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课时素养评价
四 组合与组合数、组合数的性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列问题中,是组合问题的是
( )
A.设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个
B.某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票
C.3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法
D.把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法
【解析】选AD.A、因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.
B、因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题.
C、因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题.
D、因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题.
【加练·固】
以下四个命题,属于组合问题的是
( )
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【解析】选C.从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.
【类题·通】判断一个问题是否是组合问题的流程
2.集合M={x|x=,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是
( )
A.M∪Q={0,1,2,3,4}
B.Q?M
C.M?Q
D.M∩Q={1,4}
【解析】选D.由知n=0,1,2,3,4,因为=1,=4,==6,==4,=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.
3.方程=的解集为
( )
A.{1,3}
B.{3,5}
C.(1,3)
D.{1,3,5,-7}
【解析】选A.因为=,所以x2-x=5x-5
①,或(x2-x)+(5x-5)=16
②,解①可得x=1或x=5(舍去),解②可得x=3或x=-7(舍),所以该方程的解集是{1,3}.
4.若-=,则n等于
( )
A.12
B.13
C.14
D.15
【解析】选C.因为-=,即=+=,所以n+1=7+8,即n=14.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.平面凸n边形的对角线的条数为________.?
【解析】从n个顶点中任选2个可形成条线段,其中有n条线段是凸n边形的边,故对角线条数为-n=条.
答案:
6.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.?
【解析】因为m=,n=,所以m∶n=1∶2.
答案:1∶2
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.解不等式>+2+.
【解题指南】由题中的,,想到先用性质化简不等式,再进一步求解.
【解析】因为=,所以原不等式可化为
>(+)+(+),
即>+,也就是>,
所以>,
即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.
又n∈N
,n≥5.所以n≥9且n∈N
.
8.(1)解方程:3=5.
(2)求值+.
【解题指南】(1)根据排列数与组合数的阶乘公式将原方程转化为关于x的二次方程求解.
(2)根据上下标的大小关系得到r的可能取值,代入求得组合数的值.
【解析】(1)由排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,
则=,
即为(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-2.
经检验知x=11是原方程的解,所以方程的解为x=11.
(2)由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N
,所以r=7,8,9,
当r=7时,原式=+=46;
当r=8时,原式=+=20;
当r=9时,原式=+=46.
(15分钟·30分)
1.(5分)算式可以表示为
( )
A.
B.
C.21
D.21
【解析】选D.
==×21=21.
2.(5分)(+)÷的值为
( )
A.6
B.101
C.
D.
【解析】选C.(+)÷=(+)÷
=÷=÷==.
3.(5分)+++…+=________.?
【解析】+++…+=+++…+=++…+
=++…+=…=+==220.
答案:220
4.(5分)(2020·扬州高二检测)已知=++,则x=________.?
【解析】因为=++,
所以=+,所以-=,
所以=,所以x=2x-3,或x+2x-3=9,
解得x=3,或x=4.
答案:3或4
【加练·固】
已知x,y满足组合数方程=,则xy的最大值是________.?
【解析】因为x,y满足组合数方程=,
所以2x=y,0≤x≤8或2x+y=17,所以xy=2x2∈[0,128],或2xy≤=,即xy≤.(当且仅当x=y=时,取“=”)
综上,当2x=y=16时,xy取最大值128.
答案:128
5.(10分)求20=4(n+4)+15中n的值.
【解析】原方程可化为20×
=4(n+4)×+15(n+3)(n+2),
即
=+15(n+3)(n+2),
所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,
即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.注意到n≥1且n∈N
,所以n=2.
1.若-=(n∈N
),则n等于
( )
A.11
B.12
C.13
D.14
【解析】选B.根据题意,-=变形可得,=+;
由组合数的性质可得,+=,即=,
则可得到n+1=6+7?n=12.
2.(2020·上海高二检测)推广组合数公式,定义=,其中x∈R,m∈N
,且规定=1.
(1)求的值.
(2)设x>0,当x为何值时,函数f(x)=取得最小值?
【解析】(1)==3
060.
(2)==.
因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,所以当x=时,取得最小值.
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第2课时 组合数的应用
关键能力·素养形成
类型一 简单的组合问题
【典例】1.(2020·西安高二检测)楼道里有9盏灯,为了节约用电,需关掉3盏互不相邻的灯,为了行走安全,第一盏和最后一盏不关,则关灯方案的种数为
( )
A.10
B.15
C.20
D.24
2.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名.
(2)至少有1名女运动员.
(3)既要有队长,又要有女运动员.
【思维·引】
1.将亮的6盏灯排一列,然后使用“插空法”.
2.(1)根据组合数公式将问题分步进行.(2)分四类求解,也可以用间接法.(3)分两类:男队长、女队长,当是男队长时再选女队员,最后选男队员,当是女队长时,其余队员可以任意选.
【解析】1.选A.先把亮的6盏灯排成一列,然后把需要关的灯插入到这6盏灯中
除了两端的空中,故有
=10种.
2.(1)第一步:选3名男运动员,有
种选法;第二步:选2名女运动员,有
种
选法,故共有
·
=120(种)选法.
(2)方法一(直接法):“至少有1名女运动员”包括以下几种情况,1女4男,2女3
男,3女2男,4女1男.
由分类加法计数原理知共有
=246(种)选法.
方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有
种选法,其中全是男运动
员的选法有
种,故“至少有1名女运动员”的选法有
-
=246(种).
(3)当有女队长时,其他人选法任意,共有
种选法;不选女队长时,必选男队长,
共有
种选法,其中不含女运动员的选法有
种,故不选女队长时共有
种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有
=191(种).
【内化·悟】
1.在解决排列组合的综合问题时要注意哪些问题?
提示:在解决此类问题时,要注意题中的隐含条件;解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”;在应用分类加法计数原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏.
2.在选择解题方法时,何时采用直接法,何时采用间接法?
提示:正面考虑情况较多时通常采用间接法,在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.
【类题·通】
解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关,而组合问题与取出对象的顺序无关.
(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用.
提醒:在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.
【习练·破】
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学
只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方
法共有
( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
【解析】选C.甲场馆安排1名有
种方法,乙场馆安排2名有
种方法,丙场馆安
排3名有
种方法,所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有
=60种.
2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人.
(2)甲、乙、丙三人必须参加.
(3)甲、乙、丙三人不能参加.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
(6)甲、乙、丙三人至多2人参加.
【解析】(1)有
=792种不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有
=36种不同的
选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有
=126种不同的
选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有
=3
种选法,再从另外的9人中选4人,有
种选法,共有
=378种选法.
(5)方法一(直接法):
可分为三类:
第一类:甲、乙、丙中有1人参加,共有
=378种;
第二类:甲、乙、丙中有2人参加,共有
=252种;
第三类:甲、乙、丙中有3人参加,共有
=36种;
共有
+
+
=666种不同的选法.
方法二(间接法):12人中任意选5人,共有
种,甲、乙、丙三人都不能参加的
有
种,所以,共有
-
=666种不同的选法.
(6)方法一(直接法):甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:
第一类:甲、乙、丙都不参加,共有
种;
第二类:甲、乙、丙中有1人参加,共有
种;
第三类:甲、乙、丙中有2人参加,共有
种.
共有
+
+
=756种不同的选法.
方法二(间接法):12人中任意选5人,共有
种,甲、乙、丙三人全参加的有
种,所以,共有
-
=756种不同的选法.
【加练·固】
将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法?
(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?
(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?
(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?
【解析】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入
盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.
(2)这是全排列问题,共有
=24(种)放法.
(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有
种选法,把它与其他两个球共三个
对象分别放入四个盒子中的三个盒子,有
种投放方法,所以共有
=144(种)
放法.
(4)一个球的编号与盒子编号相同的放法有
种,当一个球与一个盒子的编号
相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有
×2=8(种)
放法.
类型二 与几何有关的组合应用题
【典例】1.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为
( )
A.205 B.110 C.204 D.200
2.平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等),此外任何三点不共线.
(1)过每两点连线,可得几条直线?
(2)以一点为端点,作过另一点的射线,这样的射线可作出几条?
(3)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?
【思维·引】1.从共面的五个点中取0个、1个、2个、3个分四类进行,再结合组合数公式求解.也可以用间接法.
2.(1)从9个点任取2个点,除去共线的情况即可.(2)根据射线的定义,结合题目中点是共线还是不共线进行讨论.(3)向量有方向,所以直接取出点即可.
【解析】1.选A.方法一:可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分
类,则得到所有的取法总数为
方法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情
况,得到所有构成四面体的个数为
=205.
2.(1)任取两点共有
种取法,共线四点任取两点有
种取法,所以共有直线
+1=31条.
(2)不共线的五点可连得
条射线,共线的四点中,外侧两点各可发出1条射线,
内部两点各可发出2条射线,而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点
而形成的射线有
条,故共有
+2×1+2×2+
=66条射线.
(3)任意两点之间,可有方向相反的2个向量各不相等,则可有
=72个向量.
【内化·悟】
1.常见的与几何有关的组合问题有哪些?
提示:异面直线的条数问题、四面体个数问题、三角形的个数问题、射线的条数问题等.
2.解几何有关的组合问题关键是什么?
提示:一是读懂题意,即需细审题,明晰题目的要求;二是会数形结合,即画出符合题意的平面几何或立体几何的草图,由图形来观察题中所限制的条件;三是会用公式,即会利用排列数与组合数的公式进行计算求值.
【类题·通】
解几何有关的组合应用题的解题策略
(1)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.
(2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决.
【习练·破】
如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?
(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
【解析】(1)方法一:可作出三角形
=116(个).
方法二:可作三角形
=116(个),其中以C1为顶点的三角形有
=36(个).
(2)可作出四边形
=360(个).
【加练·固】
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
( )
A.70个 B.64个 C.58个 D.52个
【解析】选C.正方体的8个顶点中任取4个共有
=70个,不能组成四面体的4个
顶点有6个,已有6个面,对角面有6个,所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体
共有70-12=58个.
类型三 组合应用中的分组分配问题
角度1 不同对象分组分配问题
【典例】有6本不同的书,按下列分配方式分配,则共有多少种不同的分配方式?
(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本.
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本.
(3)分成三组,每组都是2本.
(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.
【思维·引】
(1)先从6本书中取出一本作为一组,再从剩余的5本中任取2本作为一组,则其余
3本为一组.(2)在(1)分组的基础上进行排列即可.(3)先从6本书中取出2本作为
一组,再从剩余的4本中任取2本作为一组,则其余2本为一组,其中有重复须除
以
.(4)在(3)中分组的基础上排列即可.
【解析】(1)分三步:先选一本有
种选法,再从余下的5本中选两本有
种选
法,最后余下的三本全选有
种选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有
=60(种).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)问的基础上,还应考虑再分配问题.
因此,分配方式共有
=360(种).
(3)先分三组,有
种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为
A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记
为(AB,CD,EF),但
种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),
(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共
种情况,而这
种情况只能作为一种分法,故分
配方式有
=15(种).
(4)在(3)的基础上再分配即可,共有分配方式
=90(种).
【素养·探】
在解不同对象分组分配问题的过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择合适的排列组合公式,再结合计数原理进行计算.
将本例中这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则结果如何?
【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则有(3,1,1,1)
和(2,2,1,1)两种.
当为(3,1,1,1)时,有
种分组方法,所以有
=480种分法;当为(2,2,1,1)
时,有
种分法,所以有
=1
080种分法.
角度2 相同对象分配问题
【典例】1.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
A.30 B.21 C.10 D.15
2.6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.
①每个盒子都不空;
②恰有一个空盒子;
③恰有两个空盒子.
【思维·引】
1.由于名额之间没有差别,只需将10个名额分成三部分即可.
2.①6个小球是相同的,所以只要将6个小球分隔成4组即可.②先选出一个空盒,再将6个小球分隔成3组.③在6个小球的7个空隙中放入5个隔板,在其中各有两个隔板放到同一个间隙中.
【解析】1.选D.用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔
板,有
=15(种)分配方法.
2.①先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球
之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有
=10(种).
②恰有一个空盒子,插板分两步进行.
先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如
|0|000|00|,有
种插法,然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空
盒,如|0|000||00|,有
种插法,故共有
=40(种).
③恰有两个空盒子,插板分两步进行.
先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,
有
种插法,如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
其一:这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如||00||0000|,有
种
插法.
其二:将两块板与前面三块板之一并放,如|00|||0000|,有
种插法.
故共有
=30(种).
【类题·通】
1.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种.
①完全均匀分组,每组的对象个数均相等;
②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题.
分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
2.相同对象分配问题的建模思想
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小
球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的
方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同
对象的分配问题.
(2)将n个相同的对象分给m个不同的对象(n≥m),有
种方法.可描述为n-1个
空中插入m-1块板.
【习练·破】
1.有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,问有多少种不同的分配方案?
( )
A.680 B.816 C.1
360 D.1
456
【解析】选A.先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个
苹果有17个空,插入三个“板”,共有
=680种方法,故有30个完全相同的苹果,
分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.
2.(2020·南充高二检测)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情,现把5名专家分配到A,B,C三个集中医疗点,每个医疗点至少要分配1人,其中甲专家不去A医疗点,则不同分配种数为
( )
A.116
B.100
C.124
D.90
【解析】选B.根据题意,分2步进行分析:
①将5名医学专家分为3组,
若分为2、2、1的三组,有
=15种分组方法,
若分为3、1、1的三组,有
=10种分组方法,
则有15+10=25种分组方法;
②将分好的三组分派到三个医疗点,甲专家所在组不去A医疗点,有2种情况,再将剩下的2组分派到其余2个医疗点,有2种情况,则3个组的分派方法有2×2=4种情况,则有25×4=100种分配方法.
课堂检测·素养达标
1.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,
则不同的选修方案共有
( )
A.36种 B.48种 C.96种 D.192种
【解析】选C.甲选2门有
种选法,乙选3门有
种选法,丙选3门有
种选法.
所以共有
·
·
=96(种)选法.
2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球,从中取2个球,则这两个球同
色的不同取法有
( )
A.27种
B.24种
C.21种
D.18种
【解析】选C.分两类:一类是2个白球有
=15种取法,另一类是2个黑球有
=6种取法,所以取法共有15+6=21(种).
3.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识,网购鲜花速递行业迅速兴起.佳佳为祝福母亲的生日,准备在网上定制一束混合花束.客服为佳佳提供了两个系列,如下表:
粉色系列
黄色系列
玫 瑰
戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山
假日公主、金辉、金香玉
康乃馨
粉色、小桃红、白色粉边
火焰、金毛、黄色
配 叶
红竹蕉、情人草、满天星
散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊
佳佳要在两个系列中选一个系列,再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束.请问佳佳可定制的混合花束一共有________种.?
【解析】若选粉色系列有
种选法,若选黄色系列有
种选法,
佳佳可定制的混合花束一共有
=54+54=108种.
答案:108
4.(2020·天津高二检测)从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表,若这3人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有_______种.(用数字作答)?
【解析】根据题意,分2步进行分析:
①从3名男生和3名女生中选出3人,要求这3人中必须既有男生又有女生,
则有
=18种情况,
②将选出的3人全排列,安排担任三个不同学科课代表,有
=6种情况,
则有18×6=108种选法.
答案:108
【新情境·新思维】
(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,有多少种不同的取法?
(2)四面体的顶点和各棱的中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?
【解析】(1)如图所示,在含顶点A的四面体的3个面上,除点A外都有5个点,从中任意取出3个点必与点A共面,共有3
种取法;
在含顶点A的3条棱上各有3个点,它们与所对的棱的中点共面,共有3种取法.
根据分类加法计数原理,与顶点A共面的3个点的取法有3
+3=33(种).
(2)从10个点中取4个点的取法有
种,减去4点共面的取法种数就可以得到结
果.
从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面,有4
=60(种);
四面体的每一条棱上的3个点与相对的棱的中点共面,共有6种共面情况;
从6条棱的6个中点中取4个点时有3种共面情况(对棱中点连线两两相交且互相
平分).
故4点不共面的取法有
-(60+6+3)=141(种).(共49张PPT)
3.1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数、组合数的性质
1.组合的定义
从n个不同对象中取出m(n≥m)个对象合成一组,叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.
必备知识·素养奠基
【思考】
(1)组合对对象有何要求?
提示:组合要求n个对象是不同的,被取出的m个对象也是不同的.
(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取?
提示:无放回抽取,即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数
定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有_________的
个数,叫做从n个不同对象中取出m个对象的组合数
表示法
___
组合数
公式
乘积
式
阶乘
式
性
质
备
注
①n，m∈N
且m≤n，②规定：
不同组合
【思考】
组合数的两个性质在计算组合数时有何作用?
提示:第一个性质中,若
,通常不直接计算
,而改为计算
,这样可以
减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两
个组合数合成一个组合数,在解题中要注意灵活运用.
【基础小测】
思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.
( )
(2)由于组合数的两个公式都是分式,所以结果不一定是整数.
( )
(3)区别组合与排列的关键是看问题对象是否与顺序有关.
( )
提示:(1)×.由于两个数相除与顺序有关,所以是排列问题.
(2)×.
是从n个对象中取m个对象的情况的种数,故
一定是正整数.
(3)√.组合与排列不同之处是组合选出的对象没有顺序而排列有顺序.
关键能力·素养形成
类型一 组合的概念
【典例】1.给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?
(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?
(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?
(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?
在上述问题中,________是组合问题,________是排列问题.?
2.判断下列各事件是排列问题还是组合问题.
(1)8个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?
(2)8个朋友相互各写一封信,一共写了多少封信?
(3)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?
(4)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个?
【思维·引】
1.根据组合的定义判断.
2.结合给出的事件以及排列与组合的定义判断.
【解析】1.(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.
(2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.
答案:(1)(3) (2)(4)
2.(1)每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题.
(2)每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的.
(3)是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到不同的三位数.
(4)是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变.
【内化·悟】
定序问题是排列问题还是组合问题?
提示:定序是指某些对象的顺序是一定的,即顺序对对象不再产生影响,所以是组合问题.
【类题·通】
排列、组合问题的判断方法
(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序.
(2)区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个对象的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
【习练·破】
判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10人规定相互通一次电话,共通多少次电话?
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次?
(3)10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能?
(4)从10个人中选出3个代表去开会,有多少种选法?
(5)从10个人中选出3个不同学科的科代表,有多少种选法?
【解析】(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电
话,没有顺序的区别,组合数为
=45.
(2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的
区别,组合数为
=45.
(3)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是
不一样的,是有顺序区别的,排列数为
(4)是组合问题,因为三个代表之间没有顺序的区别,组合数为
(5)是排列问题,因为三个人中,担任哪一科的科代表是有顺序区别的,排列数
为
【加练·固】
判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来.
(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个对象的有多少?
(2)8人相互发一个电子邮件,共发了多少个邮件?
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?
【解析】(1)已知集合的对象具有无序性,因此含3个对象的子集个数与对象的
顺序无关,是组合问题,共有
个.
(2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共发了
个电子邮件.
(3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题,有
种飞
机票;票价只与两站的距离有关,故票价的种数是组合问题,有
种票价.
类型二 组合数公式及其应用
角度1 组合的列举问题
【典例】1.从5个不同的对象a,b,c,d,e中取出2个,列出所有的组合为______.?
2.写出从A,B,C,D,E5个对象中,依次取3个对象的所有组合.
【思维·引】
1.根据组合的定义即可将组合一一列出.
2.选出一个抽取对象的方向将组合意义列出,要做到不重不漏.
【解析】1.要想列出所有组合,做到不重不漏,先将对象按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.
答案:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de
2.所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.
【素养·探】
在列举组合的过程中,经常利用核心素养中的数据分析,通过对条件的分析,选择合适的角度,根据组合的定义将组合列出.
把本例1中的a,b,c,d,e看作铁路线上的5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价?
【解析】因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的,故是排列问题,有
=20(种);但票价与顺序无关,“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价,
故是组合问题,因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的,但票价一样,
所以票价的种数是车票种数的一半,故共有
×20=10(种)不同的票价.
角度2 与组合数有关的计算
【典例】1.计算
=________.?
2.计算
的结果为________.?
【思维·引】1.根据组合数公式进行计算.
2.求出n的值,再由组合数公式进行计算.
【解析】1.原式=
-7×6×5=210-210=0.
答案:0
2.
解得4≤n≤5.又因为n∈N
,
所以n=4或n=5.
当n=4时,原式=
当n=5时,原式=
答案:5或16
【类题·通】
巧用组合数公式解题
(1)涉及具体数字的可以直接用
进行计算.
(2)涉及字母的可以用阶乘式
计算.
(3)计算时应注意利用组合数的性质
简化运算.
【发散·拓】
1.在计算与组合数有关的问题时,一般根据所要计算的组合数的特点,若含有
具体数字应选用乘积式;若含有字母则选用阶乘式.
2.在组合数的计算过程中要注意题目中的隐含条件,简化解题过程,如组合数
的隐含条件为m≤n,且m,n∈N
.
【延伸·练】计算
的值.
【解析】因为
所以9.5≤n≤10.5.
因为n∈N
,所以n=10,所以
=466.
【习练·破】
1.某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的距离,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有
( )
A.22种
B.24种
C.25种
D.27种
【解析】选D.根据题意,正方形ABCD的边长为2个单位,则其周长是8个单位,
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处,则三次骰子的点数之和是8或16,
若三次骰子的点数之和是8,有1、1、6,1、2、5,1、3、4,2、2、4,2、3、3,
共5种组合,若三次骰子的点数之和是16,有4、6、6,5、5、6,共2种组合,
其中1、1、6,2、2、4,2、3、3,4、6、6,5、5、6,这5种组合有
=3种顺序,
1、2、5,1、3、4,这2种组合有
=6种顺序,
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共3×5+2×6=27种.
2.(2020·青岛高二检测)
可表示为
( )
【解析】选D.
【加练·固】
若
则n=
( )
A.8
B.7
C.6
D.5
【解析】选D.由题意知,3n(n-1)(n-2)-6n(n-1)=4×
解得n=5（n=
舍去）.
类型三 组合数性质的应用
【典例】1.计算
的值为
( )
2.若
,则x的值为________.?
3.求证:
【思维·引】1.先增加一项
,根据组合数的性质逐步运算,最后再减去
即可.
2.根据组合数的性质找到关于x的整式方程求解.
3.将等式的右侧进行整合后根据组合数的性质化简.
【解析】1.选C.
2.由
得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2.
答案:2或4
3.由组合数的性质
可知,
右边=
=左边,
右边=左边,所以原式成立.
【内化·悟】
在解题过程中易产生增根的原因是什么?
提示:在求与组合数有关的问题过程中,易忽略参数的取值范围而产生增根.
【类题·通】
性质“
”的意义及作用
【习练·破】
1.(多选题)
等于
( )
【解析】选BD.由组合数的性质得:
2.方程
的解集为
( )
A.{4} B.{14} C.{4,6} D.{14,2}
【解析】选C.因为
,所以x=2x-4或x+2x-4=14,所以x=4或x=6.经检验
知x=4或x=6符合题意,故方程
的解集为{4,6}.
3.若1
不相等的是
( )
【解析】选D.
A中,
B中,
C中,
D中,
故不相等.
【加练·固】
的值为________.?
【解析】原式可变为
由
得
……
所以
答案:5
985
课堂检测·素养达标
1.
=
( )
A.9 B.12 C.15 D.3
【解析】选A.由题意得
=4×3-
=12-3=9.
2.若
则m等于
( )
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】选C.因为
所以
即1=
,解得m=7.
3.不等式
的解为________.?
【解析】由题意知3≤n≤12,且n∈N
,
由题意得
解得n<7.5,所以n=3,4,5,6,7.
答案:n=3,4,5,6,7
4.判断下列问题是排列问题还是组合问题:
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法?
【解析】(1)是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.
(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.
(3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.
【新情境·新思维】
某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同
的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同
的选择,则餐厅至少还需准备多少品种不同的素菜.(结果用数值表示)
【解析】设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.
由题意,得
≥200,
从而有
≥20.即x(x-1)≥40,解得x≥
≈6.8,
所以x≥7,至少准备7种不同的素菜.温馨提示：
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课时素养评价
五 组合数的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为
( )
A.6 B.12 C.24 D.36
【解析】选B.甲和另一个人一起分到A班有=6种分法,甲一个人分到A班的方法有:=6种分法,共有12种分法.
【发散·拓】解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“对象”,哪些是“位置”.
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些对象的位置有、无限制等.
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的对象分成互相排斥的几类,然后逐类解决.
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.
2.某密码锁共设四个数位,每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任一个.现密码破译者得知:甲所设的四个数字有且仅有三个相同;乙所设的四个数字有两个相同,另两个也相同;丙所设的四个数字有且仅有两个相同;丁所设的四个数字互不相同.则上述四人所设密码最安全的是
( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选C.甲共有=64种不同设法,乙共有=36,丙共有=
144,丁共有=24,所以丙最安全.
3.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为
( )
A.60
B.90
C.120
D.130
【解题指南】题设条件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3意味着x1,x2,x3,x4,x5有4个,3个,2个元素为0.
【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为±1、仅2个数为±1或仅3个数为±1,所以共有×2+
×2×2+×2×2×2=130个不同数组.
4.在同一个袋子中含有不同标号的红、黑两种颜色的小球共有8粒,从红球中选取2粒,从黑球中选取1粒,共有30种不同的选法,其中黑球至多有
( )
A.2粒 B.4粒 C.3粒 D.5粒
【解析】选C.设黑球有x粒,则红球有(8-x)粒,则=30,由于0,所以容易检验,当x=2,3时,等式=30成立.
【类题·通】(1)组合问题的常见题型有“必选问题”“不选问题”“恰选问题”“至多问题”“至少问题”“既有……,又有……问题”,在解题时应加以区别,正确解答.
(2)“至多问题”“至少问题”“既有……,又有……问题”一般都有直接法和间接法两种做法,应根据具体情况进行选择.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.直角坐标平面xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有________个.?
【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条,在垂直于y轴的6条直线中任取2条,四条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为=15×15=225(个).
答案:225
6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动,每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会导游但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________.(用数字作答)?
【解析】根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了导游的三项工作之一:×=18种;
②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况:(1)丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作,有××=3×2×3×2=36种;
(2)甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作:×××=72种.
由分类加法计数原理,可得共有18+36+72=126种.
答案:126
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.对于各数互不相等的正整数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数),如果在p>q时有ip>iq,则称ip和iq是该数组的一个“好序”,一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”,例如,数组(1,3,4,2)中有好序“1,3”,“1,4”,
“1,2”,“3,4”,其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,求(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”.
【解题指南】对应于含有n个数字的数组中,首先做出任取两个数字时可以组成的数对,减去逆序的个数,得到结果.
【解析】因为各数互不相等的正整数组
(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,
(a6,a5,a4,a3,a2,a1)中任取两个的组合有=15个,所以(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”是15-2=13.
8.有8名男生和5名女生,从中任选6人.
(1)有多少种不同的选法?
(2)其中有3名女生,有多少种不同的选法?
(3)其中至多有3名女生,有多少种不同的选法?
(4)其中有2名女生,4名男生,分别负责6种不同的工作,共有多少种不同的分工方法?
(5)其中既有男生又有女生,有多少种不同的选法?
【解析】(1)适合题意的选法有=1
716种.
(2)第1步,选出女生,有种;第2步,选出男生,有种.由分步乘法计数原理知,适合题意的选法有×=560种.
(3)至多有3名女生包括:没有女生,1名女生,2名女生,3名女生四类情况.
第1类没有女生,有种;第2类1名女生,有×种;第3类2名女生,有×种;第4类3名女生,有×种.
由分类加法计数原理知,适合题意的选法共有
+×+×+×=1
568种.
(4)第1步,选出适合题意的6人,有×种;
第2步,给这6人安排6种不同的工作,有种.
由分步乘法计数原理知,适合题意的分工方法共有××=504
000种.
(5)用间接法,排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法.而由题意知不可能6人全是女生,所以只需排除全是男生的情况,所以有
-=1
716-28=1
688种选法.
(15分钟·30分)
1.(5分)在200件产品中有3件次品,现从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有
( )
A.种
B.种
C.种
D.种
【解析】选D.根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,
“有2件次品”的抽取方法有种,“有3件次品”的抽取方法有种,则共有+种不同的抽取方法,故选D.
【加练·固】
用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室,一种颜色粉刷3间,一种颜色粉刷2间,一种颜色粉刷1间,则粉刷这6间办公室,不同的安排方法有
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.选固定一种粉刷方法,如黄色粉刷3间,蓝色粉刷2间,白色粉刷1间.则有种,三种颜色互换有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的方案有种.
2.(5分)中国足球超级联赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某赛季甲球队打完15场比赛后,球队积分是30分,则该队胜、负、平的情况共有
( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
【解题指南】首先该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,根据题意可得方程组然后根据取值范围,结合x,y,z是非负整数即可求得结论.
【解析】选A.设该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,且满足
由②得y=3,代入①得z=2x-15,
又因为0≤y≤15,0≤z≤15,
所以所以7.5≤x≤10,
因为x,y,z是非负整数,所以x的值为8,9,10,
当x=8时,y=6,z=1;当x=9时,y=3,z=3;
当x=10时,y=0,z=5;所以比赛结果是:胜8场、平6场、负1场,胜9场、平3场、负3场,或是胜10场、平0场、负5场,故共有3种情况.
3.(5分)(2020·日照高二检测)为做好社区新冠肺炎疫情防控工作,需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作,其中甲小区至少分配两名志愿者,其他三个小区至少分配一名志愿者,则不同的分配方案共有________种.(用数字作答)?
【解析】若甲小区分配3人,甲小区有种情况,剩下的3个小区有种情况,此时有=120种分配方法,
若甲小区分配2人,甲小区有种情况,剩下的3个小区有种情况,此时有=540种分配方法,
则有120+540=660种不同的分配方法.
答案:660
4.(5分)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺丝,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有________种.?
【解析】先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有种方法,然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有种方法,所以总共的固定方式有=48种.
答案:48
5.(10分)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
【解析】依0与1两个特殊值分析,可分三类:
(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有种方法;0可在后两位,有种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有·22个.
(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数有·22·个.
(3)0和1都不取,有不同三位数·23·个.
综上所述,不同的三位数共有
·22+·22·+·23·=432(个).
1.集合S={1,2,3,…,20}的4元子集T={a1,a2,a3,a4}中,任意两个元素的差的绝对值都不为1,这样的4元子集的个数为________个.?
【解题指南】不妨设a1【解析】不妨设a1故有a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,
将a2,a3,a4分别减去1,2,3,这时a1,a2-1,a3-2,a4-3相当于从1,2,3,4,…,17中任意选出4个,所有的取法共有=2
380种不同的取法.
答案:2
380
2.(2020·广州高二检测)如图,从左到右有5个空格.
(1)若向这5个格子中填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少不同的填法?
(2)若给这5个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红黄蓝3种颜色可供使用,问一共有多少种不同的涂法?
(3)若向这5个格子中放入7个不同的小球,要求每个格子里都有球,问有多少种不同的放法?
【解题指南】(1)根据题意,分2步进行分析:①分析0;②将其余的4个数字全排列,安排在其他四个格子中,由分步乘法计数原理计算可得答案;
(2)根据题意,依次分析5个格子的涂色方法数目,由分步乘法计数原理计算可得答案;
(3)根据题意,分2步进行分析:①将7个小球分成5组,有2种分法,分组时,注意平均分组问题;②将分好的5组全排列,对应5个空格,由分步乘法计数原理计算可得答案.
【解析】(1)根据题意,分2步进行分析:
①第三个格子不能填0,则0有4种选法;
②将其余的4个数字全排列,安排在其他四个格子中,有种情况,
则一共有4=96种不同的填法.
(2)根据题意,第一个格子有3种颜色可选,即有3种情况,
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同,有2种颜色可选,即有2种情况,
同理可得:第三、四、五个格子都有2种情况,
则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法.
(3)根据题意,分2步进行分析:
①将7个小球分成5组,有2种分法:
若分成2,2,1,1,1的5组,有种分组方法,
若分成3,1,1,1,1的5组,有种分组方法,
则共有种分组方法,
②将分好的5组全排列,对应5个空格,有种情况,
则一共有=16
800种放法.
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