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课时素养评价
三 排列数的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·哈尔滨高二检测)现有5名学生,甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相,则甲与乙相邻,且甲与丁不相邻的站法种数为
( )
A.36
B.24
C.22
D.20
【解析】选A.根据题意,按甲的站法分2种情况讨论:
①若甲站在两端,
甲有2种情况,乙必须与甲相邻,有1种情况,剩余3人全排列,安排在剩余的3个位置,有=6种站法,
则此时有2×1×6=12种站法;
②若甲不站在两端,
甲可以站在中间的3个位置,有3种情况,乙必须与甲相邻,也有2种情况,
甲与丁不能相邻,丁有2个位置可选,有2种情况,
剩余2人全排列,安排在剩余的2个位置,有=2种站法,
则此时有3×2×2×2=24种站法;
则一共有24+12=36种站法.
2.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于
( )
A.1
543 B.2
543 C.3
542 D.4
532
【解析】选C.首位是1的四位数有=24(个),
首位是2的四位数有=24(个),
首位是3的四位数有=24(个),
由分类加法计数原理得,首位小于4的所有四位数共3×24=72(个).
由此得a72=3
542.
3.(2020·开封高二检测)甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的海选,5人坐成一排,若甲与2名女同学都相邻,则不同坐法的种数为
( )
A.6
B.12
C.18
D.24
【解析】选B.把甲与2名女同学“捆绑”在一起与另外2名男同学全排列有种情况,再将2名女同学全排列有种情况,故满足条件的不同坐法的种数为·=12.
4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有
( )
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
【解析】选A.
分三类:甲在周一,共有种排法;甲在周二,共有种排法;甲在周三,共有种排法.所以有++=20.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·鸡西高二检测)现有高一学生两人,高二学生两人,高三学生一人,将这五人排成一行,要求同一年级的学生不能相邻,则不同的排法总数为________.?
【解析】根据题意,将五个人全排列,共有=120种结果.
其中高一学生相邻或高二学生相邻两种情况,有2=96种,
高一学生相邻且高二学生相邻情况,有=24种,
故同一年级的学生不能相邻的排法是120-96+24=48(种).
答案:48
6.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.?
【解析】先将A,B捆绑在一起,有种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有种摆法,共有种摆法.而A,B,C这3
件产品在一起,且A,B相邻,A,C相邻有2种摆法.故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有-2=36(种).
答案:36
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,问:
(1)共能组成多少个不同的二次函数?
(2)在这些二次函数中,图像关于y轴对称的有多少个?
【解析】(1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a≠0,
所以确定二次项系数有7种,确定一次项和常数项有种,所以共有7=294个不同的二次函数.
方法二(直接法——优先考虑特殊元素)
当a,b,c中不含0时,有个;当a,b,c中含有0时,有2个,故共有+2=294(个)不同的二次函数.
方法三(间接法)共可构成个函数,其中当a=0时,有个均不符合要求,从而共有-=294(个)不同的二次函数.
(2)依题意b=0,所以共有=42(个)符合条件的二次函数.
8.某小组6个人排队照相留念.
(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?
(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法?
(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?
(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法?
(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法?
(6)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法?
【解题指南】(1)相当于6个人全排列,即.
(2)利用特殊对象优先的原则,将甲排在前排,乙排在后排,其余4人全排列,根据分步乘法原理可得.
(3)利用捆绑法,甲、乙视为一个人,即看成5人全排列问题,再将甲、乙两人排列,根据分步乘法原理可得.
(4)甲必在乙的右边属于定序问题,用除法可得.
(5)3名男生不相邻,用插空法,根据分步乘法原理可得.
(6)利用特殊位置优先原则,分乙在排头和乙不在排头两类,根据分类加法原理可得.
【解析】(1)前排2人,后排4人,相当于6个人全排列,共有=720种排法.
(2)先将甲排在前排,乙排在后排,其余4人全排列,根据分步乘法原理得,=192种排法.
(3)甲、乙视为一个人,即看成5人全排列问题,再将甲、乙两人排列,
根据分步乘法原理可得,=240种排法.
(4)甲必在乙的右边属于定序问题,用除法,=360种排法.
(5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位,这样保证男生不相邻,
根据分步乘法原理得,=144种排法.
(6)方法一:乙在排头其余5人全排列,共有种排法;
乙不在排头,排头和排尾均为,其余4个位置全排列有,根据分步乘法得,
再根据分类加法原理得,+=504种排法.
方法二:(间接法)
-2+=720-240+24=504种排法.
(15分钟·30分)
1.(5分)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23
145且小于43
521的数共有
( )
A.56个
B.57个
C.58个
D.60个
【解析】选C.采用分类加法计数原理,
第1类:23154,1个;第2类:形如234□□和235□□的数有×2=4个;第3类:形如24□□□和25□□□的数有×2=12个;第4类:万位为3的数有=24个;第5类:形如42□□□和41□□□的数有×2=12个;第6类:形如432□□和431□□的数有×2=4个;第7类:43512,1个.
所以共有1+4+12+24+12+4+1=58个.
2.(5分)在一次射击比赛中,8个泥制的靶子挂成三列,其中两列各挂3个,一列挂2个,如图所示.一射手按照下列规则去击碎靶子:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个.若每次射击都遵循这一原则,击碎全部8个靶子可以有________种不同的射击方案.?
【解析】自左至右,自下而上分别用字母A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3表示三列靶子.打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队,但A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3三组内部的先后次序排定.因为各种排列情形是等可能出现的.所以击碎8个靶子的不同次序有=560(种).
答案:560
3.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.?
【解析】先分组后用分配法求解,5张参观券分为4组,其中2张连号的有4种分法,每一种分法中的排列方法有种,因此共有不同的分法4=4×24=96(种).
答案:96种
4.(5分)校园某处并排连续有6个停车位,现有3辆汽车需要停放,为了方便司机上下车,规定:当有汽车相邻停放时,车头必须同向;当车没有相邻时,车头朝向不限,则不同的停车方法共有________种.(用数字作答)?
【解析】(1)当三辆车都不相邻时有4×8=192(种);
(2)当两辆车相邻时有3×4+2×4+2×4+2×4+3×4=288(种);
(3)当三辆车相邻时有4×2=48(种),
则共有192+288+48=528(种).
答案:528
5.(10分)(2019·菏泽高二检测)将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1
【解题指南】本题有6个对象和6个位置,其中有3个对象,1,3,5和3个位置a1,a3,a5是受限制的对象和位置,故可考虑分类法计算其方法种数,且应优先安排特殊对象或特殊位置.
【解析】以特殊位置进行分类,
由于a1≠1,且在a1,a3,a5中a1最小,
故a1只能取2,3,4三个数,
故可以以a1的取值进行分类.
第一类,当a1=2时,a3可以取数字4或5,共2种选择,不管a3取何值,a5只能取数字6,其他位置不受限制,有种排列方法,故当a1=2时,排列方法有2×=12(种);
第二类,当a1=3时,a3可以取数字4或5,共2种选择,不管a3取何值,a5只能取数字6,其他位置不受限制,有种排列方法,故当a1=3时,排列方法有2×=12(种);
第三类,当a1=4时,a3只能取数字5,只有1种选择,a5只能取数字6,其他位置不受限制,有种排列方法,故当a1=4时,排列方法有1×=6(种).
根据分类加法计数原理,满足题意的排列方法共有12+12+6=30(种).
【易错警示】利用分类讨论思想解决问题时,首先要明确分类的标准,如本例以a1的取值作为分类的标准,其次要做到不重不漏,合理简洁.
1.一条铁路线上原有n个车站,为了适应客运的需要,在这条铁路线上又新增加了m(m>1)个车站,客运车票增加了62种,则n=________,m=________.?
【解析】由题意得-=62,即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62.整理得m(2n+m-1)=62=2×31.
因为m,n均为正整数,所以2n+m-1也为正整数.
所以得n=15,m=2.
答案:15 2
2.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子里,B球必须放在与A球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
【解析】根据A球所在位置分三类:
(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6种不同的放法;
(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6种不同的放法;
(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,此时有=18种不同的放法.
综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.
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3.1.2 排列与排列数
第1课时 排列与排列数
必备知识·素养奠基
1.排列:从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照___________排成一列,
称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.
2.相同排列的两个条件
(1)_____相同.
(2)_____相同.
一定的顺序
对象
顺序
【思考】
(1)排列中“一定顺序”的含义是什么?
提示:一定顺序就是指排列中的对象与位置有关,当位置不同时排列也就不同.
(2)排列定义中的两个要素是什么?
提示:一是“取出不同的对象”,二是“将对象按一定顺序排列”.
3.排列中对象所满足的两个特性
(1)无重复性:从n个不同对象中取出m(m≤n)个不同的对象,否则不是排列问题.
(2)有序性:安排这m个对象时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置,看结果是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.
【思考】
(1)每一个排列中对象的位置是确定的吗?
提示:是,对象在排列中的位置不同排列也就不同.
(2)同一个排列中,同一个对象能重复出现吗?
提示:由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个对象.
4.排列数及排列数公式
从n个不同对象中取出m个对象的所有_________的个数,
称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数
排列数表示法
___
全排列
n个不同对象全部取出的一个排列,叫做n个对象的一个全排列,
且
=n×(n-1)×…×3×2×1
阶乘
正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示
排列数公式
乘积式
=
________________________
阶乘式
=
性质
=
___，0!=
__
备注
n,m∈N
,m≤n
不同排列
n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)
n!
1
【思考】
(1)“得到从n个不同的对象中取出m个对象的一个排列”的含义是什么?
提示:“得到从n个不同对象中取出m个对象的一个排列”,包含两个方面:
①从n个不同对象中取出m个对象;②按照一定顺序排列.
(2)排列与排列数有何不同?
提示:排列与排列数是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同对象中取出
m个对象按照一定顺序排成一列,是一种排法;“排列数”是指从n个不同对象
中取出m个对象所得不同排列的个数,是一个数,用
表示.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)由于排列数的阶乘式是一个分式,所以其化简的结果不一定是整数.( )
(2)在排列的问题中,总体中的对象可以有重复.
( )
(3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列.
( )
(4)若
=10×9×8×7×6,则n=10,m=6.
( )
提示:(1)×.排列数是从若干个对象中取出若干个对象的排列的个数,所以排列
数一定是整数.
(2)×.在排列问题中总体内对象不能重复.
(3)√.根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列.
(4)×.在
中m表示连乘因数的个数,所以,n=10,m=5.
2.3名男生和3名女生排成一排,男生不相邻的排法有
( )
A.144种
B.90种
C.260种
D.120种
【解析】选A.3名女生先排好,有
种排法,让3个男生去插空,有
种方法,故
共有
·
=144种.
3.9×10×11×…×20可表示为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
=20×19×18×…×(20-12+1)
=20×19×18×…×9.
4.从1,2,3中任取两个数字组成不同的两位数有________个.?
【解析】12,13,21,23,31,32,共6个.
答案:6
关键能力·素养形成
类型一
排列数的计算公式
【典例】1.(2020·福州高二检测)(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)(x∈N+,x>15)
可表示为
( )
A.
B.
C.
D.
2.(1)计算
和
.
(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N
且n<55).
(3)化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m).
【思维·引】
1.根据排列数公式求解.
2.根据题中所求排列数的特点,选择合适的排列数公式求解.
【解析】1.选B.由题意x∈N+,x>15.其中最大的数(x-2)为n,
则m=(x-2)-(x-15)+1=14.
所以(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)=
.
2.(1)
=15×14×13=2
730,
=6×5×4×3×2×1=720.
(2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有
(69-n)-(55-n)+1=15(个)数,
所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=
.
(3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)=
.
【内化·悟】
1.计算排列数时怎样减少运算量?
提示:计算排列数时,要注意用公式后先提取公因式化简,这样往往会
减少运算量.
2.在排列数中,n,m的作用是什么?
提示:n是连续相乘正整数(因式)中的最大的数,而正整数(因式)的个数
取决于m.
【类题·通】
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数
的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列对象的总个数,而正整数(因式)的
个数是选取对象的个数,这是排列数公式的逆用.
(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后
计算,这样往往会减少运算量.
【习练·破】
1.已知
=11×10×9×8×…×5,则m+n为________.?
【解析】因为
=11×10×9×8×…×5,
所以n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18.
答案:18
2.计算:
=________.?
【解析】
=7×6×5×4×3×2,
=6×5×4×3×2,
=5×4×3×2,
所以
=7×6-6=36.
答案:36
类型二
简单问题中的排列
【典例】1.某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课,而体育老师因故不能上第一节和第四节,则不同排课方案的种数是
( )
A.24 B.22 C.20 D.12
2.写出下列问题的所有排列:
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数.
(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数,试全部列出.
【思维·引】1.先排体育课、再排其他三个科目.
2.结合排列的定义利用树状图将排列一一列出即可.
【解析】
1.选D.分两步排课:体育可以排第二节或第三节两种排法;其他科目有
语文、数学、外语
语文、外语、数学
数学、语文、外语
数学、外语、语文
外语、语文、数学
外语、数学、语文共6种排法,
所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6=12(种)排课方案.
2.(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个
不同的两位数.
(2)画出树状图,如图所示.
由上面的树状图可知,所有的四位数为:
1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、
2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、
4213、4231、4312、4321,共24个四位数.
【内化·悟】
1.所有的排列问题是否都可以用树状图表示.
提示:不是,树状图只适用于排列个数不多的情况.
2.用树状图解决排列问题应怎样分类?
提示:按照一定的分类标准,先确定第一个对象,再确定第二个对象,
依次进行下去,直到完成一个排列.
【类题·通】
利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:“树状图”在解决排列对象个数不多的问题时,是一种比较有效
的表示方式.
(2)策略:在操作中先将对象按一定顺序排出,然后以先安排哪个对象为分类
标准进行分类,再安排第二个对象,并按此对象分类,依次进行,直到完成一个
排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.
【习练·破】
若直线Ax+By=0的系数A,B可以从2,3,5,7中取不同的数值,可以构成的不同直线的条数是
( )
A.12条 B.9条 C.8条 D.4条
【解析】选A.画树状图如下:
故共有12条.
类型三 排列与排列数公式的简单应用
【典例】1.5名成人带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不
同的排法种数为
( )
A.
B.
C.
D.
-4
2.有2名老师,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种
不同站法.
(1)3名男生必须站在一起.
(2)2名老师不能相邻.
【思维·引】
1.先将5名成人进行全排,再根据题中条件对小孩进行排列.
2.(1)男生必须相邻,可把三个男生看成一个整体,进行全排列,再乘以三个男生的全排列,即可计算结果;(2)先把6名学生进行全排列,利用插空法插入两名教师,即可得到计算结果.
【解析】1.选A.首先5名成人先排队,共有
种排法,然后把两个小孩插进中
间的4个空中,共有
种排法,根据乘法原理,共有
种排法.
2.(1)把3名男生看成一个整体与其他人排列有
种,再来考虑3名男生间的顺
序有
种,故3名男生必须站在一起的排法有
=4
320种.
(2)
6名学生先站成一排有
种站法,再插入两名老师有
种插法,故2名老
师不相邻的站法有
=30
240种.
【内化·悟】
利用排列与排列数解排列应用题的基本思想是什么?
提示:
【类题·通】
解简单排列应用题的思路
(1)认真分析题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.
(2)如果是的话,再进一步分析,这里n个不同的对象指的是什么,以及从n个不同的对象中任取m(m≤n)个对象的每一种排列对应的是什么事件.
(3)运用排列数公式求解.
提醒:解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件.
【习练·破】
小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排,若小一不出现在首位和末位,小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻,求能满足条件的不同排法共有多少种.
【解析】按小一的位置分三类:
①当小一出现在第2位时,则第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学,
所以满足条件的不同排法有3
=12种;
②当小一出现在第3位时,则第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学
或第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学,
所以满足条件的不同排法有2
=24种;
③当小一出现在第4位时,则第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学,
所以满足条件的不同排法有3
=12种.
综上,共有12+24+12=48种.
课堂检测·素养达标
1.已知下列问题:
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组.
(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.
(3)从a,b,c,d四个字母中取出2个字母.
(4)从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.(1)是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关.(2)不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关.(3)不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关.(4)是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.
2.(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13),x∈N
,x>13可表示为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.从(x-3),(x-4),…到(x-13)共(x-3)-(x-13)+1=11(个)数,
所以根据排列数公式知(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13)=
.
3.已知
=132,则n=
( )
A.11
B.12
C.13
D.14
【解析】选B.因为
=132,所以n(n-1)=132,整理,得n2-n-132=0;解得n=12,
或n=-11(不合题意,舍去);所以n的值为12.
【新情境·新思维】
3名男生,4名女生,按照下列不同的要求站队,求不同的站队方法种数.
(1)全体站成一排,其中甲只能站在中间或两端.
(2)全体站成一排,其中甲、乙只能站两端.
(3)全体站成一排,其中甲不能站两端.
【解析】(1)先排甲,有
种不同的站法;再排其余的6人,有
种不同的站法.
故共有
=2
160种不同的站法.
(2)先排甲、乙,有
种不同的站法;再排其余的5人,有
种不同的站法.
故共有
=240种不同的站法.
(3)先排甲,有
种不同的站法;再排其余的6人,有
种不同的站法.故共有
=3
600种不同的站法.(共49张PPT)
第2课时 排列数的应用
关键能力·素养形成
类型一
数字排列问题
【典例】1.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20
000大的五位偶数共有________个.?
2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个?
(2)如果组成的四位数必须大于6
500,那么这样的四位数有多少个?
【思维·引】
1.解答本题时充分借助题设条件,先考虑首位数字的特征,其次考虑末位数字的要求,中间三个数将剩余的三个数全排的思维模式,运用排列数公式求解.
2.先确定四位数的最高位,再依次确定其他数字,结合排列的定义及排列数公式求解.
【解析】1.由题设可知:当首位排5和3时,末位可排2和4,中间三数全排,两种
情况共有4
种;当首位排2和4时,末位只能排4和2,中间三个数全排,两种情况
共有2
,所以由分类加法计数原理可得所有符合条件的五位数共有
6
=6×6=36个.
答案:36
2.(1)第一步排个位上的数,因为组成的四位数必须是偶数,个位数字只能
是2,4,6之一,所以有
种排法;第二步排千、百、十这三个数位上的数字,
有
种排法.根据分步乘法计数原理,符合条件的四位数的个数是
=3×6×5×4=360.故这样的四位数有360个.
(2)因为组成的四位数要大于6
500,所以千位上的数字只能取7或6.排法
可以分两类.第一类:千位上排7,有
种不同的排法;第二类:若千位上排6,
则百位上可排7或5,十位和个位可以从余下的数字中取2个来排,共有
种
不同的排法.根据分类加法计数原理,符合条件的四位数的个数是
+
=160.
故这样的四位数有160个.
【内化·悟】
1.在数字的排列问题中应注意哪些位置上的数?
提示:(1)要注意最高位不能为0;(2)对奇(偶)数要注意个位上的数为奇(偶)数;
(3)能被3或5整除的数对各位数字上的要求.
2.对于数字的排列问题应先排哪一位上的数?
提示:根据情况而定,有可能先排最高位,也可能先排个位.
【类题·通】
数字排列问题的解题原则
排列问题的本质是“对象”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上,或某个位子不排某些对象,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊对象或优先满足特殊位子,若一个位子安排的对象影响到另一个位子的对象个数时,应分类讨论.
提醒:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊对象“0”的处理.
【习练·破】
我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”),则“北斗数”中千位为3的共有________个.?
【解析】由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4,有以下四种可能:0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2;各种组合对应的排列个数分别为3,6,3,3,
合计15个.
答案:15
【加练·固】
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数.(2)能被3整除的五位数.
【解析】(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0,有
个;个位上是5,若
不含0,则有
个;若含0,但0不作首位,则0的位置有
种排法,其余各位
有
种排法,故共有
+
+
=216(个)能被5整除的五位数.
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除,则5个数可能有{1,2,3,4,5}
和{0,1,2,4,5}两种情况,能够组成的五位数分别有
个和
个.
故能被3整除的五位数有
+
=216(个).
类型二 “排队”问题
角度1 对象“相邻”与“不相邻”问题
【典例】3名男生,4名女生,这7个人站成一排,在下列情况下,各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起.
(2)男生必须排在一起.
(3)男生不能排在一起.
(4)男生互不相邻,且女生也互不相邻.
【思维·引】利用排列数公式解决相关问题时,特殊对象应特殊考虑,
相邻对象捆绑处理,不相邻对象插空处理.
【解析】(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,
有
种排法,女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有
种排法,全体男
生、女生各看作一个对象全排列有
种排法,由分步乘法计数原理知共有
=288种排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象,与4名女生组成5个对象全排列,故有
=720种不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有
种排法,把3名男生安排在4名女生隔成
的5个空中,有
种排法,故有
=1
440种不同的排法.
(4)先排男生有
种排法.让女生插空,有
=144种不同的排法.
【类题·通】
处理对象“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.对象相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个对象“捆绑”为一个大对象与其余对象全排列,然后再松绑,将这若干个对象内部全排列.对象不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻对象以外的“普通”对象全排列,然后在“普通”对象之间及两端插入不相邻对象.
角度2 定序问题
【典例】1.东京夏季奥运会因为2020年的新型冠状病毒肺炎疫情由2020年
夏季改为2021年夏季举办,其中将设置4×100米男女混合泳接力这一新的
比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛,
按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由1名运动员
完成,且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,
其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳,
剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担,则中国队参赛的安排共有
( )
A.144种
B.8种
C.24种
D.12种
2.7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法?
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法?
【思维·引】
1.分两类,(1)甲承担仰泳,(2)甲承担自由泳,根据分类计数原理求.
2.(1)先将7人全排,考虑甲在乙的前面和在乙的后面是等可能的,即可得出结果.
(2)先将7人全排,甲、乙、丙三人排列有6种情况,考虑三人顺序一定只是6种情况中的一种即可求得结果.
【解析】1.选B.由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有2种安排方法,其他两名
运动员有
=2种安排方法,共计2×2=4种方法,
若甲承担自由泳,则乙运动员有2种安排方法,其他两名运动员有
=2种安排方
法,共计2×2=4种方法,
所以中国队共有4+4=8种不同的安排方法.
2.(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半,故有
=2
520(种)
不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向右顺序的排法
种数占全体全排列种数的
.故有
=840(种)不同的排法
【类题·通】
定序问题的解题策略
这类问题的解法是采用分类法.n个不同对象的全排列有
种排法,m个不同对
象的全排列有
种排法.因此
种排法中,关于m个对象的不同分法有
类,而
且每一分类的排法数是一样的.当这m个对象顺序确定时,共有
种排法.
【习练·破】
7名师生排成一排照相,其中老师1人,女生2人,男生4人,若4名男生的身高都不
等,按从高到低的顺序站,有多少种不同的站法?
【解析】7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有
种,而由高到低有
从左到右和从右到左的不同的站法,
所以共有2
=420(种)不同的站法.
【加练·固】
8人排成前后两排,每排4人,其中甲、乙在前排,丙在后排,共有________种
排法.?
【解析】按照前排甲、乙,后排丙,其余5人的顺序考虑,共有
=5
760种,
故填5
760.
答案:5
760
角度3 对象“在”与“不在”问题
【典例】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,
求解下列问题:
(1)甲不在首位的排法有多少种?
(2)甲既不在首位,又不在末位的排法有多少种?
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种?
(4)甲不在首位,乙不在末位的排法有多少种?
【思维·引】
(1)优先考虑甲,再结合排列数公式求解.
(2)先将除甲以外的6名同学中选2名排在首、末位,再排剩余的5名同学.
(3)先将甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末位,再排剩余的5名同学.
(4)用间接法求解.
【解析】(1)方法一:把同学作为研究对象.
第一类:不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上,
有
种.
第二类:含有甲,甲不在首位:先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同
学中选出4名排在没有甲的位置上,有
种排法.根据分步乘法计数原理,含有
甲时共有4×
种排法.
由分类加法计数原理,共有
+4×
=2
160(种)排法.
方法二:把位置作为研究对象.
第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有
种方法.
第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,
有
种方法.
由分步乘法计数原理,可得共有
·
=2
160(种)排法.
方法三(间接法):即先不考虑限制条件,从7名同学中选出5名进行排列,然后
把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求,总的可能情况有
种;甲在首位的情况有
种,
所以符合要求的排法有
-
=2
160(种)
(2)把位置作为研究对象,先满足特殊位置.
第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有
种方法.
第二步,从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有
种方法.
根据分步乘法计数原理,有
·
=1
800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有
种方法.
第二步,从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有
种方法.
根据分步乘法计数原理,共有
·
=1
200(种)方法.
(4)用间接法.
总的可能情况是
种,减去甲在首位的
种,再减去乙在末位的
种.
注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次,所以还需补回一次
种,
所以共有
-2
+
=1
860(种)排法.
【类题·通】
对象“在”与“不在”问题的解题原则与方法
(1)原则:解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时,可以从对象入手也可以从位置入手,原则是谁特殊谁优先.
(2)方法:从对象入手时,先给特殊对象安排位置,再把其他对象安排在其他位置上,从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.
【习练·破】
元旦晚会期间,高三二班的学生准备了6个参赛节目,其中有2个舞蹈节目,
2个小品节目,2个歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外2个舞蹈节目
一定要排在一起,则这6个节目的不同编排种数为
( )
A.48 B.36 C.24 D.12
【解析】选C.分3步进行:
①歌曲节目排在首尾,有
=2种排法.
②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间,有
=2种排法.
③排好后,2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位,
将2个舞蹈节目全排列,安排在中间的3个空位,有
=6种排法.
则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6=24种
类型三 排列问题的综合应用
【典例】1.(2020·柳州高二检测)某单位安排7位工作人员在10月1日到10月
7日值班,每人值一天,其中甲、乙二人安排在相邻两天,并且甲只能在双日
值班,则不同的安排方法有
( )
A.120种
B.240种
C.360种
D.720种
2.从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以组成______
个不同的
一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有________个.?
【思维·引】
1.根据题意,依次分析甲、乙和其他五人的排法,再利用分步计数原理计算.
2.先确定a的值,再确定b,c的值,最后根据分步乘法计数原理求解.对于有实根的方程先对c进行讨论.
【解析】1.选D.根据题意:
甲只能在2,4,6这三天值班,共三种情况,
又甲、乙二人安排在相邻两天,甲确定后,乙有两种选择,
其余5人没有限制,有
种情况,
故不同的安排方法有3×2×
=720种.
2.先考虑组成一元二次方程的问题.
首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有
种,然后从余下的4个数中任选两个
作b,c,有
种.
由分步乘法计数原理知,共组成一元二次方程
·
=48(个).
方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.
分类讨论如下:当c=0时,a,b可以从1,3,5,7中任取两个,有
种;
当c≠0时,分析判别式知b只能取5,7中的一个.
当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有
种;
当b取7时a,c可取1,3或1,5这两组数,有2
种.此时共有(
+2
)个.由分类
加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有
+
+2
=18(个).
答案:48 18
【内化·悟】
1.解决排列问题是分步还是分类?
提示:排列问题往往是两个原理交叉应用.
2.在解决排列问题要从哪些角度考虑?
提示:或从对象考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底.不能一会考虑对象,
一会考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.
【类题·通】
排列综合问题解题策略
实际问题中,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊对象,还要根据问题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题,逐渐掌握解决问题的基本思想.
【习练·破】
A,B,C,D,E,F共6个同学和1个数学老师站成一排合影留念,数学老师穿白色
文化衫,A,B和C,D同学分别穿着白色和黑色文化衫,E和F分别穿着红色和橙
色的文化衫,若老师站中间,穿着白色文化衫的不相邻,则不同的站法种数
为
( )
A.72 B.112 C.160 D.192
【解析】选D.共有7个位置,老师站中间,两边各三个座位,两位穿白色文化衫
的同学不站老师两边,且他俩不能相邻,所以他俩有2×2×
=8种方法,其他
没有限制,所以共有8×
=192种方法.
【加练·固】
由四个不同数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数,
(1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个?
(2)若x=0,其中的偶数共有多少个?
(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x.
【解析】
(1)若x=5,则末位为5的三位数共有
=6个,即能被5整除的共有6个.
(2)若x=0,当末位是0时,三位数共有
=6个;当末位是2或4时,三位数共有
=8个,故共有6+8=14个.
(3)4个不同的数,组成无重复三位数共有4×3×2=24种,每个数字用了3
=18
次.因为所有这些三位数的各位数字之和是252,所以18×(1+2+4+x)=252,即
x=7.
课堂检测·素养达标
1.6位选手依次演讲,其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲,则不同
的演讲次序共有
( )
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
【解析】选C.第一步:排甲,共有
种不同的排法;第二步:排其他人,
共有
种不同的排法,因此不同的演讲次序共有
=480(种).
2.有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名
售票员,则可能的分配方案有
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.
安排4名司机有
种方案,安排4名售票员有
种方案.司机与售
票员都安排好,这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有
种方案.
3.甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念,甲和乙必须
相邻的排法有
( )
A.24种
B.48种
C.72种
D.120种
【解析】选B.由题意利用捆绑法求解,甲、乙两人必须相邻的方法数为
·
=48种.
4.若一个四位数的各位数字相加,和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2020的“完美四位数”有______个
( )?
A.53
B.59
C.69
D.71
【解析】选D.根据题意,四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6,
②0、1、4、5,③0、1、2、7,④0、2、3、5,⑤1、2、3、4;共5种情况,
则分5种情况讨论:
①四个数字为0、1、3、6时,
千位上的数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、
十位、个位上,有
=6种情况,
此时有2×6=12个“完美四位数”,
②四个数字为0、1、4、5时,
千位上的数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、
十位、个位上,有
=6种情况,
此时有2×6=12个“完美四位数”
③四个数字为0、1、2、7时,
千位上的数字为7时,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个位上,
有
=6种情况,
千位上的数字为2时,有2
071、2
701、2
710,2
107,2
170,共5种情况,
此时有6+5=11个“完美四位数”,
④四个数字为0、2、3、5时,
千位上的数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,安排在
百位、十位、个位上,有
=6种情况,
此时有3×6=18个“完美四位数”,
⑤四个数字为1、2、3、4时,
千位上的数字可以为2或3或4,有3种情况,将其余3个数字全排列,安排在
百位、十位、个位上,有
=6种情况,
此时有3×6=18个“完美四位数”,
则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”.
【新情境·新思维】
从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,一共可以得到多少个不同的对数值?其中比1大的有几个?
【解析】从1,2,3,…,9这8个数中任取2个数组成对数,有
个,在这些对数值
中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复计数4个,又1不能
作为对数的底数,1作为真数时,不论底数为何值,其对数值均为0.
所以可以得到
-4+1=53(个)不同的对数值.
要求对数值比1大,分类完成:底数为2时,真数从3,4,5,…,9中任取一个,有7种
选法;底数为3时,真数从4,5,…,9中任取一个,有6种选法;…;依次类推,当底
数为8时,真数只能取9,故有7+6+5+4+3+2+1=28(个).但其中log24=log39,log23=log49,所以其中比1大的对数值有28-2=26(个).温馨提示：
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课时素养评价
二 排列与排列数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列问题属于排列问题的是
( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①② C.③④ D.①③④
【解析】选A.根据排列的定义进行判断.
2.乘积m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20)(m∈N+)可表示为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为最大数为m+20,所以共有21个自然数连续相乘,根据排列公式可得m…=.
3.已知3=4,则n等于
( )
A.5 B.7 C.10 D.14
【解析】选B.由×3=×4,
得(11-n)(10-n)=12,解得n=7,n=14(舍).
【延伸探究】在本题中将“3=4”改为“3<4(n≠9)”,则n的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选D.根据排列数的阶乘式可知
×3<×4,
整理得(11-n)(10-n)<12,解得7又因为n-1≤8,n-2≤9(n≠9),所以7因为n∈N
,所以n=8.
【拓展延伸】中的三个隐含条件
(1)m,n∈N
.
(2)m≤n.
(3)的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出问题的解.
4.给出下列四个关系式:
①n!=;②=n;
③=;④=.
其中正确的个数为
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.由=可知:=,故④不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.某人射击8枪,命中4枪,则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________.?
【解析】先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起,然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列,有=20种.
答案:
20
6.(2020·六安高二检测)计算:=________.?
【解析】==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法.若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法?
(2)从集合M={1,2,…,9}中,任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1.可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1?
(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?可确定多少条射线?
【解析】(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小关系一定;在双曲线-=1中,不管a>b还是a(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
8.8个人排成一排.
(1)共有多少种不同的排法?
(2)8个人排成两排,前后两排各4人共有多少种不同的排法?
(3)8个人排成两排,前排3人,后排5人,共有多少种不同的排法?
【解析】(1)由排列的定义知共有种不同的排法.
(2)8人排成前后两排,相当于排成一排,从中间分成两部分,其排列数等于8人排成一排的排列数.也可以分步进行,第一步:从8人中任选4人放在前排共有种排法,第二步:剩下的4人放在后排共有种排法,由分步乘法计数原理知共有×=种排法.
(3)同(2)的分析可知,共有×=(种).
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·烟台高二检测)2020×2019×2018×2017×…×1981×1980等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.根据题意,2020×2019×2018×2017×…×1981×1980=.
2.(5分)若S=++++…+,则S的个位数字是
( )
A.8
B.5
C.3
D.0
【解析】选C.由排列数公式知,,,…中均含有2和5的因子,故个位数均为0,所以S的个位数字应是+++的个位数字,而+++
=1+2×1+3×2×1+4×3×2×1=33,故个位数字为3.
3.(5分)某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种.?
【解析】根据题意,分3种情况讨论:
(1)当甲在首位,丙丁捆绑,自由排列,共有×=48种;
(2)当甲在第二位,首位不能是丙和丁,共有3××=36种;
(3)当甲在第三位,前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况,共×+××=36种,
因此共48+36+36=120种.
答案:120
4.(5分)满足不等式>12的n的最小值为________.?
【解析】由排列数公式得>12,
即(n-5)(n-6)>12,
解得n>9或n<2.
又n≥7,所以n>9,
又n∈N
,所以n的最小值为10.
答案:10
5.(10分)已知=89,则n的值为________.?
【解析】根据题意,=89,则=90,变形可得=90,
则有=90×,
变形可得:(n-5)(n-6)=90,
解可得:n=15或n=-4(舍);
故n=15.
答案:15
1.化简:+++…+=________.?
【解题指南】根据=-=-,然后各项相加后相消可得结果.
【解析】因为=-=-,
所以+++…+=++…+=1-.
答案:1-
2.求证:+m+m(m-1)=(n,m∈N
,n≥m>2).
【证明】因为左边=+m+
m(m-1)=
=
====右边,
所以等式成立.
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