(共42张PPT)
4.2 随
机
变
量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
1.随机变量的概念
必备知识·素养奠基
概念
一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样
本点,变量X都对应有唯一确定的_______,就称X为一个随机变量.
表示
随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示.
取值
随机变量的取值由随机试验的_____决定.
取值
范围
随机变量_______________组成的集合,称为这个随机变量的取值
范围.
分类
离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列举出来.
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间,不能一一列举出来.
实数值
结果
所有可能的取值
【思考】
随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的?
提示:随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果,试验的结果对应着随机变量的值,即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.
2.随机变量与事件的关系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示
事件,而且:
(1)当a≠b时,事件X=a与X=b_____;
(2)事件X≤a与X>a_________,因此
P(X≤a)+P(X>a)=1.
互斥
相互对立
【思考】
若a,b都是任意实数,随机变量X
提示:都表示事件,相互对立关系.
3.随机变量之间的关系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变
量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此_________________.
P(X=t)=P(Y=at+b)
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)随机变量的取值只能是有限个.
( )
(2)试验之前不能判断离散型随机变量的所有值.
( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量.
( )
提示:(1)×.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.
(2)×.试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.
(3)√.
2.在掷一枚质地均匀的骰子试验中,“出现的点数”是一个随机变量,它有________个取值
( )?
A.2
B.4
C.6
D.7
【解析】选C.因为掷一枚质地均匀的骰子试验中,所有可能结果有6个,故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个.
3.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y( )
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量
C.可能是定值
D.一定是离散型随机变量
【解析】选D.若X是离散型随机变量,根据随机变量之间的关系,则Y必是离散型随机变量.
关键能力·素养形成
类型一 随机变量的概念
【典例】(1)投掷一枚1元硬币一次,随机变量为
( )
A.掷硬币的次数
B.出现正面向上的次数
C.出现正面向上或反面向上的次数
D.出现正面向上与反面向上的次数之和
(2)(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是
( )
A.马六甲海峡某天经过的轮船数X;
B.某超市5月份每天的销售额X;
C.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ;
D.江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.
【思维·引】紧扣概念,根据题意情景判断.
【解析】(1)选B.投掷一枚1元硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是0,1.而A项中掷硬币的次数就是1,不是随机变量;C项中的标准模糊不清;D项中出现正面向上和反面向上的次数的和必是1,对应的是必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量.
(2)选AB.A选项中轮船数X的取值可以一一列出,故X为离散型随机变量;B选项中某超市5月份每天销售额X可以一一列出,故为离散型随机变量;C选项中实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量;D选项中水位在(0,29]这一范围内变化,无法一一列出,故不是离散型随机变量.
【内化·悟】
随机变量与离散型随机变量相同吗?区别是什么?
提示:不相同,离散型随机变量是随机变量的一种,它的取值可以一一列举出来.
【类题·通】
离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示;
(2)试验之前可以判断其出现的所有值;
(3)在试验之前不能确定取何值;
(4)试验结果能一一列出.
其中,前三项是随机变量的特征.
【习练·破】
10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
( )
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率
【解析】选C.A中取到产品的件数是一个常量,不是变量,B、D也是一个定值.而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.
【加练·固】
①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;
②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;
③测量一批电阻,阻值在950～1
200
Ω之间的记为X;
④一个在数轴上随机运动的质点,它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是
( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.①②④
【解析】选A.①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而③④中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.
类型二 随机变量的取值及其表示的事件
角度1 随机变量的取值与表示的事件
【典例】某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为X,则“X=5”表示的事件是
( )
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
【思维·引】利用随机变量的取值与随机事件的结果关系解题.
【解析】选C.击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为X=5,则说明前4次均未击中目标.
【素养·探】
★本例考查随机变量的取值所表示的事件,同时考查了数学抽象的核心素养.
本例条件不变,则“X=4”表示的事件为____________,“X=4”与“X=5”表示的事件的关系是________.?
【解析】因为击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为X,所以“X=4”表示事件前3次未击中目标,第4次击中目标,“X=5”表示前4次均未击中目标,故两事件是互斥事件.
答案:前3次未击中目标,第4次击中目标 互斥
角度2 求随机变量表示事件的概率
【典例】在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得0分,设一名同学回答这三个问题的总得分为X.
(1)求X的取值范围;
(2)若已知这名同学不得分的概率为0.06,能得满分的概率为0.43,求不得0分与不得满分的概率.
【思维·引】利用随机变量表示的事件与互斥事件的概率公式解决.
【解析】这名同学可能回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为300分,200分,100分,0分.
(1)所以X的取值范围是{300,200,100,0}.
(2)因为事件X>0为“不得0分”,X<300为“不得满分”,所以X=0与X>0是对立事件,X=300与X<300是对立事件,
又P(X=0)=0.06,P(X=300)=0.43,
所以P(X>0)=1-
P(X=0)=1-0.06=0.94;
P(X<300)=
1-P(X=300)=1-0.43=0.57.
【类题·通】
随机变量的取值及表示的事件问题的关注点
(1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
(3)求概率的公式:互斥事件与对立事件的概率公式.
【习练·破】
(1)射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分用ξ表示,已知P(ξ=0)=0.3,求P(ξ=1).
【解析】ξ可能取值为0,1,当ξ=0时,表明该射手在本次射击中没有击中目标;当ξ=1时,表明该射手在本次射击中击中目标,这两个事件是对立的,所以P(ξ=1)=1-P(ξ=0)=0.7.
(2)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,写出所需要的取球次数;可能的取值及每个取值所表示的事件.
【解析】设所需的取球次数为X,则
X=1,2,3,4,…,10,11,
X=i表示前i-1次取到红球,第i次取到白球,这里i=1,2,…,11.
【加练·固】
某人参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1
000元,3
000元,6
000元的奖品(不重复设奖),用X表示此人所获奖品的价值,写出X的所有可能取值及每个值所表示的事件.
【解析】X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
X=0,表示第一关就没有通过;
X=1
000,表示第一关通过,而第二关没有通过;
X=3
000,表示第一、二关通过,而第三关没有通过;X=6
000,表示三关都通过.
类型三 随机变量之间的关系问题
【典例】一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,
每抽到一个白球加5分,抽到白球的个数为X,抽到黑球不加分,且最后不管结果
如何都加上6分,最终得分为Y.
(1)求X的取值范围;
(2)求最终得分Y的可能取值;
(3)若P(X>2)=
,求P(Y
16
).
【思维·引】找出X与Y的关系,进而解决问题.
【解析】(1)由题意得,X可能的取值为0,1,2,3,
所以X的取值范围是{0,1,2,3}.
(2)由题意可得Y=5X+6,而X可能的取值为0,1,2,3,所以Y对应的值为
5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.即Y的可能取值为6,11,16,21.显然,Y为离散
型随机变量.
(3)因为X>2,所以Y=5X+6>16,
所以P(Y>16)=P(X>2)=
,
所以P(Y
16)=1-
P(Y>16)=1-
=
.
【内化·悟】
本例随机变量X与Y有怎样的关系?
提示:X与Y虽然是两个随机变量,但是它们之间的关系是确定的(即Y=5X+6),当X的值确定之后,Y的值也就确定了;反之亦然.
【类题·通】
两个随机变量关系问题的关注点
(1)衍生关系:若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b∈R,a≠0)也是随机变量.
(2)相等关系:P(X=t)=P(Y=at+b).
【习练·破】
已知随机变量X的取值范围是{-1,0,1},且Y=X-1,则Y的取值范围是____________.?
【解析】因为随机变量X的取值范围是{-1,0,1},且Y=X-1,所以-1-1=-2,0-1=-1,1-1=0,所以Y的取值范围是{-2,-1,0}.
答案:{-2,-1,0}
【加练·固】
把下表补充完整
【解析】因为当X=2时,Y=2X-3=1,所以P(X=2)=P(Y=1)=0.3;因为当X=4时,Y=2X-3=5,所以
P(Y=5)=P(X=4)=0.7.
答案:0.3 0.7
课堂检测·素养达标
1.下列变量中,不是随机变量的是
( )
A.一射击手射击一次命中的环数
B.标准状态下,水沸腾时的温度
C.抛掷两颗骰子,所得点数之和
D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
【解析】选B.水沸腾时的温度是一个确定值,不是随机变量,其他都是随机变量.
2.已知随机变量Y=2X,且P(X=1)=0.1,则P(Y=2)=
( )
A.0.1
B.0.2
C.0.4
D.无法确定
【解析】选A.因为随机变量Y=2X,当X=1时,Y=2,所以P(Y=2)=
P(X=1)=0.1.
3.抛掷两枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的事件是
( )
A.一枚是3点,一枚是1点
B.两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点
【解析】选D.ξ=4可能出现的结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点.
4.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球,以X表示取出的球的最大号码,则“X=6”表示的事件的样本点是________________________________.?
答案:(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)
【新情境·新思维】
抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能的取值为
( )
A.0≤ξ≤5,ξ∈N
B.-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C.1≤ξ≤6,ξ∈N
D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
【解析】选D.ξ的所有可能取值为-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,即
-5≤ξ≤5,ξ∈Z.温馨提示：
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课时素养评价
十一 随机变量及其与事件的联系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码.现在在有放回的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是
( )
A.5
B.9
C.10
D.25
【解析】选B.两个球的号码之和可为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
【加练·固】
从标有1～10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有
( )
A.10个
B.15个
C.17个
D.19个
【解析】选C.X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9,…,19,共有17个.
2.已知P(X=-2)=0.2,P(X=2)=0.3,随机变量Y=X2,则P(Y=4)=
( )
A.0.2
B.0.3
C.0.5
D.0.06
【解析】选C.由题意,事件Y=4是X=-2与X=2的并事件,所以P(Y=4)=
P(X=-2)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5.
3.(多选题)下列问题中的X是离散型随机变量的是
( )
A.某座大桥一天经过的中华轿车的车辆数X
B.某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X
C.一天内的温度X
D.射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射手在一次射击中的得分
【解析】选ABD.根据离散型随机变量的概念,ABD选项是离散型随机变量.
4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)的值是
( )
A.0
B.
C.
D.1
【解析】选C.因为1次试验的成功次数为0或1,故X可能取值有两种,即0,1.又“成功率是失败率的2倍”,所以P(X=1)=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.掷一枚质地均匀的骰子,设朝上的点数为随机变量X,则P(X>4)=________.?
【解析】事件X>4表示点数朝上的为5点或6点,所以P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)=+=.
答案:
6.一个人要开房门,他共有10把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为X,则“X=6”表示的事件为______________.?
【解析】X可能取值为1,2,3,…,10.
X=n表示第n次能打开房门.
答案:第6次能打开房门
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.写出下列随机变量的可能值,并说明随机变量的取值表示的事件.
(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件,其中次品的件数X;
(2)在2019年北京大学的自主招生中,参与面试的5名考生中,通过面试的考生人数X;
【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
X=0,表示“抽取的4件产品中有0件次品”;
X=1,表示“抽取的4件产品中有1件次品”;
X=2,表示“抽取的4件产品中有2件次品”;
X=3,表示“抽取的4件产品中有3件次品”;
X=4,表示“抽取的4件产品中有4件次品”.
(2)X可能取值0,1,2,3,4,5,
X=i表示面试通过的有i人,其中i=0,1,2,3,4,5.
8.盒中有9个正品和3个次品零件,每次从中取一个零件,如果取出的是次品,则不再放回,直到取出正品为止,设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值;
(2)写出X=1所表示的事件;
(3)求X=1的概率.
【解析】(1)X可能取的值为0,1,2,3.
(2)X=1表示的事件为第一次取得次品,第二次取得正品.
(3)P(X=1)==.
(15分钟·30分)
1.(5分)随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,…,n,若P(ξ<4)=0.3,则
( )
A.n=3
B.n=7
C.n=10
D.不能确定
【解析】选C.因为随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,…,n,所以P=由题意,
P=P+P+P==0.3,所以n=10.
2.(5分)已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概率如表,则a+2b=
( )
X
1
2
P(X)
0.4
0.6
Y=aX+b
4
7
P(Y)
0.4
0.6
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.P(X=1)=P(Y=4),所以a+b=4,①
P(X=2)=P(Y=7),所以2a+b=7,②
由①②得,a=3,b=1,所以a+2b=5.
3.(5分)一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字,只记得最后三个数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨电话,设他拨到所要号码时拨的次数为X,则随机变量X的可能取值共有________个.?
【解析】后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有=24种,故X的取值为1,2,3,…,24.
答案:24
4.(5分)甲进行3次射击,记甲击中目标的次数为ξ,则ξ的取值范围为________;若已知甲一次也未中的概率为0.05,则他至少击中一次的概率为________.?
【解析】甲可能在3次射击中,一次也未中,也可能中1次,2次,3次,故ξ的可能取值为0,1,2,3,所以ξ的取值范围为{0,1,2,3}.
因为甲一次也未中的概率为0.05,即P(ξ=0)=0.05,所以P(ξ>0)=1-0.05=0.95.
答案:{0,1,2,3} 0.95
5.(10分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.
(1)求X的取值范围;
(2)写出每一个取值X表示的事件;
(3)求P(X=3).
【解析】(1)因为x,y可能取的值为1,2,3,
所以|x-2|=0,1,|x-y|=0,1,2,所以X=0,1,2,3,
所以X的取值范围为{0,1,2,3}.
(2)用(x,y)表示第一次抽到卡片的号码为x,第二次抽到卡片的号码为y,则随机变量X取各值的意义为:X=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2);
X=1表示(1,1)(2,1)(2,3)(3,3);
X=2表示(1,2)(3,2);X=3表示(1,3)(3,1).
(3)由(2)知,P(X=3)=.
1.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数,则“ξ=6”表示的试验结果有________种.?
【解析】“ξ=6”表示前5局中胜3局,第6局一定获胜,共有·=20种.
答案:20
2.投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数之和是偶数为Y.(1)求P;(2)求P.
【解析】(1)样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点,所得点数之和为X,则X的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},
“X=6”表示的事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,所以P=.
(2)所得点数和为偶数的样本空间Ω={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),
(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),
(5,1),(5,3),(5,5),
(6,2),(6,4),(6,6)},共18个样本点,所得点数之和是偶数为Y,则Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12},
“Y=6”表示的事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,所以P=.
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