(共30张PPT)
第四章 概率与统计
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条
件
概
率
条件概率
必备知识·素养奠基
名称
定义
符号
表示
计算公式
条件
概率
一般地,当事件B发生的概率______时,已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率.
_______
P(A|B)
=_________,
_______
大于0
P(A|B)
P(B)>0
【思考】P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗?为什么?
提示:P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同.
【基础小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)P(A∩B)=
P(AB).
( )
(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.
( )
(3)P(B|A)=P(A∩B).
( )
提示:(1)√.事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB),所以P(A∩B)=
P(AB).
(2)×.若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,
P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0.
(3)×.事件(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生,而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生,故P(B|A)≠P(A∩B).
2.设A,B为两个事件,若P(A∩B)=
,P(B)=
,则P(A|B)=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由P(A|B)=
.
3.某产品长度合格的概率为
,质量合格的概率为
,长度、质量都合格的概
率为
,任取一件产品,已知其质量合格,则它的长度也合格的概率为______.?
【解析】令A:产品的长度合格,B:产品的质量合格,A∩B:产品的长度、质量都
合格,
则P(A)=
,P(B)=
,P(A∩B)=
.
任取一件产品,已知其质量合格,它的长度也合格,
即为A|B,其概率P(A|B)=
.
答案:
关键能力·素养形成
类型一 条件概率的计算
角度1 利用条件概率公式计算
【典例】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
【思维·引】设出事件,利用条件概率公式求解.
【解析】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2
次都抽到理科题为事件A∩B.
从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为
=20.事件A所含样本点
的总数为
.
故P(A)=
.因为事件A∩B含
=6个样本点.
所以P(A∩B)=
.所以在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概
率为
【素养·探】
★本例考查条件概率的计算,同时考查了数学抽象与数学运算的核心素养.
若本例条件不变,求第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
【解析】设第1次抽到文科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次抽到
文科题且第2次抽到理科题为事件A∩B.
从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为
=20.事件A所含样本点
的总数为
.
故
.因为事件A∩B含
个样本点.所以
.
所以在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为
角度2 利用缩小样本空间计算
【典例】集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
【思维·引】正确理解条件概率的特点,结合古典概型求解.
【解析】将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个样本点,在这15个样本点中,乙抽到的数比
甲抽到的数大的有
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所
求概率
.
【类题·通】
条件概率计算的关注点
1.原型:在题目条件中,若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时,一般可认为是条件概率.
2.方法:(1)在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=
计算求得P(B|A);
(2)若事件为古典概型,可利用公式P(B|A)=
,即在缩小后的样本空间中
计算事件B发生的概率.
【习练·破】
抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.
(1)求P(A),P(B),P(A∩B);
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?
【解析】(1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能的事
件为(x,y),建立一一对应的关系,由题意作图如图
显然:
(2)方法一:
方法二:
类型二 条件概率的实际应用
【典例】有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________.?
【思维·引】仔细阅读分析题意,利用条件概率公式解题.
【解析】记“寿命超过500小时”为事件A,
“寿命超过800小时”为事件B,则所求事件为B|A,
因为B?A,所以B∩A=B,又P(A)=0.9,
P(B∩A)=P(B)=0.8,
所以
答案:
【内化·悟】
条件概率的实际应用问题的解题的难点是什么?
提示:条件概率是指事件A发生的条件下,事件B发生的概率,需正确分析事件A,B并计算其概率.
【类题·通】
解决条件概率问题的关注点
(1)关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;
(2)注意:B∩A事件的含义;
(3)公式:P(A|B)=
,P(B|A)=
.
【习练·破】
某种元件用满6
000小时未坏的概率是
,用满10
000小时未坏的概率是
.现
有1个此种元件,已经用过6
000小时未坏,求它能用到10
000小时的概率.
【解析】设A:用满10
000小时未坏,B:用满6
000小时未坏,显然AB=A,
所以P(A|B)=
.
课堂检测·素养达标
1.某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不
及格的占3%,已知一学生数学不及格,则他的语文也不及格的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设A为事件“数学不及格”,B为事件“语文不及
格”,P(B|A)=
,所以当数学不及格时,该学生语文也不及格的概
率为
.
2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同
学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能
中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是
.
3.甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨
天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记
P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.P(A|B)=
,
.
4.把一枚质地均匀的硬币投掷两次,事件A:第一次出现正面,B:第二次出现正
面,则P(B|A)=________.?
【解析】因为事件A所包含的基本事件有(正,正),(正,反),事件AB所包含的基
本事件有(正,正),
所以P(A)=
,P(AB)=
.
所以P(B|A)=
.
答案:
【新情境·新思维】
高三毕业时,小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念,已知小红、小鑫二人相邻,则小鑫、小芸相邻的概率是________.?
【解析】设“小红、小鑫二人相邻”为事件A,“小鑫、小芸二人相邻”为事
件B,则所求概率为P(B|A),而P(A)=
,AB表示事件“小鑫与小红、小芸
都相邻”,故P(AB)=
,于是P(B|A)=
.
答案:温馨提示：
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课时素养评价
八 条
件
概
率
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,则在下雨天里,刮风的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设A为下雨,B为刮风,
由题意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
P(B|A)===.
【加练·固】
根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下,下雨的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设事件A表示“该地区四月份下雨”,B表示“四月份吹东风”,则P(A)=,P(B)=,
P(AB)=,从而在吹东风的条件下,下雨的概率为P(A|B)===.
2.盒中装有10个乒乓球,其中6个新球,4个旧球,不放回地依次取出2个球使用,在第一次取到新球的条件下,第二次也取到新球的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设事件A表示“第一次取到新球”,事件B表示“第二次取到新球”.则n(A)=,n(AB)=.P(B|A)===.
3.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为
( )
A.0.6
B.0.7
C.0.8
D.0.9
【解析】选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)==0.8.
4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设事件A表示“抽到2张都是假钞”,事件B为“2张中至少有一张假钞”,所以为P(A|B).
而P(AB)==,P(B)==.
所以P(A|B)==.
【加练·固】
从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.P(A)==,P(AB)==,由条件概率的计算公式得P(B|A)===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(B|A)为________.?
【解析】因为P(A|B)=,所以P(AB)=0.3.
所以P(B|A)===0.75.
答案:0.75
6.抛掷骰子2次,每次结果用(x1,x2)表示,其中x1,x2分别表示第一次、第二次骰子的点数.若设A={(x1,x2)|x1+x2=10},B={(x1,x2)|x1>x2},则P(B|A)=________.?
【解析】因为P(A)==,P(A∩B)=,
所以P(B|A)===.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率;(2)求P(B|A).
【解析】由古典概型的概率公式可知,
(1)P(A)=,P(B)===,
P(A∩B)==.
(2)P(B|A)===.
8.某个班级共有学生40人,其中团员有15人.全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中团员有4人.如果要在班内任选1人当学生代表.
(1)求这个代表恰好在第一小组的概率;
(2)求这个代表恰好是团员代表的概率;
(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率;
(4)现在要在班内任选1个团员代表,问这个代表恰好在第一小组的概率.
【解析】设A:在班内任选1名学生,该学生属于第一小组,B:在班内任选1名学生,该学生是团员.
(1)P(A)==.
(2)P(B)==.
(3)P(AB)==.
(4)方法一:P(A|B)===.
方法二:P(A|B)==.
(15分钟·30分)
1.(5分)从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取3次,每次抽1张.已知前两次抽到K,则第三次抽到J的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设事件A表示“前两次抽到K”,事件B表示“第三次抽到J”,则P(A)=,P(AB)=,
所以P(B|A)===.
2.(5分)将三颗骰子各掷一次,设事件A表示“三个点数都不相同”,B表示“至少出现一个6点”,则概率P(A|B)等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为P(A|B)=,
P(AB)===,
P(B)=1-P()=1-=1-=.
所以P(A|B)===.
3.(5分)7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是________.?
【解析】记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B,则n(A)=,n(AB)=,P(B|A)==.
答案:
4.(5分)一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如表:
从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是________;已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率是________.?
【解析】从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是=.
方法一:已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率是=.
方法二:设A:“取出的产品是甲厂生产的”,B:“取出的产品为次品”,则P(A)=,P(A∩B)=,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)==.
答案:
5.(10分)现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)==30,根据分步乘法计数原理n(A)==20,于是P(A)===.
(2)因为n(AB)==12,于是P(AB)===.
(3)方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)===.
方法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
1.下列说法正确的是
( )
A.P(B|A)
B.P(B|A)=是可能的
C.0D.P(A|A)=0
【解析】选B.由条件概率公式P(B|A)=及02.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数;
(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第1次取得白球,求第2次取得黑球的概率.
【解析】(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,记袋中白球个数为x.则P(A)=1-=,解得x=5,即白球的个数为5.
(2)记“第1次取得白球”为事件B,“第2次取得黑球”为事件C,
则P(BC)=×==,
P(B)===.
P(C|B)===.
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