(共35张PPT)
阶段复习课
第二课 概率与统计
核心整合·思维导图
考点突破·素养提升
素养一 数学建模
角度1 条件概率与事件的独立性
【典例1】(1)抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,正面朝上数恰好是3枚的概率是________.?
【解析】(1)方法一:记至少出现2枚正面朝上为事件A,恰好出现3枚正面朝上为
事件B,所求概率为P(B|A),事件A包含的基本事件的个数为
=26,
事件B包含的基本事件的个数为n(B)=
=10,
方法二:事件A,B同上,则
所以
答案:
(2)A,B,C三名乒乓球选手间的胜负情况如下:A胜B的概率为0.4,B胜C的概率为0.5,C胜A的概率为0.6,本次竞赛按以下顺序进行:
第一轮:A与B;第二轮:第一轮的胜者与C;第三轮:第二轮的胜者与第一轮的败者;第四轮:第三轮的胜者与第二轮的败者.
求:①B连胜四轮的概率;
②C连胜三轮的概率.
【解析】①要B连胜四轮,以下这些相互独立事件须发生:第一轮B胜A,第二轮B胜C,第三轮B再胜A,第四轮B再胜C.根据相互独立事件同时发生的概率公式,得所求概率为P=(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09.
故B连胜四轮的概率为0.09.
②C连胜三轮应分两种情况:
i.第一轮A胜B,则第二轮C胜A,第三轮C胜B,第四轮C胜A,得C连胜三轮的概率为P1=0.4×0.6×(1-0.5)×0.6=0.072;
ii.第一轮B胜A,则第二轮C胜B,第三轮C胜A,第四轮C胜B,得C连胜三轮的概率为P2=(1-0.4)×(1-0.5)×0.6×(1-0.5)=0.09.由于i,ii两种情况是两个互斥事件,
所以所求概率为P=P1+P2=0.072+0.09=0.162.
故C连胜三轮的概率为0.162.
【类题·通】
在计算条件概率时,必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率,从而选择合适的条件概率公式,分别求出相应事件的概率进行计算.
“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的工具.
【加练·固】
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率;
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求P(ξ≤1).
【解析】(1)设“甲胜A”为事件D,“乙胜B”为事件E,“丙胜C”为事件F,
,
,
分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式,知P(
)=0.4,P(
)=0.5,P(
)=0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE
,D
F,
EF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,
因此红队至少两人获胜的概率为
P=P(DE
)+P(D
F)+P(
EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.
(2)由题意,知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=P(
)=0.4×0.5×0.5=0.1,
P(ξ=1)=P(
F)+P(
E
)+P(D
)
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,
所以P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=0.45.
角度2 随机变量的分布列
【典例2】中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜),
进入总决赛的甲乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为
,乙队获胜的概率
为
,假设每场比赛的结果互相独立,现已赛完两场,乙队以2∶0暂时领先.
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率;
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期
望.
【解析】(1)设甲队获胜为事件A,则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况.
设甲队以4∶2获胜为事件A1,则
设甲队以4∶3获胜为事件A2,
则
(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,
所以X的分布列为
X
4
5
6
7
P
【类题·通】
离散型随机变量的期望与方差的关注点
(1)求离散型随机变量的期望与方差,一般先列出分布列,再按期望与方差的计算公式计算.
(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布).
(3)注意期望与方差的性质.
(4)实际应用问题,要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达.
【加练·固】
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结
束,除第五局甲队获胜的概率是
外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是
,假
设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,
则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列及均值.
【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,
“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意知各局比赛结果相互独立,
故
所以,甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是
.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意知各局比赛结果相互独立,所以
由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
,P(X=1)=P(A3)=
,P(X=2)=P(A4)=
,
P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=
.
故X的分布列为
所以E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
=
.
X
0
1
2
3
P
角度3 独立性检验
【典例3】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件列出2×2列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下能否认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【解析】由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25=15(人).“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:
生产能手
非生产能手
总计
25周岁以上
(含25周岁)组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
总计
30
70
100
所以由公式得
因为1.79<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【类题·通】
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(2)根据公式,计算χ2的值.
(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断.
【加练·固】
有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:
试问:多看电视与人变冷漠有关吗?
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
【解析】由公式得
所以我们有99.9%的把握说多看电视与人变冷漠有关.
素养二 数据分析
角度 一元线性回归模型
【典例4】以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:
房屋面积x/m2
115
110
80
135
105
销售价格y/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图;
(2)若线性相关,求回归直线方程;
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150
m2时的销售价格.
【解析】(1)数据对应的散点图如图所示.
(2)由散点图知y与x具有线性相关关系.
由表中数据知
=60
975,
=12
952.
设所求回归直线方程为
,
则
≈0.196
2,
≈1.814
2,
故所求回归直线方程为
=0.196
2x+1.814
2.
(3)根据(2),当x=150时,销售价格的估计值为
=0.196
2×150+1.814
2
=31.244
2(万元).
【类题·通】
1.建立回归模型的步骤
(1)确定研究对象,明确变量x,y.
(2)画出变量的散点图,观察它们之间的关系,
(3)确定回归方程的类型,
(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).
(5)得出回归方程.
2.分析两个变量线性相关的常用方法
(1)散点图法,该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系.
(2)相关系数法,该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度,|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.温馨提示：
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单元素养评价(二)
(第四章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.根据如下样本数据:
x
3
4
5
6
7
8
y
4
2.5
-0.5
0.5
-2
-3
得到的回归直线方程为=x+,则
( )
A.>0,<0
B.>0,>0
C.<0,>0
D.<0,<0
【解析】选A.根据题意,画出散点图.根据散点图,知两个变量为负相关,且回归直线与y轴的交点在y轴正半轴,所以>0,<0.
2.设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,y关于x的回归直线的斜率是b,纵轴上的截距是a,那么必有
( )
A.b与r的符号相同
B.a与r的符号相同
C.b与r的符号相反
D.a与r的符号相反
【解析】选A.因为b>0时,两变量正相关,此时r>0;b<0时,两变量负相关,此时r<0.
3.某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为
( )
A.4
B.6
C.8
D.10
【解析】选D.由题意,知P(ξ>110)==0.2,所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
4.设随机变量X等可能地取值1,2,3,…,10.又设随机变量Y=2X-1,则P(Y<6)的值为
( )
A.0.3
B.0.5
C.0.1
D.0.2
【解析】选A.由Y=2X-1<6,得X<3.5,所以P(Y<6)=P(X<3.5)=
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.
5.10张奖劵中只有3张有奖,若5个人购买,每人1张,则至少有1个人中奖的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设事件A为“无人中奖”,则P(A)==,则至少有1个人中奖的概率P=1-P(A)=1-=.
6.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:
做不到“光盘”
能做到“光盘”
总计
男
45
10
55
女
30
15
45
总计
75
25
100
附:
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
参照附表,得到的正确结论是
( )
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到′光盘′与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到′光盘′与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到′光盘′与性别有关”
D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到′光盘′与性别无关”
【解析】选C.由公式χ2=≈3.03>2.706,所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.
7.在区间(0,1)内随机取一个数x,若A=,B=,则P(B|A)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.P(A)==,因为A∩B=,所以P(AB)==,
所以P(B|A)===.
8.两个随机事件X和Y,值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是a=10,b=21,c+d=35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%,则c等于
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选A.列2×2列联表如下:
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10+c
21+d
66
故χ2=≥5.024.
把选项A,B,C,D代入验证可知选A.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.对于回归直线方程=x+,下列说法正确的是( )
A.直线必经过点(,)
B.x增加1个单位时,y平均增加个单位
C.样本数据中x=0时,可能有y=
D.样本数据中x=0时,一定有y=
【解析】选ABC.回归直线方程是根据样本数据得到的一个近似曲线,故由它得到的值也是一个近似值,D选项不正确,其他选项均正确.
10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币出现不同面的次数为X,则
( )
A.E(X)=5
B.E(X)=
C.D(X)=
D.D(X)=5
【解析】选AC.每次抛掷两枚硬币,出现不同面的概率为,
10次独立重复试验中,X～B(n,p),
所以E(X)=10×=5,D(X)=10××=.
11.根据下面的2×2列联表得到4个判断,其中正确的为
( )
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
A.至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
B.至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
【解析】选BC.由2×2列联表中数据可求得χ2=
≈7.349>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“患肝病与嗜酒有关”,即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”,因此BC正确.
12.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.
(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);
(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则
( )
A.p1>p2
B.E(ξ1)
C.p1D.E(ξ1)>E(ξ2)
【解析】选AB.方法一:(特值法)取m=n=3进行计算,比较即可.
方法二:(标准解法)从乙盒中取1个球时,取出的红球的个数记为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,
则P(ξ=0)==P(ξ1=1),P(ξ=1)=
=P(ξ1=2),所以E(ξ1)=1×P(ξ1=1)+2×
P(ξ1=2)=+1,所以p1==;
从乙盒中取2个球时,取出的红球的个数记为η,
则η的所有可能取值为0,1,2,
则P(η=0)==P(ξ2=1),
P(η=1)==P(ξ2=2),
P(η=2)==P(ξ2=3),
所以E(ξ2)=1×P(ξ2=1)+2×P(ξ2=2)+3×P(ξ2=3)=+1,所以p2==,所以p1>p2,E(ξ1)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.设随机变量X服从正态分布N,集合A=
{x|x>X},集合B=,则A?B的概率为________.?
【解析】由A?B得X≥.
又因为μ=,所以P=.
答案:
14.现有两台在两地独立工作的雷达,若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________.?
【解析】设所求的概率为P,则根据题意有P=0.9×0.15+0.1×0.85=
0.135+0.085=0.22.
答案:0.22
15.某产品在某零售摊位上的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如表所示:
x
16
17
18
19
y
50
44
41
31
由上表可得回归直线方程=x+中的=-6,则=________,据此模型预计零售价定为15元时,每天的销售量为________.?
【解析】由题意知=17.5,=41.5,代入回归直线方程得=146.5,所以回归直线方程为=-6x+146.5,当x=15时,=146.5-15×6=56.5.
答案:146.5 56.5
16.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获得50元,生产出一件乙等品可获得30元,生产出一件次品,要赔20元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元.?
【解析】设生产一件该产品可获利X元,则随机变量X的取值可以是-20,30,50.
依题意,得X的分布列为
X
-20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37.
答案:37
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.
(1)求X的分布列;(2)求X的均值.
【解析】(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.
P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=6)=,所以X的分布列为
X
1
3
4
6
P
(2)E(X)=1×+3×+4×+6×=.
18.(12分)有两个分类变量x与y,其一组观测值如下面的2×2列联表所示:
y1
y2
x1
a
20-a
x2
15-a
30+a
其中a,15-a均为大于5的整数,则a取何值时,在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系?
【解析】查表可知,要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系,则χ2≥2.706,而
χ2=
==.
由χ2≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.
又a>5且15-a>5,a∈Z,解得a=8或9,
故a为8或9时,在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系.
19.(12分)为了了解心肺疾病是否与年龄相关,现随机抽取了40名市民,得到数据如表:
患心肺疾病
不患心肺疾病
总计
大于40岁
16
小于等于40岁
12
总计
40
已知在40人中随机抽取1人,抽到不患心肺疾病的市民的概率为.
(1)请将2×2列联表补充完整;
(2)已知在大于40岁且患心肺疾病的市民中,有4名重症患者,专家建议重症患者住院治疗,现从这16名患者中选出2人,记需住院治疗的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关?
【解析】(1)将2×2列联表补充完整如表:
患心肺疾病
不患心肺疾病
总计
大于40岁
16
4
20
小于等于40岁
8
12
20
总计
24
16
40
(2)ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=.
(3)χ2==>6.635,
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关.
20.(12分)为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),
[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值.
(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
【解析】(1)组距d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1,得a=0.05.
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
=30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50×0.075=40,
s2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02×0.375+52×0.25+102×0.075=28.75.
(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,
且X服从二项分布B(3,0.9),
P(X=0)=0.13=0.001,
P(X=1)=×0.9×0.12=0.027,
P(X=2)=×0.92×0.1=0.243,
P(X=3)=0.93=0.729,
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
E(X)=3×0.9=2.7.
21.(12分)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量x(万辆)
50
51
54
57
58
PM2.5的浓度y(微克/立方米)
69
70
74
78
79
(1)请根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中画出散点图;
(2)根据表中数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程=x+;
(3)若周六同一时间的车流量是25万辆,试根据(2)中求出的回归直线方程预测此时PM2.5的浓度为多少(保留整数).
【解析】(1)散点图如图.
(2)因为==54,
==74.
(xi-)(yi-)=4×5+3×4+3×4+4×5=64,
(xi-)2=(-4)2+(-3)2+32+42=50,
所以===1.28,
=-=74-1.28×54=4.88,
故y关于x的回归直线方程为=1.28x+4.88.
(3)当x=25时,y=1.28×25+4.88=36.88≈37,所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37微克/立方米.
22.(12分)北京市政府为做好世园会的接待服务工作,对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.
(1)求该海产品不能销售的概率;
(2)如果该海产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果该海产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有该海产品4件,记一箱该海产品获利ξ元,求ξ的分布列,并求出均值E(ξ).
【解析】(1)设“该海产品不能销售”为事件A,
则P(A)=1-×=.
所以,该海产品不能销售的概率为.
(2)由已知,可知ξ的可能取值为-320,-200,-80,40,160.
P(ξ=-320)==,
P(ξ=-200)=××=,
P(ξ=-80)=××=,
P(ξ=40)=××=,
P(ξ=160)==.
所以ξ的分布列为
ξ
-320
-200
-80
40
160
P
E(ξ)=-320×-200×-80×+40×+160×=40.
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