(共50张PPT)
4.2.3 二项分布与超几何分布
1.独立重复试验与二项分布
(1)n次独立_____试验
在相同条件下重复n次伯努利试验,约定这n次试验是_________的,此时这n次
伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
必备知识·素养奠基
重复
相互独立
(2)二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立
重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且
P(X=k)=_________(k=0,1,2,…,n),因此X的分布列如下表所示
由于表中的第二行中的概率值都是二项展开式(q+p)n=
+
+…
+
+…+
中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,
记作__________。
X
0
1
…
k
…
n
P
…
…
X～B(n,p)
【思考】
(1)独立重复试验需要满足什么条件?
提示:①每次试验的条件相同;
②每次试验是相互独立的;
③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
(2)二项分布中各个参数的意义分别是什么?
提示:n表示试验的总次数;k表示在n次独立重复试验中成功的次数;p表示试验成功的概率;1-p表示试验不成功的概率.
2.超几何分布
一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品件数X是___________________,
X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于
乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-（N-M)）,
而且P(X=k)=
,k=t,t+1,…,s,X称为服从参数为N,n,M的超几何分布,
记作____________。
一个离散型随机变量
X～H(N,n,M)
【思考】
超几何分布概率公式有何特点?
提示:分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标,分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二项分布的参数是N,n,M,超几何分布中的参数是n,p.
( )
(2)n次独立重复试验的结果可以有多种.
( )
(3)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.
( )
提示:(1)×.二项分布的参数是n,p,超几何分布中的参数是N,n,M.
(2)×.n次独立重复试验的结果只有两种.
(3)√.由超几何分布的概念可知.
2.设8件产品中有2件次品,现从中抽取4件,则
表示( )
A.4件产品中有2件次品的概率
B.4件产品中有1件次品的概率
C.4件产品中有2件正品的概率
D.4件产品中有1件正品的概率
【解析】选B.根据超几何分布的定义可知
表示从2件次品中任选1件,
表示从6件正品中任选3件.
3.已知随机变量X服从二项分布,X～B
,则成功概率为________.?
【解析】由二项分布参数的意义知,成功概率为
.
答案:
关键能力·素养形成
类型一 n次独立重复试验与二项分布
角度1 n次独立重复试验与二项分布概念的理解
【典例】下列随机变量X不服从二项分布的是
( )
A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数
D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
【思维·引】先判断是否是独立重复试验,再判断试验结果是否是只有两个.
【解析】选B.选项A:试验出现的结果只有两个,点数为6和点数不为6,且点数为
6的概率在每一次试验中都为
,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项
分布;选项B:虽然每一次试验的结果只有两个,且每一次试验都是相互独立的,
且概率不发生变化,但随机变量X的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;
选项C:甲、乙获胜的概率一定,且和为1,进行5次比赛,相当于进行了5次独立
重复试验,故X服从二项分布;选项D:由二项分布的定义可知,X～B(n,0.3).
【素养·探】
★本例考查对n次独立重复试验与二项分布概念的理解,同时考查了数学抽象
的核心素养.
在本例选项A中,求P(X=2).
【解析】由题意,X～B
,
所以P(X=2)=
=
.
角度2 求独立重复试验的概率与二项分布的分布列
【典例】1.某电子管正品率为
,次品率为
,现对该批电子管进行测试,
设第X次首次测到正品,则P(X=3)等于
( )
A.
×
B.
×
C.
×
D.
×
【解析】选C.X=3表示“第3次首次测到正品,而前两次都没有测到正品”,
故其概率为
×
.
2.在一次物理考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在
其中选做一题.若4名考生选做这两题的可能性均为
.
(1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.
【思维·引】
(1)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决;
(2)利用二项分布公式解决.
【解析】(1)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、
乙2名考生选做同一道题的事件为“AB+
”且事件A、B相互独立.
所以P(AB+
)=P(A)P(B)+P(
)P(
)
=
×
+
×
=
.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B
.所以
P(ξ=k)=
=
(k=0,1,2,3,4).
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
【类题·通】
解决二项分布问题的关注点
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次
试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行
了n次.
(2)当X服从二项分布时,应弄清X～B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
(3)对于公式P(X=k)=
(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重
复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.
【习练·破】
1.任意抛掷三枚硬币,恰有2枚正面朝上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.抛一枚硬币,正面朝上的概率为
,则抛三枚硬币,恰有2枚正面
朝上的概率为P=
×
=
.
2.已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为
,某植
物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,
如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的分布列;
(2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的
概率.
【解析】(1)由题意,随机变量X可能取值为0,1,2,3,
则X～B
.即P(X=0)=
=
,
P(X=1)=
=
,
P(X=2)=
=
,
P(X=3)=
=
.
所以X的分布列为
(2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,
每次试验又是相互独立的,因此所求概率为
P=
×
=
.
X
0
1
2
3
P
【加练·固】
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载
有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
,用X表示这5
位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量X的分布列.
【解析】可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,相当于做了5次独立
重复试验,故X～B(5,
),P(X=0)=
=
,
P(X=1)=
=
,
P(X=2)=
=
,
P(X=3)=
=
,
P(X=4)=
=
,
P(X=5)=
=
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
类型二 超几何分布
【典例】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量X的分布列;
(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.
【思维·引】
(1)用古典概型的概率公式求解;
(2)用超几何分布公式求解;
(3)根据题意,用互斥条件的概率公式求解.
【解析】(1)方法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,
则P(A)=
=
.
方法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出
的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.
因为P(B)=
=
,所以P(A)=1-
=
.
(2)由题意知,X所有可能的取值是2,3,4,5,
P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
,
P(X=4)=
=
,P(X=5)=
=
.
所以随机变量X的分布列为
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C,
则P(C)=P(X=3)+P(X=4)=
+
=
.
X
2
3
4
5
P
【内化·悟】
求超几何分布的分布列的关键是什么?
提示:关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值,分清其
公式中M,N,n的值,然后代入公式即可求出相应取值的概率,最后写出分布列.
【类题·通】
解决超几何分布问题的两个关注点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
【习练·破】
某高二数学兴趣小组有7位同学,其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞
赛.若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3位同学中
参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数X的分布列.
【解析】由题意知,随机变量X服从超几何分布,其中N=7,M=4,n=3,
则P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(X=2)=
=
,
P(X=3)=
=
.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
【加练·固】
现有来自甲、乙两班学生共7名,从中任选2名都是甲班的概率为
.
(1)求7名学生中甲班的学生数;
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X,求X的分布列,并求所选2名中甲班学生数不少于1名的概率.
【解析】(1)设甲班的学生数为M,由题意得,
整理得M2-M-6=0,解得M=3或M=-2(舍去).即7名学生中,甲班有3名.
(2)由题意知X服从参数N=7,M=3,n=2的超几何分布,其中X的所有可能取值
为0,1,2.
P(X=k)=
(k=0,1,2),
即P(X=0)=
=
=
,
P(X=1)=
=
=
,P(X=2)=
=
=
.
所以X的分布列为
由分布列知P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=
+
=
.即所选2名中甲班学生数
不少于1名的概率为
.
X
0
1
2
P
类型三 几种分布问题的综合应用 【典例】在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.
(1)若从10件产品中任意抽取1件,求抽到一等品件数ξ的分布列;
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件.每次抽取后都放回,设取到一等品的件数为η,求η的分布列;
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件,每次抽取后都不放回,设取到一等品的件数为X,求①X的分布列;
②抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
【思维·引】先确定取值情况,再求概率,列表写出分布列.注意不放回抽取与放回抽取的区别.
【解析】(1)随机变量ξ的取值为0,1,
P(ξ=1)=
,则P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=1-
=
.
因此ξ的分布列为
ξ
0
1
P
(2)若每次抽取后都放回,则每次抽到一等品的概率均为
,3次抽取可以看成
3次独立重复试验,因此η～B
,
所以
因此η的分布列为
η
0
1
2
3
P
(3)①若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了
3件,因此一等品件数X服从参数10,3,3的超几何分布,即X～H(10,3,3),所以从
10件产品中任取3件,其中恰有m件一等品的概率为P(X=m)=
,m=0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
②设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1
件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取
出3件一等品”为事件A3.由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,
因为P(A1)=
=
,P(A2)=P(X=2)=
,P(A3)=P(X=3)=
,所以
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
+
+
=
.即取出的3件产品中一等品的
件数多于二等品的件数的概率为
.
【内化·悟】
求分布列要注意哪些方面问题?
提示:(1)认真审题,确定分布列的类型;
(2)弄清参数的取值;(3)正确运用公式求解.
【类题·通】
几种分布的特点及关系
(1)两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题,超几何分布的实际原型是不放回抽样问题.
【习练·破】
盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随
机依次取出2个球,则放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________,
不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________.
【解析】若放回抽取,设取得红球的个数为X,
则X～B
,取出2个颜色不同的球即事件“X=1”,
所以P(X=1)=
×
×
=
.若不放回抽取,设取得红球的个数为Y,则
Y～H(5,2,3),所以取到的2个球颜色不同的概率P=
=
.
答案:
【加练·固】
袋子中有8个白球,2个黑球,从中随机地连续抽取三次,求有放回时,取到黑球个数X的分布列.
【解析】取到黑球个数X的可能取值为0,1,2,3.
由于每次取到黑球的概率均为
,
那P(X=0)=
·
=
,P(X=1)=
·
=
,
P(X=2)=
·
=
,P(X=3)=
·
=
.
故X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
课堂检测·素养达标
1.某地人群中高血压的患病率为p,由该地区随机抽查n人,则
( )
A.样本患病率服从B(n,p)
B.n人中患高血压的人数X服从B(n,p)
C.患病人数与样本患病率均不服从B(n,p)
D.患病人数与样本患病率均服从B(n,p)
【解析】选B.由二项分布的定义知B正确
2.(多选题)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,如下变量中服从超几何分布的是
( )
A.X表示取出的最大号码;
B.X表示取出的最小号码;
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分;
D.X表示取出的黑球个数.
【解析】选CD.由超几何分布的概念知CD符合.
3.已知随机变量X服从二项分布,X～B
,则P(X=2)等于________.?
【解析】P(X=2)=
=
.
答案:
4.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到
1瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)?
【解析】所求概率P=1-
=
.
答案:
【新情境·新思维】
计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中
A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为
,出现1的概率为
.
记X=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,则X=3的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.已知a1=1,要使X=3,只需后四位数中出现2个1和2个0,
所以P(X=3)=
=
.温馨提示：
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课时素养评价
十三 二项分布与超几何分布
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列说法正确的是
( )
A.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且X～B(10,0.6)
B.某福彩的中奖概率为p,某人一次买了8张,中奖张数X是一个随机变量,且X～B(8,p)
C.从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X～B
D.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,取出好的螺丝钉的只数X为随机变量,且X～H(10,4,7)
【解析】选ABD.A,B显然满足独立重复试验的条件,而C虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义.D显然满足超几何分布的条件.
【加练·固】
下列事件是独立重复试验的是
( )
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击10次5次击中目标
【解析】选D.AC符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;D是独立重复试验.
2.从一批含有13件正品,2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取出的产品中无次品的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设随机变量X表示取出次品的件数,
则P(X=0)==.
3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队的实力之比为3∶2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为
( )
A.×
B.×
C.×
D.×
【解析】选A.甲打完4局才胜,说明在前三局中甲胜两局,且在第4局中获胜,其概率为P=××=×.
4.一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.则这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设这名学生在途中遇到红灯的次数为X,
则X～B,
所以P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,5.
至少遇到一次红灯的概率为
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设X～B(4,p),且P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p等于________.?
【解析】P(X=2)=p2(1-p)2=,
即p2(1-p)2===·,解得p=或p=.
答案:或
6.已知两名射击运动员的射击水平:甲击中目标靶的概率是0.7,乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次,则
(1)甲恰好击中目标靶2次的概率是________;?
(2)两名运动员都恰好击中目标靶2次的概率是________.(结果都保留两位有效数字)?
【解析】由题意,甲向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.7,乙向目标靶射击1次,击中目标靶的概率为0.6,两人射击均服从二项分布.
(1)甲向目标靶射击3次,恰好击中2次的概率是×0.72×(1-0.7)≈0.44.
(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次,恰好都击中2次的概率是[×0.72×(1-0.7)]×[×0.62×(1-0.6)]≈0.19.
答案:(1)0.44 (2)0.19
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加,其中有5名男同学,3名女同学,为了活动的需要,要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务,记其中有X名男同学.
(1)求X的分布列;
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.
【解析】(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X=k)=,k=0,1,2,3,算出其相应的概率.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率P=P(X=1)+P(X=2)=+=.
8.在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.
【解析】(1)油罐被引爆的对立事件为油罐没有被引爆,没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为··+=,所以所求的概率为1-=.
(2)当X=4表示前3次中只有一次击中,第四次击中,
则P(X=4)=···=,
当X=5时,表示前4次射击只击中一次或一次也未击中,第5次可以击中,也可以不击中,
则P(X=5)=··+=,
所以所求概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+=.
(15分钟·30分)
1.(5分)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有
( )
A.2本
B.3本
C.4本
D.5本
【解析】选C.设语文书n(n≥2)本,
则数学书有(7-n)本.则2本都是语文书的概率为=,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(n=-3舍去).
2.(5分)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为
( )
A.××
B.××
C.××
D.××
【解析】选B.由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为××.
3.(5分)设某10件产品中含有a件次品,从中任取7件产品,其中含有的次品数为X,若X的可能取值中的最小值为2,则a=________.?
【解析】取出的7件产品中,要使所含的次品数最少,只需将(10-a)件正品都取出,然后再取2件次品即可,故(10-a)+2=7,解得a=5.
答案:5
4.(5分)设随机变量ξ～B(2,p),η～B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=
________.?
【解析】P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,所以p=,所以P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)3=.
答案:
【加练·固】
设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y=2)=________.?
【解析】由P(X≥1)=得P(X<1)=P(X=0)=,即p0(1-p)2=,所以p=,
所以P(Y=2)=··=3××=.
答案:
5.(10分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的占60%,参加过计算机培训的占75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列.
【解析】(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,则事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是P()=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1.
所以该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布ξ～B(3,0.9),P(ξ=k)=0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
1.如果X～B,Y～B,那么当X,Y变化时,下面关于P(X=xk)=P(Y=yk)成立的(xk,yk)的个数为________.?
【解析】根据二项分布的特点可知,(xk,yk)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个.
答案:21
2.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同,现依次从中摸出5个球,规定摸到4个红球,1个白球的就中一等奖.
(1)若摸出后放回,求中一等奖的概率;
(2)若摸出后不放回,
①求中一等奖的概率;
②若至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.(结果都保留4位小数)
【解析】(1)若摸出后放回,设摸到白球的个数为ξ,
则ξ～B,中一等奖即事件“ξ=1”,
所以P(ξ=1)==.
(2)①若以30个球为一批产品,其中红球为不合格产品,随机抽取5个球,X表示取到的红球数,则X服从超几何分布(N=30,
n=5,
M=10),由公式得P(X=4)==≈0.029
5,
所以获一等奖的概率约为0.029
5.
②根据题意,设随机变量X表示“摸到红球的个数”,
则X服从超几何分布(N=30,n=5,M=10).
X的可能取值为0,1,2,3,4,5,根据公式可得至少摸到3个红球的概率为:
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++≈0.191
2,故中奖的概率约为0.191
2.
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