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课时素养评价
六 二项式定理
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于( )
A.2n
B.2n-1
C.3n
D.1
【解析】选C.原式=(2+1)n=3n.
2.(2017·全国卷Ⅰ)(1+x)6展开式中x2的系数为
( )
A.15
B.20
C.30
D.35
【解析】选C.(1+x)6展开式中含x2的项为1·x2+·x4=30x2,故x2的系数为30.
【类题·通】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含x2的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.
3.在(+)12的展开式中,含x的正整数次幂的项共有
( )
A.4项 B.3项 C.2项 D.1项
【解析】选B.(+)12的展开式的通项为Tr+1=()12-r()r=
(0≤r≤12),6-(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.
4.(2020·广州高二检测)若的展开式中常数项等于-20,则a=
( )
A.
B.-
C.1
D.-1
【解析】选C.的展开式的通项公式为Tk+1=(ax)6-k=(-1)ka6-kx6-2k.
当k=3时,常数项为(-1)3a3=-20,解得a=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答).?
【解析】因为Tr+1=x2(6-r)2rx-r=2rx12-3r,
由12-3r=0,得r=4,所以的展开式中常数项是:·24=·16=15×16=240,故常数项为240.
答案:240
6.(2020·天津高二检测)的展开式中,项的系数为________.?
【解析】因为二项式展开式的通项公式为Tk+1=(2)6-k=(-1)k×26-k×x3-k;
令3-k=-1,所以k=4;
故展开式中含项的系数为×22=60.
答案:60
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知在的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.
(1)求n;
(2)求展开式中所有的有理项.
【解析】(1)依题意有∶=14∶3,化简,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意,舍去),所以n的值为10.
(2)通项公式为Tk+1=·(-1)k=(-1)k·,由题意得
解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,,x-2.
8.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中含x项的系数是19(m,n∈N
).
(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值.
(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的展开式中含x7项的系数.
【解析】(1)由题设知m+n=19,所以m=19-n,
含x2项的系数为+=+
=+
=n2-19n+171=(n-)2+.
因为n∈N
,所以当n=9或n=10时,x2项的系数的最小值为+=81.
(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2项的系数取最小值,此时x7项的系数为+=+=156.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·昆明高二检测)的展开式中,常数项为
( )
A.1
B.3
C.4
D.13
【解析】选D.由于表示4个因式的乘积,故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有2个因式取,一个因式取1,一个因式取;
故展开式中的常数项为1+×=13.
2.(5分)(多选题)(2020·济南高二检测)对于二项式(n∈N
),以下判断正确的有
( )
A.存在n∈N
,展开式中有常数项
B.对任意n∈N
,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N
,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N
,展开式中有x的一次项
【解析】选AD.该二项展开式的通项为
Tk+1=(x3)k=x4k-n,
所以当n=4k时,展开式中存在常数项,A选项正确,B选项错误;
当n=4k-1时,展开式中存在x的一次项,D选项正确,C选项错误.
3.(5分)(2020·天津高二检测)将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是________.?
【解析】将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,则倒数第三项的系数是·32=90,
求得n=5(负值舍去).
答案:5
4.(5分)(2019·浙江高考)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.?
【解析】展开式通项是:Tr+1=()9-rxr,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.
答案:16 5
5.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N
).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含x2的项.
(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?
【解析】(1)当m=3,n=4时,
f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.
(1+x)3展开式的通项为xr,
(1+2x)4展开式的通项为(2x)r,
f(x)g(x)的展开式含x2的项为
1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,
所以+2=12,
即m+2n=12,所以m=12-2n.
x2的系数为+4=+4
=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)
=4n2-25n+66=4+,n∈N
,
所以n=3,m=6时,x2的项的系数取得最小值.
1.若(x+a)2的展开式中常数项为-1,则a的值为________.?
【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式通项为Tk+1=(-1)k·xk-5,其中k=0,1,2…,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.
答案:1或9
2.设=a0+a1x+a2x2+…+arxr+…+anxn,其中q∈R,n∈N
.
(1)当q=1时,化简:.
(2)当q=n时,记An=,Bn=ar,试比较An与Bn的大小.
【解题指南】(1)当q=1时,ar=·,从而得到结果.
(2)当q=n时,由二项式定理可得An=nn+1,Bn=,猜想、归纳,用数学归纳法加以证明即可.
【解析】(1)当q=1时,ar=,
由于=·==·=·,其中r=0,1,2,…,n.
所以原式=(+++…+)=.
(2)当q=n时,ar=nn-r,
所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,
令x=1,得Bn=,
当n=1,2时,nn+1<;
当n≥3时,nn+1>,即n>.
下面先用数学归纳法证明:
当n≥3时,n>,……(☆)
①当n=3时,3>=,(☆)式成立;
②设n=k≥3时,(☆)式成立,即k>,
则n=k+1时,(☆)式右边=
=<<·k=+k也就是说,当n=k+1,(☆)式也成立.
综合①②知,当n≥3时,n>.
所以,当n=1,2时,AnBn.
【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,
所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,
令x=1,得Bn=,
要比较An与Bn的大小,即可比较与的大小,设f=,则f′=,
由f′>0,得0所以f在上递增,
由f′<0,得x>e,所以f在上递减,
所以当n=1,2时,<,An当n≥3时,>,即lnn>nln,即lnnn+1>ln,即An>Bn,
综上所述,当n=1,2时,AnBn.
【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,
所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,
令x=1,得Bn=,
当n=1,2时,nn+1<;当n≥3时,nn+1>.
下面用数学归纳法证明:nn+1>,n≥3,n∈N
,……(
)
①当n=3时,33+1=81,=64,因为81>64,所以(
)式成立;
②设n=k≥3时,(
)式成立,即有kk+1>,所以>1(因为>0).
又因为>k,即>,
所以=·>·=>1,即>,所以,当n=k+1时,(
)式也成立.
综合①②,对任何n≥3,n∈N
,nn+1>都成立.所以,当n=1,2时,AnBn.
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3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
1.二项式定理
必备知识·素养奠基
2.二项展开式的特点
(1)展开式共有n+1项.
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.
(3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n.
【思考】
(1)二项展开式中的项
an-rbr是第几项?
提示:
an-rbr是(a+b)n的第r+1项.
(2)二项式中a,b能否交换位置,二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项是否相
同?
提示:不能,(a+b)n展开式中的第r+1项为
an-rbr,(b+a)n展开式中的第r+1项
为
bn-rar,两者是有区别的,所以在应用二项式定理时,a和b不能随便交换位
置.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.
( )
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
( )
(3)(a+b)n的展开式中一定有常数项.
( )
提示:(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数都为1时两者相等.
(2)√.(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
(3)×.(a+b)n的展开式中通项
an-rbr的次数不一定为0.
2.
的展开式共有11项,则n等于
( )
A.9
B.10
C.11
D.8
【解析】选B.
的展开式共有n+1项,所以n+1=11,故n=10.
3.(2020·台州高二检测)二项式(1-2x)9的展开式中x6的系数为
( )
【解析】选C.二项式(1-2x)9=
(-2x)+…+
(-2x)k+…+
(-2x)9,其展
开式中x6的系数为:
.
4.二项式(x2+
)5的展开式中,x7的系数为________.(用数字填写答案)?
【解析】利用二项式系数公式Tr+1=
,
故10-
r=7,r=2,所以为
=10.
答案:10
关键能力·素养形成
类型一 二项式定理的正用、逆用
【典例】1.化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=________.?
2.写出
的展开式并化简.
【思维·引】
1.先将式中的系数改写为组合数,再结合二项式定理求解.
2.直接利用二项式定理展开即可.
【解析】1.原式=
(x-1)5+
(x-1)4+
(x-1)3+
(x-1)2+
(x-1)+
-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
答案:x5-1
2.
=
x420+
x321+
x222+
x123+
x024=x4+8x3+24x2+32x+16.
【内化·悟】
1.逆用二项式定理化简的关键是什么?
提示:关键是将原式改写成二项展开式的形式.
2.在利用二项式定理展开时应注意什么问题?
提示:要明确所要展开的代数式中哪些量对应二项式定理中的a,b,n,同时还要注意各项的符号.
【类题·通】
运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
提醒:逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(a-b)n的形式.
【习练·破】
1.(2020·福州高二检测)若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a0=( )
A.-32
B.-2
C.1
D.32
【解析】选D.x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,
令x-2=0,即x=2,可得a0=25=32.
2.用二项式定理展开(x+2y)4.
【解析】(x+2y)4
=
x4+
x3(2y)+
x2(2y)2+
x(2y)3+
(2y)4
=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
【加练·固】
1.设f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f(2)=________.?
【解析】f(x)=
x5(-1)0+
x4(-1)1+
x3(-1)2+
x2(-1)3+
x(-1)4+
·(-1)5+2=(x-1)5+2,
所以f(2)=3.
答案:3
2.求
的展开式.
【解析】方法一:
方法二:
=
[1+
·3x+
(3x)2+
(3x)3+
(3x)4]
=
(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=
+
+54+108x+81x2.
类型二 二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
【典例】1.已知二项式(2x+1)5,则展开式中含x2项的系数为________.?
2.已知二项式
(1)求展开式第4项的二项式系数.
(2)求展开式第4项的系数.
【思维·引】1.先求得二项展开式的通项公式,再令x的指数等于2,求得k的值,即可求得含x2项的系数.
2.先写出
展开式的通项,再根据题中的要求求解.
【解析】1.二项式(2x+1)5的展开式的通项公式为
Tk+1=
·25-k·x5-k,
令5-k=2,求得k=3,可得展开式中含x2项的系数为
·22=40.
答案:40
2.
的展开式的通项是Tk+1=
(k=0，1，2，…，10).
(1)展开式的第4项(k=3)的二项式系数为
=120.
(2)展开式的第4项的系数为
=-77
760.
【素养·探】
在根据二项式定理解决系数问题的过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件先找出二项式的通项,再根据题中条件进行计算.
本例2中求出展开式的第4项,则结果如何?
【解析】
的展开式的通项是
Tk+1=
(k=0，1，2，…，10)，
令k=3，得展开式的第4项为T4=
=-77
760
.
角度2 展开式中的特定项?
【典例】1.(2019·天津高考)
的展开式中的常数项为________.?
2.已知(x+2
)n的展开式的各项系数和比二项式系数和大211.
(1)求n的值.
(2)求展开式中所有有理项.
【思维·引】1.先写出二项展开式的通项公式,根据通项公式求常数项.
2.(1)由题意,二项展开式的各项系数和比二项式系数和大211,得出3n-2n=211,即可求解.
(2)由题意,得出展开式的通项,确定r的取值,即可得到展开式中的有理项,得到答案.
【解析】1.由题意,可知:
此二项式的展开式的通项公式为
=
·(-1)k28-4k·x8-4k.
所以当8-4k=0,即k=2时,Tk+1为常数项.
此时T2+1=
·(-1)228-4×2=28.
答案:28
2.(1)由题意，二项式(x+2
)n的展开式的各项系数和比二项式系数和
大211，
可得3n-2n=211，解得n=5.
(2)展开式的通项为Tr+1=
(r=0，1，…，5)，
当r=0，2，4时5-
是整数.
故展开式中所有有理项为：T1=x5，T3=40x4，T5=80x3.
【类题·通】
1.求二项展开式特定项的步骤
2.正确区分二项式系数与该项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式,二项式的指数及项数均有关.
【习练·破】
1.(2020·邯郸高二检测)(1-2x)6的展开式的第三项为
( )
A.60
B.-120
C.60x2
D.-120x3
【解析】选C.(1-2x)6的展开式的第三项T3=
(-2x)2=60x2.
2.在
的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数.
(2)x2的系数.
【解析】(1)T5=
所以第5项的二项式系数是
=70，第5项的系数是
·24=1
120.
(2)(2x2-
)8的通项是
由题意，得16-
=2，解得r=6，
因此，x2的系数是(-1)6
·28-6=112.
【加练·固】
1.
的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中x2的系数为________.?
【解析】由题知n=6,则Tr+1=
·x6-r·(-
)r=
·(-1)r·x6-2r,令6-2r=2,得r=2,
所以展开式中x2的系数为
=15.
答案:15
2.已知n为等差数列-4,-2,0,…的第六项,则(x+
)n的二项展开式的常数项是
________.?
【解析】由题意得n=6,所以Tk+1=2k
x6-2k,令6-2k=0,得k=3,所以常数项为
23=160.
答案:160
3.在二项式
的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项.
(2)求展开式的常数项.
【解题指南】前三项系数的绝对值成等差数列,列式求n,应用通项求解.
【解析】Tr+1=
由前三项系数的绝对值成等差数列,
得
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(1)展开式的第4项为:T4=
(2)当
=0,即r=4时,常数项为
类型三 二项式定理的灵活应用
【典例】1.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为
( )
A.12
B.16
C.20
D.24
2.在二项式(x-
)n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求展开式中所有有理项的系数之和.
【思维·引】1.利用二项式定理求解,求解时注意两个二项式中的项要相乘.
2.(1)由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项,由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得n,问题得解.
(2)由Tr+1=
,对r赋值,使得x的指数为正数即可求得所有有理项,问题得解.
【解析】1.选A.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为:
1×
+2×
=12.
2.(1)由二项式定理得展开式中第r+1项为Tr+1
=
r=0,1,2,…,n
所以前三项的系数的绝对值分别为1,
由题意可得2×
=1+
,整理得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),
则展开式中二项式系数最大的项是第五项,
(2)因为Tr+1=
,
若该项为有理项,则
是整数,
又因为0≤r≤8,所以r=0或r=3或r=6,
所以所有有理项的系数之和为
【内化·悟】
1.怎样求两个二项展开式乘积的指定项?
提示:首先分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;然后找到构成展开式中特定项的组合部分;最后分别求解再相乘,求和即得.
2.三项或三项以上的展开策略是什么?
提示:应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化的方法通常为配方、因式分解、项与项的结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.
【类题·通】
求二项展开式的特定项的常见题型
1.常见类型
(1)求第k项,Tk=
an-k+1bk-1.
(2)求含xk的项(或xpyq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
2.常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
【习练·破】
1.已知(1+x)5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a5(1-x)5,则a3=
( )
A.-40 B.40 C.10 D.-10
【解析】选A.因为(1+x)5=-[-2+(1-x)]5,通项Tr+1=-
(-2)5-r(1-x)r,
a3=-
(-2)2=-40.
2.(2020·全国Ⅰ卷)
(x+y)5的展开式中x3y3的系数为
( )
A.5
B.10
C.15
D.20
【解析】选C.(x+y)5展开式的通项公式为
Tr+1=
x5-ryr(r∈N且r≤5),
所以
与(x+y)5展开式的乘积可表示为:
xTr+1=x
x5-ryr=
x6-ryr或
Tr+1=
x5-ryr=
x4-ryr+2,
在xTr+1=
x6-ryr中,令r=3,
可得:xT4=
x3y3,该项中x3y3的系数为10,
在
Tr+1=
x4-ryr+2中,令r=1,
可得:
T2=
x3y3,该项中x3y3的系数为5,
所以x3y3的系数为10+5=15.
课堂检测·素养达标
1.(x+2)8的展开式中x6的系数是
( )
A.28
B.56
C.112
D.224
【解析】选C.由T2+1=
x8-2·22=112x6,所以(x+2)8的展开式中x6的系数是112.
2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为
( )
A.-210
B.210
C.-120i
D.-210i
【解析】选A.由通项公式得T7=
3.
展开式中的常数项为
( )
A.6
B.8
C.12
D.24
【解析】选D.
展开式中通项公式Tr+1=
x4-r·
=(-2)r
x4-2r,
当4-2r=0时,展开式为常数,此时r=2,展开式的常数项为:T3=4
=24.
4.
展开式中的常数项是70,则n=________.?
【解析】因为
,
所以Tk+1=
(-1)kx2n-2k,又因为展开式的常数项为70,令2n-2k=0得,k=n,
所以
(-1)n=70,又
=70,所以n=4.
答案:4
【新情境·新思维】
设a≠0,n是大于1的自然数,
的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,求a的值.
【解析】由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).
即a0=1,a1=3,a2=4.
由
的展开式的通项公式知Tk+1=
(k=0,1,2,…,n).
故
=3,
=4,解得a=3.温馨提示：
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课时素养评价
七 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是
( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选B.由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.
【加练·固】
如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于
( )
A.20 B.21 C.22 D.23
【解题指南】由图可知,各行数字中除两端的数代表行数外,其他数字均等于上一行中其肩上的两数的和,如4=2+2,7=3+4,11=4+7,14=7+7,据此规律进行求解.
【解析】选C.由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为(11+5)即16,所以b=6+16=22.
2.已知bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,对任意x∈R恒成立,且a1=9,a2=36,则b=
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选D.由已知得bxn+1=b[(x-1)+1]n+1=a0+a1(x-1)+…+an(x-1)n,所以a1=·b=nb=9,a2=·b==36,所以n-1=8,n=9,所以b=1.
【加练·固】
对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为
( )
A.3 B.6 C.9 D.21
【解析】选B.由于x3=,
其展开式的通项为·23-r·,当r=2时,
为·21·=6,故a2=6.
3.在
的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为α,xαdx=
( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】先求展开式的通项公式,其中有2项有理项,确定概率α=,根据定积分的计算法则,先求出被积函数xα的原函数,再分别将积分上下限代入求差,即可求出结果.
【解析】选B.Tr+1=·(3·=··(-2)r·,
r=0,1,…,11,共12项,
其中只有第4项和第10项是有理项,故所求概率为α==,所以xαdx=dx==.
4.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=
( )
A.1
B.-1
C.36
D.26
【解析】选C.由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36.
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=36.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为________.?
【解析】令x=1,得a0=-2.
令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0.
所以a1+a2+a3+…+a11=2.
答案:2
6.实数ai(i=0,1,2,3,4,5)满足:对任意x∈R,都有(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5则a0=________,+++++=________.?
【解题指南】由二项展开式可直接求出各项的系数,
即可求出ai(i=0,1,2,3,4,5),进而可求出结果.
【解析】由二项展开式可得(1+x)5=+x+x2+x3+x4+x5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5,所以a0=1,a1=5,a2=10,a3=10,a4=5,a5=1,故+++++=1+++++=.
答案:1
【加练·固】
设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,当a0+a1+a2+…+an=254时,n=________.?
【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n==254,所以2n=128,即n=7.
答案:7
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知n∈N
,+2+3+…+n=192,且(3-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.
求(1)展开式中各项的二项式系数之和.
(2)a0+a2+a4+a6.
(3)|a0|+|a1|+…+|an|.
【解析】因为i=i·=n(i=1,2,…,n),
所以+2+3+…+n
=n(++…+)
=n·2n-1=3×26,所以n=6.
(1)展开式中各项的二项式系数之和为26=64.
(2)令x=1,得a0+a1+…+a6=1①,
令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6=56②,
相加得a0+a2+a4+a6=7813.
(3)令x=-1,得|a0|+|a1|+…+|an|=56.
8.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N
)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值.
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
【解析】(1)由已知+2=11,所以m+2n=11,
x2的系数为+22=+2n(n-1)
=+(11-m)·=+.因为m∈N
,
所以m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.
(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,
设这时f(x)的展开式为
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
两式相减得2(a1+a3+a5)=60,
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
(15分钟·30分)
1.(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于
( )
A.26
B.27
C.7
D.8
【解题指南】由于是将奇数换成1,故都是奇数,分别验证n=6,7时的情况,直接得出正确选项.
【解析】选D.第1行和第3行全是1,已经出现了2次,依题意,第6行原来的数是,而=6为偶数,不合题意;第7行原来的数是,即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数,一共有8个,全部转化为1,这是第三次出现全为1的情况.
2.(5分)(多选题)(2020·济南高二检测)对任意实数x,有(2x-3)9=
a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9.则下列结论成立的是
( )
A.a2=-144
B.a0=1
C.a0+a1+a2+…+a9=1
D.a0-a1+a2-a3+…-a9=-39
【解析】选ACD.对任意实数x,
有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,
所以a2=-×22=-144,故A正确;
故令x=1,可得a0=-1,故B不正确;
令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=1,故C正确;
令x=0,可得a0-a1+a2+…-a9=-39,故D正确.
3.(5分)记f(m,n)为(1+x)6(1+y)4展开式中xm·yn项的系数,则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________.?
【解析】f(3,0)==20,f(2,1)==60,f(1,2)==36,f(0,3)==4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=20+60+36+4=120.
答案:120
4.(5分)若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n=________.?
【解析】设f(x)=(1+x+x2)n,
则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,①
f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②,
由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1),
所以a0+a2+a4+…+a2n==.
答案:
【加练·固】
如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{an},则数列的第10项为________.?
【解析】由题意a1=1,a2=1,a3=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,
a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55.
答案:55
5.(10分)在的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求n的值.
(2)求展开式中所有的有理项.
(3)求展开式中系数最大的项.
【解题指南】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数,然后计算出结果.
(2)由通项公式分别计算当r=0,2,4,6时的有理项.
(3)设展开式中第r+1项的系数最大,列出不等式求出结果.
【解析】(1)由题意知:Tr+1=2r,
则第4项的系数为23,倒数第4项的系数为
2n-3,
则有=,即=,所以n=7.
(2)由(1)可得Tr+1=2r(r=0,1,…,7),
当r=0,2,4,6时,所有的有理项为T1,T3,T5,T7,
即T1=20x14=x14,T3=22x9=84x9,
T5=24x4=560x4,T7=26x-1=448x-1.
(3)设展开式中第r+1项的系数最大,则
?
?≤r≤,所以r=5,故系数最大项为T6=25=672.
1.(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为
( )
A.a=2,b=-1,n=5
B.a=-2,b=-1,n=6
C.a=-1,b=2,n=6
D.a=1,b=2,n=5
【解析】选D.根据展开式的特点,通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和,通过方程组解决.只要令x=0,y=1,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1+b)n,令x=1,y=0,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1+a)n.如果a,b是正值,这些系数的和也就是系数绝对值的和,如果a,b中有负值,相应地,分别令y=-1,x=0;x=-1,y=0.此时的和式分别为(1-b)n,(1-a)n,由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1+|b|)n,
(1+|a|)n.根据题意(1+|b|)n=243=35,(1+|a|)n=32=25,因此n=5,|a|=1,|b|=2.
2.已知函数f(x)=(1+x)n,n∈N
.
(1)当n=8时,求展开式中系数的最大项.
(2)化简2n-1+2n-2+2n-3+…+2-1.
(3)定义:ai=a1+a2+…+an,化简:(i+1).
【解题指南】(1)根据题意知展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项,n=8,中间项为第5项,其系数最大.(2)根据f==+x
+x2+
…+xn-1+xn,令x=2,即可求值.(3)原式添加,利用倒序相加,化简即可.
【解析】(1)f=,所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T5=x4=70x4.
(2)f==+x+x2+…+
xn-1+xn,
所以原式=
==.
(3)
=2+3+…+n+,
①
=+n+…+3+2,
②
在①,②添加,则得
1+
=+2+3+…+n+, ③
1+
=+n+…+3+2+1, ④
③+④得:
2(1+)
==2n,
所以
=2n-1-1.
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PAGE(共66张PPT)
第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中,每行两端都是__,与这两个1等距离的项的系数_____.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___,
即
.
必备知识·素养奠基
1
相等
和
【思考】
杨辉三角的作用是什么?
提示:①直观地看出或探究二项式系数的性质;②当二项式系数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与___________________的两个二项式系数
相等,即
(2)增减性与最大值:当k<
时,二项式系数是逐渐_____的,由对称性可知它的
后半部分是逐渐_____的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式
系数
取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数________相等,且同
时取到最大值.
首末两端“等距离”
增大
减小
3.各二项式系数的和
(1)
=__.
(2)
=____.
2n
2n-1
【思考】
(1)杨辉三角中的数是二项式系数还是项的系数?
提示:杨辉三角中的数是二项式系数.
(2)如何求二项式中的最大项?
提示:先判断n是奇数还是偶数,若是奇数则中间两项系数是最大项,若是偶数则中间项系数是最大项.
(3)怎样求二项式系数和?
提示:利用赋值法,在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,可得
=2n.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).
( )
(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.
( )
(3)二项展开式项的系数是先增后减的.
( )
(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.
( )
提示:(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.
(2)×.在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.
(3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的,二项式项的系数和a,b的系数有关.
(4)√.根据杨辉三角的特点可知.
2.
的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是
( )
A.第8项
B.第9项
C.第8项和第9项
D.第11项和第12项
【解析】选D.二项式展开式的通项公式为Tr+1=
令r=7,则
=0,
解得n=21,通项公式可化简为
.
由于n=21,
一共有22项,其中最大的项为r=10,11两项,即展开式的第11项和第12项.
3.(2x-1)6展开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.?
【解析】令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和
为26=64.
答案:1 64
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________.?
【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8=
·22=180.
答案:180
关键能力·素养形成
类型一 与杨辉三角有关的问题
【典例】1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.?
2.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S16的值.
【思维·引】1.先表示出第n行的第14与第15个数,根据其比值得出关于n的方程,进而求出n的值.
2.先表示出Sn,结合组合数性质求解.
【解析】1.设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3,
则
=2∶3.
所以
,
即
,
得
,所以n=34.
答案:34
2.由题意及杨辉三角的特点可得
S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)
【内化·悟】
(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的哪一行?
提示:对应杨辉三角的第(n+1)行.
【类题·通】
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【习练·破】
1.如图所示,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是________.?
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
【解析】由题图中数字规律可知,第n行的第2个数是
答案:
2.在杨辉三角中,除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5
10
10 5 1
…… ……
…… ……
……
利用杨辉三角展开(1-x)6.
【解析】由杨辉三角知,第6行二项式系数为:1,6,15,20,15,6,1.所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令其中a=1,b=-x,
得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.
类型二 展开式中项的应用
角度1 求展开式的系数和
【典例】1.若
=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a9·29的
值为
( )
A.29
B.29-1
C.39
D.39-1
2.设
=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2=________,
(a0+a2+a4+…+a10)2
-
的值为________.?
3.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:
(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
【思维·引】1.先令x=0求出a0,再令x=2求出a0+2a1+22a2+…+29a9的值即可得出结果.
2.结合二项式系数公式计算a2,令x=1或-1,代入,计算结果即可.
3.(1)根据所给的等式求得常数项a0=1,在所给的等式中,令x=1可得a0+a1+a2+…+a7=-1,从而求得a1+a2+…+a7的值.
(2)在所给的等式中,分别令x=1,x=-1,可得两个等式,化简这两个等式即可求得a1+a3+a5+a7的值.
(3)用①+②再除以2可得a0+a2+a4+a6的值.
(4)在
中,令x=-1,可得
的值.
【解析】1.选D.令x=0,则a0=1,令x=2,则a0+2a1+22a2+…+29a9=39,
所以2a1+22a2+…+29a9=39-1
.
2.利用二项式系数公式,T3=
=720x2,故a2=720,
利用赋值法,令x=±1有a0+a1+…+a10=
,a0-a1+a2-…+a10=
,
故(a0+a2+a4+…+a10)2
-
答案:720 1
3.(1)根据所给的等式求得常数项a0=1,令x=1,
所以a0+a1+a2+…+a7=-1,
则a1+a2+…+a7=-2.
(2)在所给的等式中,令x=1,
可得:a0+a1+a2+…+a7=-1 ①
令x=-1,
则a0-a1+a2-a3+…-a7=37 ②
用①-②再除以2可得a1+a3+a5+a7=-1094.
(3)用①+②再除以2可得a0+a2+a4+a6=1093.
(4)在
中,令x=-1,可得
=37=2187.
【素养·探】
在根据“杨辉三角”与二项式系数的性质求解相关问题的过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析对参数进行赋值计算.
在本例3中求出a3的值.
【解析】根据题意,a3即x3的系数,所以a3=
·(-2)3=-280.
角度2 展开式中的最大项问题
【典例】1.(2020·随州高二检测)在
的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为
( )
A.-126
B.-70
C.-56
D.-28
2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项.
(2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
【思维·引】
1.中间有一项是第5项得n=8,奇数项的系数与二项式系数相同,偶数项的系数是二项式系数的相反数.
2.(1)先根据末三项的二项式系数的和等于121,求n,再根据二项式系数性质求最大项.(2)根据二项式展开式通项公式得项系数,再根据相邻项关系列不等式组,解得系数最大的项的项数,最后根据二项式展开式通项公式得项.
【解析】1.选C.由题意可得:n=8.所以二项展开式的通项公式
要使该项系数
(-1)k最小,k为奇数,取1,3,5,7,
经过检验,当k=3或5时,系数
(-1)k最小,即第4项系数等于第6项系数,
且最小,所以展开式中系数最小的项的系数为-56.
2.(1)由已知得
=121,
则
n(n-1)+n+1=121,
即n2+n-240=0,解得n=15,或n=-16(舍去),
所以,展开式中二项式系数最大的项是T8=
(3x)7和T9=
(3x)8.
(2)Tr+1=
(3x)r,设
≤1,
则
≤1,即
≤1,解得r≤12,
同理,由
≥1,解得r≥11,
所以展开式中系数最大的项对应的r=11,12,即展开式中系数最大的项是
T12=
(3x)11和T13=
(3x)12.
【类题·通】
(1)求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项,如求(a+bx)n(a,b∈R)展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,应用
解出r来,即得系数最大的项.
【发散·拓】
1.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N
)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N
)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
2.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
.
【延伸·练】
1.若(1-2x)2
019=a0+a1x+a2x2+…+a2
018x2
018+a2
019x2
019,则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2
019)=________.(用数字作答)?
【解析】由题意,可知(1-2x)2
019=a0+a1x+a2x2+…+
a2
018x2
018+a2
019x2
019,令x=0,可得a0=1,令x=1,
可得a0+a1+a2+a3+…+a2
019=-1,
所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2
019)
=2
018a0+(a0+a1+a2+a3+…+a2
019)
=2
018×1-1=2
017.
答案:2
017
2.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和.(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
【解析】设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为
=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=
,
即所有奇数项系数之和为
.
【习练·破】
若
展开式中前三项的系数之和为15,
(1)展开式中是否有常数项,说明理由.
(2)求展开式中系数最大的项.
【解析】(1)Tr+1=(-1)r
,所以由已知得:1-
=15,解得n=7,
所以Tr+1=(-1)r
(r=0,1,2…7),
因为7-
=0无整数解,所以展开式中无常数项.
(2)由Tr+1=(-1)r
知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数,所以
展开式中的第5项为系数最大的项,即T5=35x.
【加练·固】
1.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是______.?
【解析】(x+1)n展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.
答案:6
2.已知f(x)=
展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求展开式中系数最大的项.
【解析】(1)令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=
(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知,4n-2n=992.
所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,
所以2n=-31(舍),或2n=32,所以n=5.
由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
(2)展开式的通项公式为
假设Tr+1项系数最大,
则有
所以
所以
所以
,
因为r∈N,所以r=4.
所以展开式中系数最大的项为
.
类型三 二项式系数性质的应用
【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+
)n(n∈N+)的展开式中,各二项式
系数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为
( )
A.40
B.30
C.20
D.10
2.已知在
的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项.
(2)求展开式中系数绝对值最大的项.
(3)求
的值.
【思维·引】1.由题意利用二项式系数的性质求出n的值,从而求出m的值,再利用二项展开式的通项公式,求出展开式中x3的系数.
2.根据二项式定理的通项找出第5项与第3项的系数,由其比值求出n的值.(1)借助二项式定理的通项找出有理项;(2)写出展开式系数的通项,利用系数绝对值最大的项,其系数的绝对值不小于前后两项的系数的绝对值,即可得出关于项数的不等式组,结合项数为正整数这一前提条件即可求出系数绝对值最大的项;(3)将所求式子改为二项展开式的形式,根据二项式定理求解.
【解析】1.选D.因为(mx+
)n的展开式中,各二项式系数之和为2n=32,
所以n=5.
再令x=1,可得各项系数之和为(m+1)5=243=35,所以m=2,
则展开式中的通项公式为
,令5-
=3,可得k=4,
故展开式中x3的系数为
·2=10.
2.(1)由
(-2)4∶
(-2)2=56∶3解得n=10,
因为通项:
,
当5-
为整数时,r可取0,6
展开式是常数项,于是有理项为T1=x5和T7=13
440.
(2)设第r+1项系数绝对值最大,则
解得
又因为r∈{1,2,3,…,9},
所以r=7,当r=7时,T8=-15
360
,
又因为当r=0时,T1=x5,
当r=10时,T11=(-2)10
=1
024
,
所以系数绝对值最大的项为T8=-15
360
.
(3)原式=10+9
+81
+…+910-1
【内化·悟】
二项式定理中的项有哪些常见的类型?
提示:求展开式中的指定项、特定项、有理项、最大项等.
【类题·通】
二项式定理应用的常见类型及相关解题策略
常见类型及解题策略:①求特殊项及系数,此类问题的求解关键在于求出指定项是第几项;②近似计算问题,解决此类问题要注意题目结果精确到什么或保留几位有效数字,以便考虑最后一项的取值一般要四舍五入,求数的n次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式;③证明有关的不等式问题,有些不等式可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小),或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再根据不等式的传递性进行证明;④整除与求余问题,此类题目往往考虑用数学归纳法证明,但是步骤较为烦琐,而用二项式定理明显更简洁;⑤利用赋值法求各项系数的和的问题.
【习练·破】
若等差数列{an}的首项为a1=
(m∈N
),公差是
展开
式中的常数项,其中k为7777-15除以19的余数,求通项公式an.
【解析】由题意可得
解得
,
因为m∈N
,所以m=2,
所以a1=
=100,
又因为7777-15=(1+19×4)77-15
=
+
(19×4)+…+
(19×4)77-15
=(19×4)[
+
(19×4)+…+
(19×4)76]-19+5,
所以7777-15除以19的余数为5,即k=5.
又Tk′+1=
令5k′-15=0,可解得k′=3,
所以d=
(-1)3=-4,
所以an=a1+(n-1)d=104-4n.
课堂检测·素养达标
1.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是
( )
A.第6项
B.第5项
C.第5,6项
D.第6,7项
【解析】选A.由题意,得第4项与第8项的系数相等,则其二项式系数也相等,所以
,由组合数的性质,得n=10.所以展开式中二项式系数最大的项为第6项,它也是系数最大的项.
2.
(n∈N
)的展开式中,系数最大的项是
( )
A.第
+1项
B.第n项
C.第n+1项
D.第n项与第n+1项
【解析】选C.在(1+x)2n(n∈N
)的展开式中,第n+1项的系数与第n+1项的二项式系数相同,再根据中间项的二项式系数最大,展开式共有2n+1项,可得第n+1项的系数最大,故选C.
3.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于________.?
【解析】依题可得a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16,
则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
答案:-256
4.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,
则
=________.?
【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减,得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,故
=
.
答案:
【新情境·新思维】
已知(1-x)8的展开式,求:
(1)二项式系数最大的项.
(2)系数最小的项.
【解析】(1)因为(1-x)8的幂指数8是偶数,所以由二项式系数的性质知,中间一项(即第5项)的二项式系数最大,该项为T5=
(-x)4=70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小,分别为T4=
(-x)3=-56x3,T6=
(-x)5=-56x5.
