.4+0.7×0.35+0.85×0.25=0.717
5.
8.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为,求透镜落下三次未打破的概率.
【解析】以Ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B=
,所以P=P
=PPP
==.
(15分钟·30分)
1.(5分)某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为
( )
A.0.814
B.0.809
C.0.727
D.0.652
【解析】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,
P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)=
=0.9,P(A2)=0.4,
P(B|A2)=
≈0.809,
P(A3)=0.2,P(B|A3)=
≈0.727,P(A4)=0.1,
P(B|A4)=
≈0.652.由全概率公式,得
P(B)=P(Ai)P(B)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
2.(5分)某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由______车间生产的可能性最大
( )?
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
【解析】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间Ω中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,
P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=≈0.514,
P(A2|B)=≈0.200,
P(A3|B)=≈0.286,
所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.
3.(5分)盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为________.?
【解析】设A:第一次抽出的是黑球,B:第二次抽出的是黑球,
则B=AB+B,由全概率公式,
P(B)=P(A)P(BP()P(B,
由题意,
P(A)=,P(B|A)=,
P()=,P(B|)=,
所以P(B)=+=.
答案:
4.(5分)设盒中有m只红球,n只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次,则第一次,第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率为________.?
【解析】设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件,(i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有
P(R1R2
)
=P(R1)P(R2)P()P(R1R2)
=···.
答案:···
5.(10分)假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一个的人可能出现症状S=中一个或多个,其中:
S1=食欲不振
S2=胸痛
S3=呼吸急促
S4=发热
现从20
000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
d1
7
750
7
500
d2
5
250
4
200
d3
7
000
3
500
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
【解析】
以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,
P==0.387
5,P=
=0.262
5,
P==0.35,P=≈0.967
7,
P==0.8,P==0.5,
所以P=PP+PP
+PP=0.387
5×0.967
7
+0.262
5×0.8+0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式可得,
P==≈0.493
4,
P==
≈0.276
3,
P==
≈0.230
3.
从而推测病人患有疾病d1较为合适.
1.盒中放有12个乒乓球,其中9
个是新的.第1次比赛时从中选取3个来用,比赛后仍放回盒中,第2次比赛时再从盒中任取3个.则第2次取出的球都是新球的概率为________;如果第2次取出的球都是新球,则第1次取到的都是新球的概率为________.?
【解析】设Ai:第一次比赛时用了i个新球,i=0,1,2,3,B:第二次取出的球全是新球;
P=,P=,
所以P=PP≈0.146,
因为第二次取出的全是新球,
P=PP=·,
所以P=≈0.24.
答案:0.146 0.24
2.袋中有n个球,其中n-1个红球,1个白球.n个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放回袋中,求第i(i=1,2,…,n)人取到白球的概率.
【解析】设Ai表示“第i人取到白球”(i=1,2,…,n)的事件,显然P(A1)=.由A2?
,故A2=A2,
于是P(A2)=P(A2)=P()P(A2|)=·=.类似有P(A3)=P(
A3)
=P()P(|)P(A3|)=··=,…,
P(An)
=P(…An)=··…··1=,
因此第i个人(i=1,2,…,n)取到白球的概率与i无关,都是.
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