(共44张PPT)
4.1.3 独立性与条件概率的关系
事件A与B独立的充要条件
当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=_____,事实上,“A与B独立”也经
常被说成“A与B_________”.
必备知识·素养奠基
P(A)
互不影响
【思考】“A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)”,与“A与B独立的充要条件是
P(AB)=P(A)P(B)”矛盾吗?
提示:不矛盾.由条件概率公式P(A|B)=
,当P(AB)=P(A)P(B)时,有P(A|B)
=
=P(A).
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若事件A与事件B相互独立,且P(A)>0时,有P(B|A)=P(B).
( )
(2)若事件A与B相互独立,则B与
相互独立,
,
也相互独立.
( )
(3)如果两个事件是对立事件,那么它们一定是相互独立事件.
( )
提示:(1)√.
(2)×.事件B与
不是相互独立事件,是对立事件.
(3)×.相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,是以它们能够同时发生为前提;而对立事件首先应是互斥事件,是指不可能同时发生的两个事件.
2.一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球,这些球除颜色外完全相同,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则A1与A2是
( )
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
【解析】选A.事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响,故A1与A2是相互独立事件.
3.某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为0.4,如果甲答错,由乙答,答对的概率为0.5,则问题由乙答对的概率为
( )
A.0.2
B.0.8
C.0.4
D.0.3
【解析】选D.事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了,由相互独立事件同时发生的概率可知,概率为P=0.6×0.5=0.3.
关键能力·素养形成
类型一
相互独立事件的判断
【典例】(多选题)下列事件中,A,B是相互独立事件的是
( )
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
【思维·引】紧扣相互独立事件的概念与充要条件判断.
【解析】选AC.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先
后次序的影响,故A中A,B事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件
与B事件不相互独立;对于C,A事件为出现1,3,5点,P(A)=
,在事件B的条件下,
事件A发生的概率P(A|B)=
=
P(A),事件A,B相互独立;D中两事件是互斥事件,
不是相互独立事件.
【内化·悟】
如何区分互斥事件与相互独立事件?
提示:(1)两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
(2)一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
【类题·通】
两个事件是否相互独立的判断方法
(1)意义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
【习练·破】
从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,记事件A为“抽得K”,记事件B
为“抽得红牌”,则事件A与B是不是相互独立事件?
【解析】因为52张牌中有4张K,所以P(A)=
,红牌有26张,红K有2张,所以
在抽得红牌的条件下抽得K的概率P(A|B)=
=P(A),因此事件A与B相互独
立.
【加练·固】
甲、乙两名射击手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B
( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
【解析】选A.对同一目标射击,甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射击手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
类型二 相互独立事件同时发生的概率
【典例】2020年初,新型冠状病毒肺炎疫情肆虐全球,各国医疗科研机构都在
加紧研制疫苗.如果A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗
的概率分别是
.
求:(1)它们都研制出疫苗的概率;
(2)它们都失败的概率;
(3)只有A机构研制出疫苗的概率.
【思维·引】利用相互独立事件同时发生的概率公式求解.
【解析】令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功
研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且
P(A)=
,P(B)=
,P(C)=
.
(1)它们都研制出疫苗,即事件A,B,C同时发生,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
=
.
(2)它们都失败,即事件
同时发生.
故P(
)=P(
)P(
)P(
)
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=
.
(3)只有A机构研制出疫苗即事件A,
,
同时发生,
所以P=P(A)P(
)P(
)=
.
【内化·悟】
求相互独立事件同时发生的概率的步骤有哪些?
提示:(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
【类题·通】
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
(1)条件:各个事件是相互独立的,而且它们同时发生;
(2)公式:P(A1A2…Ai)=P(A1)P(A2)…P(Ai).
【习练·破】
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率.
【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;记B
表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件
“进入商场的1位顾客只购买甲商品”.
(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)易知D=(A
),则P(D)=P(A
)=P(A)·P(
)=0.5×0.4=0.2.
【加练·固】
某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑
(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为
,
,
,若对这三名短
跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大?
【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件
A,B,C相互独立,则P(A)=
,P(B)=
,P(C)=
.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率:
P3=(A∩B∩C)=P(A)·P(B)·P(C)=
.
(2)三人都不合格的概率:P0=(
∩
∩
)=P(
)·P(
)·P(
)=
.
(3)恰有两人合格的概率:
P2=P(A∩B∩
)+P(A∩
∩C)+P(
∩B∩C)
=
.恰有一人合格的概率
P1=1-P0-P2-P3=
.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
类型三 相互独立事件概率的综合问题
角度1 相互独立事件与互斥事件
【典例】掷三枚骰子,试求:
(1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率;
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率.
【思维·引】利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决.
【解析】记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A,B,C,由已知
A,B,C是相互独立事件,且P(A)=P(B)=P(C)=
.
(1)没有一枚骰子出现1点或6点,也就是事件A,B,C全不发生,即事件
,
所以所求概率为P(
)=P(
)×P(
)×P(
)=
.
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点,即A,B,C恰有一个发生,用符号表示为事件
A
+
B
+
C,
所求概率为P(A
+
B
+
C)=P(A
)+
P(
B
)+P(
C)=P(A)P(
)P(
)+P(
)P(B)P(
)+P(
)P(
)P(C)
=
.
【素养·探】
★本例考查相互独立事件概率的综合应用问题,同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例条件不变,求恰有两枚骰子出现1点或6点的概率.
【解析】记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A,B,C,由已知
A,B,C是相互独立事件,且P(A)=P(B)=P(C)=
.恰好有两枚骰子出现1点或6点,
即A,B,C恰有两个发生,用符号表示为事件A
B
+A
C
+
BC,所求概率为
P(AB
+A
C
+
BC)=P(AB
)+P(A
C)+P(
BC)
=P(A)P(B)P(
)+P(A)P(
)P(C)+P(
)P(B)P(C)
=
.
角度2 相互独立事件与对立事件
【典例】小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【思维·引】利用相互独立事件与对立事件的概率公式求解.
【解析】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则
P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P(
)=0.2,P(
)=0.3,P(
)=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为
P1=P(
BC)+P(A
C)+P(AB
)
=P(
)P(B)P(C)+P(A)P(
)P(C)+P(A)P(B)P(
)
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P(
)=1-P(
)P(
)P(
)
=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
【类题·通】
相互独立事件概率的综合问题的解题策略
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P(
)=1)简化问题,是求解
概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已
知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是
分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
【习练·破】
在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为
和
.在
同一时间内,求:
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”
为事件B.
(1)P(A∩B)=P(A)×P(B)=
.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P=1-P(
∩
)=1-P(
)×P(
)=
.
【加练·固】
甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”为事件Bi,依
题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi相互独立.
(1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件
∩
∩A3,且这三次试跳相互独立.
所以P(
∩
∩A3)=P(
)P(
)P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)=1-
P(
)P(
)=1-0.3×0.4=0.88.
(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0,1,2),“乙在两次试跳中成功
i次”为事件Ni(i=0,1,2),因为事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰
好多一次”可表示为M1∩N0+M2∩N1,且M1∩N0,M2∩N1为互斥事件,则所求的概率
为
P(M1∩N0+M2∩N1)=P(M1∩N0)+P(M2∩N1)
=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)
=
×0.7×0.3×0.42+0.72×
×0.6×0.4
=0.067
2+0.235
2=0.302
4.
所以甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302
4.
课堂检测·素养达标
1.若P(A|B)=
,P(A)=
,P(B)=
,则事件A与B的关系是
( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解析】选C.因为P(A|B)=P(A)=
,所以事件A与B相互独立.
2.已知事件A、B相互独立,且P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(A|B)=
( )
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.1
【解析】选C.因为事件A、B相互独立,所以P(A|B)=P(A)=0.4.
3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲,乙两人能荣获一等奖的
概率分别为
和
.甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有
一人获一等奖的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意,恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙不获奖或甲不获奖乙
获奖,
则其概率为
.
4.加工某零件需经过三道工序,每道工序均为正品时该零件才为正品.设第
一、二、三道工序的次品率分别为
,且各道工序互不影响,则加工出
来的零件的正品率为________.?
【解析】加工出来的零件的正品率为
.
答案:
【新情境·新思维】
四人打麻将,老张最后手中牌除了一张6筒和一张一万外,其他都已成牌,他下一张牌会摸到是4筒或5筒.如果听坎5筒和牌的概率是20%,听4,7筒和牌的概率是40%.请计算老张这手牌和牌的概率.(手牌中已有6筒,如果再摸到4筒,此时停牌叫听坎5筒.手牌中有6筒,如果再摸到5筒,此时停牌叫听4,7筒.)
【解析】有两种情况:(1)手中的牌有50%的概率摸到4筒,则打出一万,听坎5筒,有20%的概率和牌.摸到4筒与听坎5筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.5×0.2=0.1.
(2)手中牌有50%的概率摸到5筒,则打出一万,听4,7筒,有40%的概率和牌.摸到5筒与听4,7筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.5×0.4=0.2.
以上两种情况互斥,故老张这手牌和牌的概率为0.1+0.2=0.3.温馨提示：
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课时素养评价
十 独立性与条件概率的关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知事件A、B相互独立,且P=0.5,P=0.3,则P=
( )
A.0.7
B.0.5
C.0.3
D.0.2
【解析】选A.因为P=0.3,所以P=0.7,因为事件A、B相互独立,所以P=P=0.7.
2.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是( )
A.A与B
B.A与C
C.B与C
D.都不具有独立性
【解析】选ABC.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,
P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),
P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
3.如图,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的可靠性为
( )
A.0.054
B.0.994
C.0.496
D.0.06
【解析】选B.记三个开关都正常工作分别为事件A,B,C,则P(A)=0.9,
P(B)=0.8,P(C)=0.7.三个开关同时出现故障的事件为∩∩,则此系统正常工作的概率为P=1-P(∩∩)=1-P()P()P()=1-0.1×0.2×0.3=0.994.
4.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于
( )
A.2个球都不是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,
则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,
所以1-P()P()=1-×=,可知C正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.?
【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,
则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10=0.98.
答案:0.98
6.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球.从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为________.?
【解析】设从甲袋中任取一个球,事件A为“取得白球”,则事件为“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件B为“取得白球”,则事件为“取得红球”.因为事件A与B相互独立,所以事件与相互独立.所以从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为P((A∩B)∪(∩))=P(A∩B)+P(∩)
=P(A)P(B)+P()P()=×+×=.
答案:
【加练·固】
甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是________.?
【解析】两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,
则P(AB)=P(A)P(B)=×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A:一个家庭中既有男孩又有女孩,B:一个家庭中最多有一个女孩.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩.
【解析】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个样本点,由等可能性知概率都为.
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个样本点的概率均为,这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
8.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过.
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
求:(1)该应聘者用方案一考试通过的概率;
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.
【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.
(1)应聘者用方案一考试通过的概率为
P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75.
(2)应聘者用方案二考试通过的概率为
P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)
=×0.5×0.6+×0.6×0.9+×0.5×0.9=0.43.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,则P(B)等于
( )
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【解析】选A.因为A,B是相互独立事件,
所以,B和A,均相互独立.
因为P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,
所以P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,
所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,解得P(B)=0.3.
2.(5分)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设Ai(i=1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜,B事件表示甲队获得冠军.
方法一:B=A1+A2,故P(B)=P(A1)+
P()P(A2)=+×=.
方法二:P(B)=1-P(
)=1-P()P()
=1-×=.
3.(5分)荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是________.?
【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条:按A→B→C→A,P1=××=;第二条:按A→C→B→A,P2=××=,所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.
答案:
4.(5分)事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________,?P(B)=________.?
【解析】因为P(AB)=P(AB)P()=P()=,所以P()=,即P(C)=.又P(C)=P()·P(C)=,所以P()=,P(B)=.又P(AB)=,则P(A)=,所以P(B)=P()·P(B)=×=.
答案:
5.(10分)已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率;
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮?
【解析】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5),那么5门高炮都未击中敌机的事件为····.
因为事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立,所以敌机未被击中的概率为P(····)=P()·
P()·P()·P()·P()=(1-0.2)5=.所以敌机未被击中的概率为.
(2)需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中,可得敌机被击中的概率为1-,
所以令1->0.9,所以<,
两边取常用对数,得n>≈10.3.
因为n∈N
,所以n=11.所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
1.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
2.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=×=,P(A1)=2××=,
P(A2)=×=,
P(B0)=×=,
P(B1)=2××=.
所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=.
(2)所求概率P′=1-=.
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