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课时素养评价
十四 离散型随机变量的均值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列说法不正确的是
( )
A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化
B.随机变量的均值反映样本的平均水平
C.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4
D.随机变量X的均值E(X)=
【解析】选ABD.A错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.B错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正确,由均值的性质可知.D错误,因为E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
2.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则某人三次上班途中遇红灯的次数X的期望为
( )
A.0.4
B.1.2
C.0.43
D.0.6
【解析】选B.因为途中遇红灯的次数X服从二项分布,即X～B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2.
3.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.设袋中有M个白球,从中任取2个球,取出白球的个数为X,则X～H(7,2,M),
所以E(X)==,所以M=3.
4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,ξ表示甲车床生产1
000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1
000件产品中的次品数,经一段时间考察,ξ,η的分布列分别是:
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定
( )
A.甲比乙质量好
B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同
D.无法判定
【解析】选A.E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,
E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.
因为E(η)>E(ξ),故甲比乙质量好.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则
E(X)=________,?a=________.?
【解析】E(X)=1×+2×+3×=.
因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2.
解得a=-3.
答案: -3
【加练·固】
已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=,ξ的分布列如表:
ξ
0
1
2
3
P
a
b
则a=________.?
【解析】E(ξ)==0×a+1×+2×+3b?b=,
又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1?a+++=1?a=.
答案:
6.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是________元.?
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)
=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).设利润为η,
则η=5ξ+1.6×(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,
所以E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).
答案:706
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X,求X的概率分布列及数学期望E(X).
【解析】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,
那么P(C)=1-P()=1-·p=.解得p=.
(2)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
故P(X=0)==,P(X=1)=×=,P(X=2)=×=,
P(X=3)==.
所以随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
故随机变量X的数学期望:
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
8.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如表所示:
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为=1
225,选出2人使用版本相同的方法数为+++=350,故2人使用版本相同的概率为P==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)=0×+1×+2×==.
(15分钟·30分)
1.(5分)今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为ξ,则E(ξ)=
( )
A.0.765
B.1.75
C.1.765
D.0.22
【解析】选B.设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件,ξ的可能取值为0、1、2.
P(ξ=0)=P(·)=P()·P()
=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.
P(ξ=1)=P(A·+·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22.
P(ξ=2)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.85=0.765.
所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
2.(5分)(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表:
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率,则
( )
A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,其首次出现故障发生在保修期内的概率为
B.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,则E(X1)=2.86(万元)
C.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E(X2)=2.99(万元)
D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车
【解析】选BD.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==.
依题意得,X1的分布列为
X1
1
2
3
P
E(X1)=1×+2×+3×==2.86(万元),
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).
因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.
3.(5分)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表:
t
1
2
3
P(ξ=t)
?
!
?
请小牛同学计算ξ的数学期望
,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________.?
【解析】设“?”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以期望E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=4x+2y=2.
答案:2
4.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为________.?
【解析】依题意,知ξ的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)==,
故E(ξ)=2×+4×+6×=.
答案:
5.(10分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【解析】(1)由已知得小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=.所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知得X1～B,X2～B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=.
所以E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.
因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果某人决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,则在一年内他参加驾照考试次数X的均值为________.?
【解析】X的取值分别为1,2,3,4.X=1,表明此人第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6.X=2,表明此人在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
X=3,表明此人在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
X=4,表明此人第一、二、三次考试都未通过,故
P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
所以他一年内参加考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
答案:1.544
2.小明家住C区,他的学校在D区,从家骑自行车到学校的路有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.
(1)若走L1路线,求至少遇到1次红灯的概率;
(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.
【解析】(1)方法一:设“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件A,则P(A)=××+××+××=,
所以走L1路线,至少遇到一次红灯的概率为.
方法二:设“走L1路线没有遇到红灯”为事件A,则“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件,
故P(A)==××=,
所以P()=1-P(A)=1-=,
所以走L1路线,至少遇到一次红灯的概率为.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=×=,
P(X=1)=×+×=,
P(X=2)=×=.随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)=×0+×1+×2=.
(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,Y～B,所以E(Y)=3×=2>E(X),所以应选择L2路线.
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4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
1.离散型随机变量的均值
(1)定义:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如表所示:
必备知识·素养奠基
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
则称E(X)=_________________________为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
x1p1+x2p2+…+xnpn=
xipi
(2)意义:它刻画了离散型随机变量X的_________.
(3)性质:如果X和Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=________.
平均取值
aE(X)+b
【思考】
离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗?
提示:不相同.离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化.
2.常见的几种分布的数学期望
名称
两点分布
二项分布
超几何分布
公式
E(X)=__
E(X)=___
E(X)=_____
p
np
【基础小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.
( )
(2)随机变量的均值相同,则两个分布也一定相同.
( )
(3)若X服从两点分布,则E(X)=np.
( )
提示:(1)×.离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性.
(2)×.两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立.
(3)×.若X服从两点分布,则E(X)=p.
2.若随机变量X的分布列为
则E(X)=
( )
A.0
B.-1
C.-
D.-
【解析】选C.E(X)=
(-1)×
+0×
+1×
=-
.
3.设E(X)=10,则E(3X+5)=________.?
【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.
答案:35
关键能力·素养形成
类型一 离散型随机变量的均值公式及性质
【典例】已知随机变量X的分布列如表:
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
【思维·引】(1)利用分布列的性质求解;
(2)利用均值的公式求解;
(3)利用均值的性质求解.
【解析】(1)由随机变量分布列的性质,得
解得m=
.
(2)E(X)=(-2)×
+(-1)×
+0×
+1×
+2×
=-
.
(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,
得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×
【类题·通】
对于aX+b型的随机变量求均值的方法
(1)利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;
(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.
【习练·破】
1.(2020·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一
个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=________;
E(ξ)=________.?
【解析】由题知,随机取出红球的概率为
,随机取出绿球的概率为
,
随机取出黄球的概率为
,
ξ的取值情况共有0,1,2,P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
所以E(ξ)=1×
答案:
1
2.已知随机变量X的分布列如表:
若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,则a的值为________.?
【解析】由随机变量分布列的性质,得
+
+m=1,
解得m=
E(X)=
(-1)×
+0×
+1×
=
.
因为E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=
a+3=5,所以a=15.
答案:15
类型二 求常见的几种分布的均值
角度1 两点分布与二项分布的均值
【典例】某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
【思维·引】(1)利用两点分布求解.
(2)利用二项分布的均值公式求解.
【解析】(1)投篮1次,命中次数X的分布列如表:
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,
即Y～B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3.
【素养·探】
★本例考查求两点分布与二项分布的均值,同时考查了数学建模与数学运算
的核心素养.
本例题干不变,(2)改为“重复5次投篮时,命中次数为Y,命中一次得3分”,
求5次投篮得分的均值.
【解析】由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,
即Y～B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3.设投篮得分为变量η,则η=3Y.
所以E(η)=E(3Y)=3E(Y)=3×3=9.
角度2 求超几何分布的均值
【典例】有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于
( )
【思维·引】先确定分布类型,可以求出分布列后再求均值,也可以直接利用超几何分布的均值公式求解.
【解析】选A.方法一:P(X=0)=
,P(X=1)=
,
P(X=2)=
.所以E(X)=1×
方法二:由题意知X服从N=10,M=3,n=2的超几何分布,则E(X)=
【类题·通】
求常见的几种分布的均值的关注点
(1)关键:根据题意准确判断分布类型;
(2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得期望.
【习练·破】
盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池.
(1)若无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及期望;
(2)若有放回地每次取一节电池检验,求检验4次取到好电池次数Y的数学期望.
【解析】(1)由题意,X可取的值为1,2,3,则P(X=1)=
,
P(X=2)=
,P(X=3)=
抽取次数X的分布列为
E(X)=1×
+2×
+3×
=1.5.
(2)由题意,每次检验取到好电池的概率均为
,
故Y～B
,则E(X)=4×
【加练·固】
已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望E(X).
【解析】(1)由题意得X取3,4,5,6,
且P(X=3)=
,P(X=4)=
P(X=5)=
,P(X=6)=
所以X的分布列为
(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=
.
类型三 均值的实际应用
【典例】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
7.5万元
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.
【思维·引】(1)先列出基地收益X的分布列,再求基地收益X的均值即可;
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,求出Y的均值,与X的均值比较即可.
【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,
由题意知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,
P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,
所以基地收益X的分布列为
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,
则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a,
综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.
【内化·悟】
想一想,现实生活中的哪些问题可以用期望进行估计?
提示:均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的期望来进行估计.
【类题·通】
均值实际应用问题的解题策略
首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,并根据期望的大小作出判断.
【习练·破】甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数,已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示.
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).
【解析】(1)由题图乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,
P(X乙=10)=0.35.
所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,
所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.
P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.
(2)因为E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,
E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,
则有E(X甲)>E(X乙),所以估计甲的水平更高.
【加练·固】
购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在
购买保险的一年度内出险,则可以获得10
000元的赔偿金.假定在一年度内有
10
000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一
年度内至少支付赔偿金10
000元的概率为1-0.999
.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50
000元,为保证盈利
的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【解析】各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10
000人
中出险的人数为ξ,则ξ～B(104,p).
(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10
000元赔偿金,则
发生当且
仅当ξ=0,P(A)=1-P(
)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)
,
又P(A)=1-0.999
,故p=0.001.
(2)该险种总收入为104a元,支出是赔偿金总额与成本的和.
支出:104ξ+5×104,盈利:η=104a-(104ξ+5×104),
由ξ～B(104,10-3),知E(ξ)=10,
E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-105-5×104.
由E(η)≥0?104a-105-5×104≥0?a-10-5≥0?a≥15.故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
课堂检测·素养达标
1.若随机变量X～B(5,0.8),则E(X)的值为
( )
A.0.8
B.4
C.5
D.3
【解析】选B.因为X～B(5,0.8),所以E(X)=5×0.8=4.
2.若随机变量X～H(8,2,3),则E(X)的值为
( )
A.
B.
C.
D.无法确定
【解析】选C.因为X～H(8,2,3),所以E(X)=
3.若离散型随机变量X的分布列为
( )
则X的数学期望E(X)=
( )
A.2
B.2或
C.
D.1
【解析】选C.因为分布列中概率和为1,所以
=1,即a2+a-2=0,
解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=
.
4.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X的均值E(X)=________.?
【解析】这是100次独立重复试验,X～B
,
所以E(X)=100×
=
.
答案:
【新情境·新思维】
如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,
经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值
E(X)=
( )
【解析】选B.由题意知X=0、1、2、3,P(X=0)=
,P(X=1)=
,
P(X=2)=
,P(X=3)=
,所以E(X)=0×温馨提示：
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课时素养评价
十五 离散型随机变量的方差
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
a
则下列式子正确的是
( )
A.P(X=0)=
B.a=
C.E(X)=-
D.D(X)=
【解析】选ABC.由分布列可知,P(X=0)=,a=1--=,E(X)=(-1)×+0×+1×=
-;D(X)=×+×+×=.
2.设随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
若Y=2X+2,则D(Y)等于
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意知,E(X)=-1×+0×+1×=-,
故D(X)=×+×+×=,
D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×=.
3.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为
( )
A.E(X)=0,D(X)=1
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=0,D(X)=
D.E(X)=,D(X)=1
【解析】选A.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的分布列为
X
1
-1
P
0.5
0.5
所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,
D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.
4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,则
( )
A.ξ的所有取值是1,2,3
B.P(ξ=1)=
C.E(ξ)=1
D.D(ξ)=1
【解析】选BCD.ξ的所有可能取值为0,1,3,ξ=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,
则P(ξ=0)==;ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了,则P(ξ=1)==;
ξ=3表示三位同学全坐对了,即对号入座,
则P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
E(ξ)=0×+1×+3×=1.
D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为________.?
【解析】事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.
答案:0.5
6.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=________.?
【解析】由题意得,随机变量X的可能取值为6,9,12.
P(X=6)==,P(X=9)==,
P(X=12)==,则E(X)=6×+9×+12×=7.8,
D(X)=×(6-7.8)2+×(9-7.8)2+×(12-7.8)2=3.36.
答案:3.36
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根据天气预报,明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率是0.3,有中雨的概率是0.5.问:明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少?
【解析】用X表示明天发一辆车的盈利,由题意知
P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5,
所以E(X)=230×0.2+163×0.3+90×0.5=
139.9(元).
所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元.
方差D(X)=(230-139.9)2×0.2+(163-139.9)2×0.3+(90-139.9)2×0.5
=3
028.69,
标准差=≈55.
所以方差和标准差各是3
028.69,55.
8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求X的分布列、均值及方差;
(2)求Y的分布列、均值及方差.
【解析】(1)X的可能值为0,1,2.若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=0)==,
同理,有P(X=1)==,P(X=2)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
D(X)=×+×+×=.
(2)Y的可能值为1,2,3,显然X+Y=3.
P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=,
P(Y=3)=P(X=0)=.所以Y的分布列为
Y
1
2
3
P
所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-=,D(Y)=(-1)2D(X)=.
(20分钟·40分)
1.(5分)某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为
( )
A.
B.3
C.
D.2
【解析】选A.因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,
所以可看成3次独立重复试验,
即X～B,则X的方差D(X)=3××=,所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6,所以Y的标准差为=.
2.(5分)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A.
B.
C.3
D.
【解析】选C.
x1,x2满足
解得或
因为x13.(5分)已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,
D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为________,________,
________.?
【解析】由题意知,-p1+p3=0.1,
1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89.
又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.
答案:0.4 0.1 0.5
4.(5分)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球,则两球恰好颜色不同的概率为________,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白球的个数的方差为________.?
【解析】“有放回摸取”可看作独立重复试验,
每次摸出一球是白球的概率为p==.
所以“有放回摸两次,颜色不同”的概率为××=.“不放回抽取”时,设摸出白球的个数为X,依题意得P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==.
所以E(X)=0×+1×+2×=,
D(X)=×+×+×=.
答案:
5.(10分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”
因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288;
P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=·0.63=0.216,则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,
方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
6.(10分)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
【解析】(1)由题意得:0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)1.某种种子每粒发芽的概率是90%,现播种该种子1
000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的方差是
( )
A.90
B.180
C.270
D.360
【解析】选D.由题意可知播种了1
000粒,没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ～B(1
000,0.1).而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,故X=2ξ,故方差为D(X)=D(2ξ)=22·D(ξ)=4×1
000×0.1×0.9=360.
2.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.
【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(2)f(x)=D+D
=D(Y1)+D(Y2)=[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3×1002).
所以当x==75时,f(x)取最小值3.
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第2课时 离散型随机变量的方差
1.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:如果离散型随机变量X的分布列如表所示
必备知识·素养奠基
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
因为X的均值为E(X),所以D(X)=____________________________________
=_________________称为离散型随机变量X的方差,一般地,
称为离散
型随机变量X的标准差.
(2)意义:离散型随机变量的方差和标准差都刻画离散型随机变量相对于均值
的_________(或_________).
(3)性质:D(aX+b)=______.
离散程度
波动大小
a2D(X)
【思考】离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系?
提示:(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;
(2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.
2.两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n,p)
D(X)
_______
(其中p为成功概率)
________
p(1-p)
np(1-p)
【基础小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.
( )
(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.
( )
(3)若a是常数,则D(a)=0.
( )
提示:(1)×.离散型随机变量的方差越小,随机变量越稳定.
(2)×.单位不同,方差的单位是随机变量单位的平方;标准差与随机变量本身有相同的单位.
(3)√.离散型随机变量的方差刻画离散型随机变量相对于均值的波动大小.
2.已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于
( )
A.0.7
B.0.61
C.-0.3
D.0
【解析】选B.E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
3.已知随机变量X,D(X)=
,则X的标准差为________.?
【解析】X的标准差
答案:
关键能力·素养形成
类型一 随机变量的方差及其性质
【典例】已知X的分布列如表:
(1)计算X的方差;
(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【思维·引】利用分布列的性质求出a值,再利用方差公式及性质求解.
【解析】由分布列的性质,知
+
+a=1,故a=
.
所以X的均值E(X)=(-1)×
+0×
+1×
=-
.
(1)X的方差D(X)=
(2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
【内化·悟】
本例(2)计算随机变量Y的均值与方差时,除了应用均值与方差的性质公式外,还有其他方法吗?
提示:有,还可以根据随机变量X的分布列,求出随机变量Y的分布列,再利用均值与方差公式求解.
【类题·通】
方差性质应用的关注点
(1)公式:D(aX+b)=a2D(X);
(2)优势:既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,又避免了涉及大数的计算,从而简化了计算过程.
【习练·破】
已知随机变量X的分布列为:
若E(X)=
.
(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求
的值.
【解析】由分布列的性质,得
+p=1,解得p=
,
因为E(X)=0×
+1×
+
x=
,所以x=2.
(1)D(X)=
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,
所以
【加练·固】
已知η的分布列为
(1)求方差及标准差;
(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).
【解析】(1)因为E(η)=0×
+10×
+20×
+50×
+60×
=16,
所以D(η)=(0-16)2×
+(10-16)2×
+(20-16)2×
+(50-16)2×
+(60-16)2×
=384,所以
(2)因为Y=2η-E(η),
所以D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1
536.
类型二 求实际问题中随机变量的方差
角度1 定义法求方差
【典例】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差.
【思维·引】先列出随机变量X的分布列,再用定义求出方差即可.
【解析】由题意,X的可能取值为0,1,2,
P(X=k)=
,k=0,1,2.X的分布列为:
所以X的均值为E(X)=0×
+1×
+2×
=1.
所以X的方差为D(X)=(0-1)2×
+(1-1)2×
+(2-1)2×
=
.
【素养·探】
★本例考查求随机变量的方差,同时考查数学建模与数学运算的核心素养.
本例条件不变,若设随机变量Y表示所选3人中男生的人数,求Y的方差.
【解析】由题意知,Y的可能取值为1,2,3,
P(Y=k)=
,k=1,2,3,
Y的分布列为:
所以Y的均值为:E(Y)=1×
+2×
+3×
=2.
所以Y的方差为:
D(Y)=(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
=
.
角度2 两点分布与二项分布的方差
【典例】1.某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的
方差为________.?
2.为防止风沙危害,某地政府决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某
人一次种植了n株沙柳,已知各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设X
为成活沙柳的株数,已知E(X)=3,D(X)=
,则n=________,p=________.?
【思维·引】根据题意,确定分布类型,再利用公式求解.
【解析】1.依题意知:X服从两点分布,
所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16.
答案:0.16
2.由题意知,X服从二项分布B(n,p),
由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=
,
得1-p=
,所以p=
,n=6.
答案:6
【类题·通】
1.求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,由期望的定义求出E(X);
(4)根据公式计算方差.
2.如果能判断随机变量服从什么分布,则直接代入相应的公式求解方差.
【习练·破】
一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗,假设他在各交通岗遇到
红灯这一事件是相互独立的,并且概率是
.
(1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差;
(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间Y的期望与方差.
【解析】(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布,
且X～B
,所以E(X)=6×
=2,
D(X)=6×
(2)由已知得Y=30X,
所以E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1
200.
【加练·固】
某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差;
(2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.
【解析】(1)用ξ表示抽得的正品数,则ξ=0,1.
ξ服从两点分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,
所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019
6.
(2)用X表示抽得的正品数,则X～B(10,0.98),
所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196,
标准差为
≈0.44.
类型三 方差的实际应用问题
【典例】以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为:
X1(甲得分)
0
1
2
P(X1=xi)
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P(X2=xi)
0.3
0.3
0.4
欲从甲、乙两运动员中选一人参加2021年东京夏季奥运会,你认为选派哪位运动员参加较好?
【思维·引】可以先比较两运动员的平均得分(即均值),再比较两运动员的稳定性,即方差,由此决定派谁.
【解析】由题意,E(X1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,
E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.
所以E(X1)=E(X2).
D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,
D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,所以D(X1)所以甲运动员的技术好一些,应选派甲参加.
【内化·悟】
解答方差的实际应用问题时常采用比较的方法,是对哪些量进行比较的?
提示:比较两个随机变量的均值和方差.
【类题·通】
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量
取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据方差的意义做出结论.
【习练·破】
有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如表:
ξ
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
η
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好.
【解析】E(ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(η)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(ξ)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×
(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(η)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×
(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,
由于E(ξ)=E(η),D(ξ)课堂检测·素养达标
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=
,k=3,6,9,则D(X)等于
( )
A.6
B.9
C.3
D.4
【解析】选A.E(X)=3×
+6×
+9×
=6.
D(X)=(3-6)2×
+(6-6)2×
+(9-6)2×
=6.
2.设一随机试验的结果只有A和
且P(A)=m,令随机变量ξ=
则ξ的方差D(ξ)等于
( )
A.m
B.2m(1-m)
C.m(m-1)
D.m(1-m)
【解析】选D.随机变量ξ服从两点分布,所以D(ξ)=m(1-m).
3.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值
E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计
( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
【解析】选B.因为D(X甲)>D(X乙),所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
4.设随机变量X～B
,则D(X)=________.?
【解析】因为X～B
,所以D(X)=4×
答案:
【新情境·新思维】
设10≤x1随机变量ξ2取值
的概率也均为0.2,若记
D(ξ1),D(ξ2)分别为ξ1,ξ2的方差,则
( )
A.D(ξ1)>D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
【解析】选A.由题意可知E(ξ1)=E(ξ2),又由题意可知,ξ1的波动性较大,从而有D(ξ1)>D(ξ2).
