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课时素养评价
十六 正
态
分
布
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2),在一次正常的试验中,取1
000个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为
( )
A.7
B.10
C.3
D.6
【解析】选C.因为P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997,所以不属于区间(μ-3σ,μ-3σ)内的零件个数约为1
000×(1-0.997)=3.
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)≈0.683,则P(X>4)=
( )
A.0.158
8
B.0.158
65
C.0.158
6
D.0.158
5
【解析】选D.由于X服从正态分布N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为x=3,所以P(X>4)=P(X<2),
故P(X>4)=≈=0.158
5.
【加练·固】
已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=
( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
【解析】选C.如图,
正态分布的概率密度函数图像关于直线x=2对称,
所以P(ξ<2)=0.5,并且P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4),
则P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3.
3.(多选题)下列可以作为正态分布概率密度函数的是(其中μ∈(-∞,+∞),
σ>0)( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
【解析】选ACD.对于A,f(x)=,
由于μ∈(-∞,+∞),所以-μ∈(-∞,+∞),故它可以作为正态分布概率密度函数;对于B,若σ=1,
则应为f(x)=,若σ=,则应为f(x)=,均与所给函数不相符,故它不能作为正态分布概率密度函数;对于C,它是当σ=,μ=0时的正态分布概率密度函数;对于D,它是当σ=时的正态分布概率密度函数.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10
000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为
( )
A.2
386
B.2
718
C.3
415
D.4
772
附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ
P(μ-2σ【解析】选C.由P(-15,则阴影部分的面积约为0.341
5,故估计落入阴影部分的点的个数为10
000×≈3
415.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设离散型随机变量ξ～N(0,1),则P(ξ≤0)=______;P(-2<ξ<2)=______.?
【解析】因为标准正态曲线的对称轴为x=0,
所以P(ξ≤0)=P(ξ>0)=.而P(-2<ξ<2)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954.
答案: 0.954
6.一批灯泡的使用时间X(单位:小时)服从正态分布N(10
000,4002),则这批灯泡使用时间在(9
200,10
800]内的概率是________.?
【解析】由题知,μ=10
000,σ=400,所以P(9
200800)
=P(10
000-2×400000+2×400)≈0.954.
答案:0.954
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X～N(90,100).
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?
(2)若这次考试共有2
000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
【解析】因为X～N(90,100),所以μ=90,σ==10.
(1)由于X在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954,而该正态分布中,
μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.954.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
由于变量X在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.683,所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0.683,一共有2
000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2
000×0.683≈1
366(人).
8.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其概率密度函数图像如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度函数的表达式.
(2)求此地农民工年均收入在8
000～8
500元之间的人数所占的百分比.
【解析】设农民工年均收入X～N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8
000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布的概率密度函数表达式为φμ,σ(x)==,x∈(-∞,+∞).
(2)因为P(7
500500)=P(8
000-500000+500)≈0.683,
所以P(8
000500)
=P(7
500500)≈0.341
5≈34.15%.
即农民工年均收入在8
000～8
500元之间的人数所占的百分比约为34.15%.
(20分钟·45分)
1.(5分)某厂生产的零件外径X～N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9
cm,9.3
cm,则可认为
( )
A.上午生产情况正常,下午生产情况异常
B.上午生产情况异常,下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
【解析】选A.因为测量值X为随机变量,
又X～N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,
记I=(μ-3σ,μ+3σ)=(9.4,10.6),
则9.9∈I,9.3?I.
2.(5分)(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72( )
A.μ=80
B.σ=4
C.P(X>64)=0.977
D.P(645
【解析】选ACD.因为正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80;因为P(72因为P(μ-2σ且P(X<64)=P(X>96),
所以P(X<64)≈×(1-0.954)=×0.046
=0.023,所以P(X>64)=0.977;
因为P(X≤72)=(1-P(72=×(1-0.683)=0.158
5,
所以P(6464)-P(X>72)
=0.977-(1-0.158
5)=0.135
5.
3.(5分)为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1
000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,4),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58
kg小于等于62
kg属于正常情况,则这1
000名男生中属于正常情况的人数约为
( )
A.997
B.954
C.819
D.683
【解析】选D.由题意可知μ=60,σ=2,故P(58≈0.683,从而属于正常情况的人数约为1
000×0.683=683.
4.(5分)随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.841
3,则P(-1<ξ≤0)=________.?
【解析】如图所示,因为P(ξ≤1)=0.841
3,
所以P(ξ>1)=1-0.841
3=0.158
7,
所以P(ξ≤-1)=0.158
7,
所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.158
7=0.341
3.
答案:0.341
3
5.(5分)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是________.(填序号)?
①P(|ξ|-a)(a>0);
②P(|ξ|0);
③P(|ξ|0);
④P(|ξ|a)(a>0).
【解析】因为P(|ξ|因为P(|ξ|a)
=P(ξ因为P(|ξ|a)=1,
所以P(|ξ|a)(a>0),所以④正确.
答案:②④
6.(10分)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐用于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛,可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取10件零件,度量其内径如表所示(单位:μm).
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
内径
97
97
98
102
105
107
108
109
113
114
(1)计算平均值μ与标准差σ;
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ,σ2).该团队到工厂安装调试后,试打了5个零件,度量其内径分别为(单位:μm):86,95,103,109,118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么?
【解析】(1)μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,
σ2=×[(-8)2+(-8)2+(-7)2+(-3)2+02+22+32+42+82+92]=36,所以σ=6.
(2)需要进一步调试.理由如下:
如果机器正常工作,则Z服从正态分布N(105,62),则P(μ-3σ=P(87而86?(87,123),根据3σ原则,机器异常,需要进一步调试.
7.(10分)某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.052),质量检查人员从该厂生产的1
000个零件中随机抽查一个,测得它的外直径为3.7
cm,该厂生产的这批零件是否合格?
【解析】由于X服从正态分布N(4,0.052),由正态分布的性质,可知正态分布N(4,0.052)在(4-3×0.05,4+3×0.05)之外的取值的概率只有0.003,3.7?(3.85,4.15),
这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为该批零件是不合格的.
1.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是,则μ=( )
A.1
B.4
C.2
D.不能确定
【解析】选B.根据题意,函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根据正态分布密度曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是时,μ=4.
2.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差s2分别为:
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z服从正态分布N(200,150),从而P(187.8=P(200-12.2②由①可知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683,依题意知X～B(100,0.683),所以E(X)=100×0.683=68.3.
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4.2.5 正
态
分
布
1.正态曲线
(1)定义:当n充分大时,X～B(n,p)的直观表示总是具有中间高、两边低的
“钟形”.具体地φ(x)=
,φ(x)的解析式中含有μ和σ两个
参数,其中μ=E(X),即X的均值,σ=
,即X的标准差.一般地φ(x)对应
的图像称为正态曲线.
必备知识·素养奠基
(2)性质:
①正态曲线关于直线_____对称,具有“_______,_______”的特点;
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为__;
③曲线的形状由参数σ确定,_______,曲线越“胖”;_______,曲线越
“瘦”.
x=μ
中间高
两边低
1
σ越大
σ越小
(3)面积:正态曲线与x轴在区间[μ,μ+σ]内所围面积约为________,
在区间[μ+σ,μ+2σ]内所围面积约为________,在区间[μ+2σ,μ+3σ]
内所围面积约为________.如图:?
0.341
3
0.135
9
0.021
5
【思考】
为什么σ决定正态曲线的“胖瘦”?
提示:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.
2.正态分布
(1)定义:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)
对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的_____,则称X服从参数为μ与σ
的正态分布,记作X～N(μ,σ2),此时_________称为X的概率密度函数,μ是X
的_____,σ是X的_______,σ2是X的_____.
面积
φμ,σ(x)
均值
标准差
方差
(2)三个特殊区间内取值的概率值:
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈_______
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈______,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈______.
(3)“3σ原则”:由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,正态变量X在区间
[μ-3σ,μ+3σ]之外取值的概率约为_____(这样的事件可看成小概率事件).
68.3%,
95.4%
99.7%
0.3%
3.标准正态分布
(1)标准正态分布的定义:___________的正态分布称为标准正态分布.
(2)Φ(a)的概念:如果X～N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X即Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞,a)内所围的面积.
(3)Φ(a)的性质:Φ(-a)+Φ(a)=__.
μ=0且σ=1
1
【基础小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正态曲线是一条钟形曲线.
( )
(2)正态曲线在x轴的上方,并且关于直线x=σ对称.
( )
(3)Φ(2)=0.841
3.
( )
提示:(1)√.由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(2)×.正态曲线关于直线x=μ对称.
(3)×.Φ(2)=P(X<2)=0.5+0.341
3+0.135
9=0.977
2.
2.设X～N(10,0.64),则D(X)等于
( )
A.0.8
B.0.64
C.0.642
D.6.4
【解析】选B.因为X～N(10,0.64),所以D(X)=0.64.
3.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)上的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=________时,达到最高点.?
【解析】由正态曲线关于直线x=μ对称和在区间(0.2,+∞)上的概率为0.5,得μ=0.2.
答案:0.2
关键能力·素养形成
类型一 利用正态曲线求面积或概率
【典例】设随机变量X～N(2,9),若P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求曲线与x轴在区间[－1,5]内所围的面积;
(3)求P(-4【思维·引】利用正态曲线的对称性与在特殊区间的面积(概率)求解.
【解析】由X～N(2,9)可知,μ=2,σ=3.
(1)正态曲线关于直线x=2对称(如图所示).
因为P(X>c+1)=P(X(2)根据正态曲线的对称性,所求面积为区间[μ,μ+σ]对应的面积的2倍,
即约为2×0.341
3=0.682
6.
(3)P(-4【内化·悟】
利用正态曲线求概率需要弄清哪些问题?
提示:(1)μ,σ的取值;(2)画出正态曲线.
【类题·通】
利用正态分布求概率的两个方法
1.对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线
x=μ对称的区间上概率相等.如:(1)P(X=P(X>μ+a).
2.“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,
μ+3σ]内的概率分别是0.683,0.954,0.997
求解.
【习练·破】
1.正态曲线与x轴在区间[μ+σ,+∞]内所围的面积为
( )
A.0.5
B.0.341
3
C.0.158
7
D.0.021
5
【解析】选C.根据正态曲线的对称性,所求区间的面积约为
0.5-0.341
3=0.158
7.
2.已知随机变量X～N(2,σ2),若P(X【解析】由正态分布图像的对称性可得:
P(a≤X<4-a)=1-2P(X答案:0.36
类型二 实际问题中的正态分布
角度1 求给定区间的概率
【典例】数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似服从正态分布,且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.
【思维·引】将P(X≥90)转化为P(X≥μ-σ),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X≤μ-σ)+0.683=1,进而求出P(X≥90)的值.
【解析】由题意可知,分数X～N(110,202),μ=110,σ=20,
P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥μ-σ),
因为P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)
=2P(X≤μ-σ)+0.683=1,所以P(X≤μ-σ)=0.158
5,
所以P(X≥90)=1-P(X≤μ-σ)=1-0.158
5=0.841
5.
【素养·探】
★本例考查实际问题中利用正态分布求概率,同时考查直观想象与数学运算的核心素养.
本例条件不变,若这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中130分以上的人数.
【解析】因为P(X≥130)=P(X≥110+20)=P(X≥μ+σ),
所以P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)
=0.683+2P(X≥μ+σ)=1,
所以P(X≥μ+σ)=0.158
5,即P(X≥130)=0.158
5.
所以54×0.158
5≈9(人),即130分以上的人数约为9人.
角度2 实际应用问题
【典例】某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为μ=1
000
g,σ2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为1
007
g时,他立即要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?
【思维·引】求出概率,通过概率值说明原因.
【解析】如果设备正常运行,产品质量服从正态分布N(μ,σ2),根据3σ原则可知,产品质量在μ-3σ=1
000-3=997
g和μ+3σ=1
000+3=1
003
g之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检验员随机抽取的产品为1
007
g,这说明设备的运行有可能不正常,因此检验员的决定是有道理的.
【类题·通】
解答正态分布的实际应用题的关注点
(1)方法:转化法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.
(2)理论基础:①正态曲线的对称性;②曲线与x轴之间的面积为1;
③P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)
的概率值.
【习练·破】
某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布X～N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.
【解析】因为X～N(50,102),所以μ=50,σ=10.
所以P(30=
P(μ-2σP(μ-σ≈
×0.954+
×0.683=0.818
5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818
5.
类型三 标准正态分布
【典例】设随机变量X～N(0,1),
(1)求Φ(－3)的值;
(2)若Φ(0.42)=0.662
8,求Φ(－0.42).
【思维·引】弄清Φ(a)的含义,由正态曲线的对称性求解.
【解析】(1)因为X～N(0,1),
所以
(2)因为X～N(0,1)且Φ(0.42)=0.662
8,
所以由Φ(－a)+Φ(a)=1得，Φ(－0.42)=1-Φ(0.42)
=1-0.662
8=0.337
2.
【内化·悟】
服从标准正态分布的概率问题与正态分布的概率的求解方法相同吗?
提示:相同.
【类题·通】
求标准正态分布的概率问题的关注点
(1)标准正态曲线特点:关于y轴对称,σ=1;
(2)Φ(a)的含义：Φ(a)=P(X(3)解题思路:
①当a=±1,±2,±3时,利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的概率值求解;
②当a为其他值时,可查表求解.
【习练·破】
设随机变量X服从正态分布N(0,1),已知Φ(－0.18)=0.428
6,求P(|X|<0.18
).
【解析】由正态曲线的对称性知,
Φ(－0.18)=P(X<－0.18)=P(X>0.18)=0.428
6,
所以P(|X|<0.18)=P(－0.18=1-2P(X<-0.18)=1-2×0.428
6=0.142
8.
【加练·固】
设随机变量X～N(0,1),Φ(0.25)=0.598
7,Φ(0.51)=0.695
0,求：
(1)Φ(－0.25);
(2)P(0.25【解析】(1)Φ(－0.25)=1-Φ(0.25)=1-0.598
7=0.401
3.
(2)P(0.25=0.695
0-0.598
7
=0.096
3.
课堂检测·素养达标
1.设两个正态分布N(μ1,
)(σ1>0)和N(μ2,
)(σ2>0)
的概率密度函数图像如图所示,则有
( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
【解析】选A.根据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得选项A正确.
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<3)等于
( )
【解析】选D.因为ξ～N(3,σ2),所以ξ=3为正态分布的对称轴,所以P(ξ<3)=
.
3.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.9)=0.028,
则P(ξ<1.9)=
( )
A.0.028
B.0.056
C.0.944
D.0.972
【解析】选D.由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),可得P(ξ<-1.9)=Φ(－1.9),
P(ξ<1.9)=Φ(1.9),又Φ(－0.19)+Φ(0.19)=1,所以P(ξ<1.9)=1-P(ξ<－1.9)
=1-0.028=0.972.
4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=________.?
【解析】由X～N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,
对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.
答案:0.16