沪科版九年级上册数学相似形：相似三角形性质1（含答案）
课堂练习
如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE：EC=3：1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（
）
A3:4
B.9:16
C.9：1
D.3：1
2.已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若BC=5,CD=3,则AD的长为（
）
A.2.25
B.2.5
C.2.75
D.3
3.如图,正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的斜边QR上,其余两个顶点A,D在PQ，PR上,则PA:PQ=(
)
A
B.1：2
C.1：3
D.2：3
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且CD=2,DE=1,则BC的长为(
)
5.(1)如果两个相似三角形对应高的比是1:2,那么它们的面积比是________.
如果两个相似三角形对应中线的比等于5:6,那么这两个相似三角形的相似比为__________.
如果两个相似三角形的周长分别为9cm和15cm,那么这两个相似三角形的对应角平分线的比为___________.
(4)若△ABC∽△A1B1C1,AD,A1D1分别是高,AD:A1D1=3:4
△A1B1C的一条中线B1E1=16cm,则△ABC的中线BE______________.
如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC.若AD=4,DB=2,则的值为___________.
7.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木竿PQ的长度为____________m.
8.两个相似三角形面积的比为4:9,第一个三角形的周长为12cm,则另一个三角形的周长是______________.
如图,由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC,在网格上画出一个与ABC相似且面积最大的△A1B1C1,使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上,则△A1B1C1的面积是___________.
10.如图,△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,求证：∠AFE=∠B.
11.如图，,试说明∠BAD=∠CAE.
12.△ABC中，CD是边AB上的高，且.
(1)求证:△ACD∽△CBD。
求∠ACB的大小。
13.如图所示,已知平行四边形ABCD中,AE：EB=1:2
求△AEF与△CDF的周长之比;
如果S△AEF=6cm2,求S△CDF
14.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE
若AB=AE,求证:∠DAE=∠D
若点E为BC的中点,连接BD,交AE于F,求EF：FA的值。
15.一块材料的形状是锐角△ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加成正方形零件如图①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上。
求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件如图②,问这个矩形的最大面积是多少?
答案
1-4
BACB
5.(1)1:4
(2)5:6
(3)3:5
(4)12
6.
7.
2.3
8.18cm
9.5
∵在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∴在Rt△ABD中，AD2=AE?AB．
同理可得，AD2=AF?AC，
∴AE?AB=AF?AC，即AEAC=AFABAEAC=AFAB，
∵∠BAC是公共角，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠B．
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE
12.（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）【解析】
∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
13.(1)由AE：EB=1：2得
又∵ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△CDF，
所以△AEF与△CDF周长的比等于相似比等于1：3．
(2)由S△AEF=6cm2解得S△CDF=54cm2．
14.（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴=，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，
∴EF：FA=1：2．
15.（1）∵四边形EGFH为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x，
在正方形EFGH中，EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴即，
解得：x=48，
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时，?，?，
，
当x=60时，
长方形的面积最大为2400．沪科版九年级上册数学相似形：相似三角形性质2（含答案）
课堂练习
如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是（
）
A.∠ABP=∠C
B.∠APB=∠ABC
C.
D.
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,,则下列结论中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3那么EF的长是（
）
A.
B.
C.
D.
4.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知:如图,在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE,DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（
）
6.如图,李明打两球时,球恰好打过网,且落在离网4m的位置上,则网球的击球的高度h=______.
已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影为3m,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,则DE=_____m.
如图，AD//EF∥BC,则图中相似三角形共有_____对;若AD:BC=2:5则EF:AD的值是________.
△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=DE=3:5,AE=8,BD=4,则DC的长___________.
10.如图,点A1,A2,A3,A4在射线OA上,点B1,B2,B3在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3、若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为2,8,则图中三个阴影三角形面积之和________.
11.如图,已知AE与CD交于点B,AC∥DE.
(1)求证：△ABC∽△EBD
(2)若AC=5，BC=6，BD=4，求DE的长。
12.如图,△ABC中,DE∥BC,DE=2,且S四边形DBCE=3S△ADE,求BC的长.
13.请设计三种不同的分法,将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形,使得每个小三角形与原三角形相似(要求画出分割线段,标出能够说明分法的必要记号,不要求写出画法,不要求说明理由)
14.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB=3,DC=7,AD=15,你能在AD上找一点P使得以P,A,B和以P,D,C为顶点的两个三角形相似吗?若能,这样的P点有几个?并求出AP的长;若不能,请说明理由
15.如图,在等腰△ABC中,点D,E分别是两腰AC.BC上的点,连接AE,BD相交于点O.∠1=∠2
求证:OD=OE.
(2)求证:四边形ABED是等腰梯形
(3)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积.
16.如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO.∠AOC=90°,点A,B的坐标分别为
(5，0),(2,6),点D为AB上一点,且BD=2AD.双曲线(x>0)经过点D.交BC于点E。
1)求双曲线的解析式。
2)求四边形ODBE的面积。
答案
1-5
DCCDD
6.1.4
7.10
8.3
9.
10.
10.5
11.（1）证明：∵AC∥DE，
∴△ABC∽△EBD（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）；
（2）
∵△ABC∽△EBD，
∴（相似三角形的对应边成比例），
∵AC=3，BC=4，BD=8，
∴DE=6．
12.因为S四边形DBCE=3S△ADE
所以S△ABC=4S△ADE
因为DE//BC
所以△ABC∽△ADE
所以S△ABC：S△ADE=BC2：DE2
（相似面积比等于边长比的平方）
所以4：1=BC2：4
得BC=4
13.略
14.设AP=x，则DP=15-x，
∵AB∥CD，∠D=90°，
∴∠A=90°．
∴∠A=∠D．
（1）当PA：PD=AB：DC时，△PAB∽△PDC，
x：（15-x）=3：7，
解得x=；
（2）当PA：CD=AB：DP时，△APD∽△BCP，
x：7=3：（15-x），
x=．
综上可知，所求的AP长为或．
故答案为或．
15.
（1）如图，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∴∠BAD=∠ABE，
又∵AB=BA、∠2=∠1，
∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴BD=AE，
又∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∴BD﹣OB=AE﹣OA，
即：OD=OE；
（2）由（1）知：OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=（180°﹣∠DOE），
同理：∠1=（180°﹣∠AOB），
又∵∠DOE=∠AOB，
∴∠1=∠OED，
∴DE∥AB，
∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，
∴AD与BE不平行，
∴四边形ABED是梯形，
又由（1）知，
∴△ABD≌△BAE，
∴AD=BE
∴梯形ABED是等腰梯形；
（3）由（2）可知：DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴2，
∴△ACB的面积=18，
∴四边形ABED的面积=△ACB的面积﹣△DCE的面积=18﹣2=16。
16.(1)作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图．
?
∵点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，OA＝5，
∴AM＝OA－OM＝5－2＝3．
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM．
又BD＝2AD，
∴AB＝AD＋BD＝3AD．
∴，即，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA－AN＝4，
∴D点的坐标为(4，2)．
把D(4，2)的坐标代入，得k＝2×4＝8，
∴双曲线的解析式为．
(2)S四边形ODBE＝S梯形OABC－S△OCE－S△OAD
＝12．
故四边形ODBE的面积为12．
