(共41张PPT)
4.2.2 离散型随机变量的分布列
必备知识·素养奠基
1.离散型随机变量的分布列
(1)定义:一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果
对任意k∈{1,2,…,n},概率____________都是已知的,则称X的概率分布是
已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,
这个表称为X的概率分布或分布列.
(2)性质
①pk___0,k=1,2,3,…,n;②p1+p2+…+pn=__.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
≥
1
【思考】
通过随机变量的分布列,你能得到哪些信息?
提示:(1)随机变量的所有可能取值;
(2)取每一个值的概率的大小.
2.两点分布与伯努利试验
(1)两点分布:如果随机变量X的分布列为
则这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布).
(2)伯努利试验:一个所有可能结果只有_____的随机试验,通常称为
伯努利试验.
两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的p也常被称为_________.
X
1
0
P
p
____
1-p
两种
成功概率
【思考】
(1)服从两点分布的随机变量X的取值范围均为{1,0}吗?
提示:是的.
(2)为什么两点分布也常称为伯努利分布?
提示:因为伯努利试验的结果只有两种,如果将其分别看成“成功”与“不成功”,并设“成功”出现的概率为p,则伯努利试验中“成功”出现的次数X服从参数p的两点分布.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.
( )
(2)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为1.
( )
(3)在两点分布中,事件0与事件1是相互独立的.
( )
提示:
(1)×.因为分布列中的每个随机变量所代表的随机事件,并非都是
等可能发生的事件.
(2)√.由分布列的性质可知,该说法正确.
(3)×.在两点分布中,事件0与事件1是不能同时发生,是对立事件.
2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则常数a的值为
( )
A.0
B.0.4
C.0.6
D.1
【解析】选C.根据两点分布概率的特点知,a=1-0.4=0.6.
X
0
1
P
a
0.4
3.随机变量η的分布列如下:
则P(η=3)=________.?
【解析】由离散型随机变量的分布列可知,P(η=3)=0.3.
答案:0.3
η
1
2
3
4
5
6
P
0.1
0.05
0.3
0.2
0.12
0.23
关键能力·素养形成
类型一 离散型随机变量的分布列及其性质
【典例】设随机变量X的分布列P(X=i)=
(i=1,2,3),则k=________;
P(X≥2)=________.?
【思维·引】利用分布列的性质求k值,再根据事件X≥2的含义求概率.
【解析】由已知得随机变量X的分布列为
所以
+
+
=1,所以k=
.所以
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
+
=
.
答案:
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P
【内化·悟】
利用分布列及其性质解题时要注意哪些问题?
提示:(1)X的各个取值表示的事件是互斥的.
(2)不仅要注意
pi=1,而且要注意pi≥0,i=1,2,…,n.
【类题·通】
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)求参数的取值或范围;
(2)求随机变量在某个范围内取值的概率;
(3)验证分布列是否正确.
【习练·破】
已知离散型随机变量X的分布列为
则k的值为________,若n=5,则P(X<3)=________.
X
1
2
3
…
n
P
…
【解析】
由
+
+…+
=1,得
=1,即k=1.
当n=5时,P(X=1)=P(X=2)=
,所以P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=
.
答案:1
【加练·固】
设随机变量X的分布列为P(X=i)=
(i=1,2,3,4),
求(1)P(X=1或X=2);
(2)P
【解析】
(1)因为
pi=
+
+
+
=1,
所以a=10,
则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=
+
=
.
(2)由a=10可得P
=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=
+
+
=
.
类型二
两点分布
【典例】在一次购物抽奖活动中,在10张奖券中有一等奖奖券1张,二等奖
奖券3张,其余6张没有奖品.某顾客从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数
X的分布列.
【思维·引】其结果有中奖和不中奖两种,可利用两点分布求解.
【解析】抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有0和1两种
情况.P(X=1)=
=
=
,则P(X=0)=1-P(X=1)=1-
=
.
因此X的分布列为
X
0
1
P
【内化·悟】
两点分布的结果有什么特点?
提示:两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0.
【类题·通】
两点分布的关注点
(1)判断方法:
①看取值:随机变量只取两个值0和1.
②验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
(2)特别情况:有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,可以利用两点分布来研究.
【习练·破】
袋中有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=
求随机变量X的分布列.
【解析】由题意知,X服从两点分布,P(X=0)=
=
,
所以P(X=1)=1-
=
.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
【加练·固】
已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,
若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.
【解析】由题意知,X服从两点分布,
P(X=0)=
=
,
所以P(X=1)=1-
=
.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
类型三 求离散型随机变量的分布列
角度1 求η=f(ξ)型的分布列
【典例】已知随机变量ξ的分布列为
分别求出随机变量
=
ξ,
=
的分布列.
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
【思维·引】由ξ不同取值,求得
η2的取值,再根据随机变量概率间的
关系,写出概率,列出分布列.
【解析】由η1=
ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别
为-1,-
,0,
,1,
,
所以η1的分布列为
由
=
知,对于ξ的不同取值-2,2及-1,1,
分别取相同的值4与1,即
取4这
个值的概率应是ξ取-2与2的概率
与
的和,
取1这个值的概率应是ξ取
-1与1的概率
与
的和,所以
的分布列为
η1
-1
-
0
1
P
η2
0
1
4
9
P
【素养·探】
★本例考查分布列的求法,同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例条件不变,求随机变量
-1的分布列.
【解析】当ξ的取值是-1,1,
-1的取值是0,其概率是
与
的和,当ξ
的取值是-2,2,
-1的取值是1,其概率是
与
的和.
所以
-1的分布列为
-1
-1
0
1
2
P
角度2 实际问题中求分布列
【典例】植树节当天,甲、乙两组各四名同学的植树棵数如表所示,
现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列.
学生序号
甲组
乙组
1
2
3
4
1
2
3
4
棵数
9
9
11
11
9
8
9
10
【思维·引】先列出Y所有可能的取值,再确定Y的每一个取值所对应的概率,最后写出随机变量Y的分布列.
【解析】由题中表格可知,甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11;乙组同学的
植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4
=16种可能的结果,这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事
件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,
所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=
=
.
同理可得P(Y=18)=
;P(Y=19)=
;P(Y=20)=
;P(Y=21)=
.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
【类题·通】
求离散型随机变量分布列的关注点
(1)关键:搞清ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识
求出ξ取每一个值的概率.
(2)技巧:
①对于随机变量ξ取值较多时,应由简单情况先导出一般的通式,从而简化
过程.
②要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可验证分布列
是否正确.
【习练·破】
一袋中装有5个球,编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球,以X表示取出3个球中的最小号码,写出随机变量X的分布列.
【解析】随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X=1时,即取出的3个球中最小号码为1,则其他2个球只能在编号为2,3,4,5
的4个球中取,故有P(X=1)=
=
=
;当X=2,即取出的3个球中最小号码为2,
则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取,故有P(X=2)=
=
,
当X=3时,即取出的3个球中最小号码为3,则其他2个球只能是编号为4,5的2个
球,故有P(X=3)=
=
.因此,X的分布列为
X
1
2
3
P
【加练·固】
为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:
毫克),测量数据如下:
如果产品中的微量元素x,y满足x≥177且y≥79时,该产品为优等品.
现从上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的分布列.
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
【解析】由题意可得5件抽测品中有2件优等品,
则X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=
=0.3,P(X=1)=
=0.6,
P(X=2)=
=0.1.
所以2件产品中优等品数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
课堂检测·素养达标
1.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是
( )
A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从有5名种子选手,3名非种子选手中选1人,是否选出种子选手为随机变量X
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
【解析】选A.A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布,其他可以.
2.下列表中能成为随机变量X的分布列的是
( )
A.
B.
C.
D.
X
-1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
X
1
2
3
P
0.4
0.7
-0.1
X
-1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.5
【解析】选C.选项A、D不满足分布列的概率和为1,选项B不满足分布列的概率为非负数.
3.若离散型随机变量X的分布列为
则a=________.?
【解析】由分布列的性质可知2a+3a=1,解得a=
.
答案:
X
0
1
P
2a
3a
4.已知随机变量ξ的分布列为
设η=ξ2
-2ξ,则P(η=3)=________.?
【解析】由题意,可知P(η=3)=P(ξ=-1)+P(ξ=3)=
+
=
.
答案:
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
【新情境·新思维】有一个公用电话亭,观察使用过电话的人的流量时,设在
某一时刻,有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n),且P(n)与时刻
t无关,统计得到P(n)=
那么P(0)的值为________.
【解析】由题意得P(1)=
P(0),P(2)=
P(0),P(3)=
P(0),
P(4)=
P(0),P(5)=
P(0),P(n≥6)=0,所以1=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(n≥6)=
P(0)
=
P(0),所以P(0)=
.
答案:温馨提示：
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课时素养评价
十二 离散型随机变量的分布列
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
( )
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列,知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,
P(X<2)=0.8,则当P(X2.若随机变量X的分布列为:P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a=1,所以a=.
所以P=P(X=1)+P(X=2)=+=a=×=.
3.抛掷两颗骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据题意,有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两颗骰子,按所得的点数共36个基本事件,而X=2对应(1,1),X=3对应(1,2),(2,1),X=4对应(1,3),(3,1),(2,2),
故P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==,所以P(X≤4)=++=.
4.设随机变量X的分布列如表,则P(|X-3|=1)=
( )
X
1
2
3
4
P
m
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.根据随机变量X的分布列知,+m++=1,解得m=.又|X-3|=1,所以X=2或X=4,则P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一批产品的次品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量X来描述次品出现的情况,即X=0表示抽取的一个产品为合格品,X=1表示抽取的一个产品为次品,则X的分布列为
X
0
1
P
a
b
则a=________,b=________.?
【解析】X=0表示抽取的一个产品为合格品,概率为95%,即a=;X=1表示抽取的一个产品为次品,概率为5%,即b=.
答案:
6.已知随机变量η的分布列如表:
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2
则x=________;P(η>3)=________;P(1<η≤4)=________.?
【解析】由分布列的性质得0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得x=0.1;P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45;
P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)=0.1+0.25+0.1=0.45.
答案:0.1 0.45 0.45
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求:(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.
【解析】由分布列的性质知:
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X+1
1
3
5
7
9
|X-1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为
(1)2X+1的分布列为:
2X+1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X-1|的分布列为:
|X-1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
8.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码.
(1)求X的分布列;(2)求X的取值不小于4的概率.
【解析】(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==,
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++=.
(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)设X是一个离散型随机变量,则下列能成为X的分布列的一组数据是
( )
A.0,,0,0,
B.0.1,0.2,0.3,0.4
C.p,1-p(0≤p≤1)
D.,,…,
【解析】选ABC.根据离散型随机变量的分布列中,概率和为1判断.
对于A,0++0+0+=1,满足题意;
对于B,0.1+0.2+0.3+0.4=1,满足题意;
对于C,p+(1-p)=1,满足题意;
对于D,++…+=1-+-+…+-=1-=≠1,不满足题意.
2.(5分)若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为
( )
X
0
1
2
3
P
a
b
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由分布列性质可知a+b=,而a2+b2≥=,当且仅当a=b=时取等号.
3.(5分)由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失,以□代替,其表如下:
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是________.?
【解析】因为X取偶数值时的概率为P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=0.10+0.10+0.20=0.40.
故X取奇数值的概率为1-0.40=0.60.
答案:0.6
4.(5分)设随机变量X只能取5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的概率均相同,则P(X>8)=________;?P(6【解析】X有12个值且取每个值的概率相同,则取每个值的概率为.于是P(X>8)=P(X=9)+P(X=10)+…+P(X=16)=8×=,P(6P(X=7)+P(X=8)+…+P(X=14)=8×=.
答案:
5.(10分)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数字2,3,4,5;另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片,其上面的数记为x,再从另一个盒子里任取一张卡片,其上面的数记为y,记随机变量η=x+y,求η的分布列.
【解析】依题意,η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.则有P(η=5)==,
P(η=6)==,P(η=7)=,
P(η=8)==,P(η=9)=,
P(η=10)==,P(η=11)=.
所以η的分布列为:
η
5
6
7
8
9
10
11
P
1.已知随机变量ξ只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是
( )
A.
B.
C.[-3,3]
D.[0,1]
【解析】选B.设随机变量ξ取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d,
则由分布列的性质得(a-d)+a+(a+d)=1,
故a=,由解得-≤d≤.
2.在学校组织的足球比赛中,某班级要与其他4个班级各赛一场,在这4场比赛的任意一场中,此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后,该班级胜场多于负场.
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和;
(2)若胜场次数为X,求X的分布列.
【解析】(1)若胜一场,则其余为平,共有=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有+=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有×2=8种情况;若胜四场,则只有一种情况.综上,共有31种情况.
(2)X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
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