第二讲测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的斜率等于( )
A.3
B.-3
C.
D.-
解析由参数方程可得直线l的斜率k==-.
答案D
2.直线3x-4y-9=0与圆:(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
解析由圆的参数方程可知圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.
答案D
3.参数方程为(t为参数)表示的曲线是( )
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线
解析y=2表示一条平行于x轴的直线,而由x=t+知x≥2或x≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.
答案D
4.已知椭圆的参数方程为(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为( )
A.
B.-
C.2
D.-2
解析当t=时,x=1,y=2,则M(1,2),所以直线OM的斜率k=2.
答案C
5.已知圆的渐开线(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为( )
A.π
B.3π
C.4π
D.9π
解析把已知点(3,0)代入参数方程得
由②得φ=tanφ,即φ=0.
再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.
答案D
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与点P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1|
B.2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析由题意知点P1的坐标为(a+t1,b+t1),则点P1与点P之间的距离为|t1|.
答案C
7.直线(t为参数)和圆x2+y2=16相交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为( )
A.(3,-3)
B.(3,-)
C.(,-3)
D.(-,3)
解析由题意知=16,得t2-8t+12=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,=4.
所以线段AB的中点的坐标满足
即
故所求的中点坐标为(3,-).
答案B
8.已知经过曲线(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P与原点O的直线PO,若它的倾斜角为,则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析将曲线化成普通方程为=1(y≥0),将其与直线PO:y=x联立可得点P的坐标为.利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P的极坐标为.
答案D
9.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程是( )
A.(t为参数)
B.(φ为参数)
C.(t为参数)
D.(θ为参数)
解析选项A中,由于普通方程x2+y-1=0中x可以取得一切实数,但A中x大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C中,由偶次根式的定义可知,x不可能取得一切实数,故错误;选项D中,结合余弦函数的有界性可知x不能取得一切实数,错误.故选B.
答案B
10.已知直线l:(t为参数)和抛物线C:y2=2x,l与C分别交于点P1,P2,则点A(0,2)到P1,P2两点的距离之和是( )
A.4+
B.2(2+)
C.4(2+)
D.8+
解析把直线的参数方程化为(t'为参数,t'=-2t),将其代入y2=2x,得t'2+4(2+)t'+16=0.
设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP1|+|AP2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+).
答案C
11.若曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=,且3-,
故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
答案B
12过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
解析将抛物线的参数方程化成普通方程为y2=x,它的焦点坐标为.设弦所在直线的方程为y=k,由消去y,得64k2x2-48(k2+2)x+9k2=0.设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则|x1-x2|=,解得k=±.故倾斜角为.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为 .?
解析l1的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=a·,即x=y+,
因为l1∥l2,所以2=,故a=4.
答案4
14.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=4上的动点,记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C的参数方程为 .?
解析圆C的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最小正角为2θ,所以圆C的参数方程为(θ为参数).
答案(θ为参数)
15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos
θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .?
解析将极坐标方程ρcosθ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x3=y2,
所以y2=43=64,
即y=±8.
所以|AB|=|8-(-8)|=16.
答案16
16.若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α= .?
解析将直线的参数方程化为普通方程为y=x·tanα,圆(x-4)2+y2=4,如图所示,sinα=,则α=或α=.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
(1)(φ为参数);
(2)(t为参数).
解(1)因为
所以
两边平方相加,得=cos2φ+sin2φ=1,
故所求的普通方程为=1,
它表示焦点在x轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆.
(2)因为所以将t=代入x=1-5t,得x=1-5·,即7x+5y-7=0.
故所求的普通方程为7x+5y-7=0,
它表示过和(1,0)的一条直线.
18.(本小题满分12分)已知直线l1的方程为(t为参数),直线l2的方程为x-y-2=0.求直线l1和直线l2的交点P的坐标及点P与点Q(2,-5)间的距离.
解将代入x-y-2=0,得t=2,
∴点P的坐标为(1+2,1).
又点Q为(2,-5),
∴|PQ|=.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
解(1)消去参数t,得圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
由ρsin=m,
得ρsinθ-ρcosθ-m=0.
所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,
即=2,解得m=-3±2.
20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)若A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
解(1)因为圆C的参数方程为(θ为参数),
所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得(ρcosθ-3)2+(ρsinθ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0.故圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0.
(2)由题意知直线AB的方程为x-y+2=0,点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,
△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cosθ-2sinθ+9|=.
所以△ABM面积的最大值为9+2.
21(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中
0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin
θ,C3:ρ=2cos
θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立
解得
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A的极坐标为(2sinα,α),点B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,且最大值为4.
22.(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解(1)由已知可得A,B,C,D的直角坐标分别为
A,
B,
C,
D,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)设P(2cosφ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,
所以S的取值范围是[32,52].第二讲测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的斜率等于( )
A.3
B.-3
C.
D.-
2.直线3x-4y-9=0与圆:(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
3.参数方程为(t为参数)表示的曲线是( )
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线
4.已知椭圆的参数方程为(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为( )
A.
B.-
C.2
D.-2
5.已知圆的渐开线(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为( )
A.π
B.3π
C.4π
D.9π
6.已知直线l的参数方程为(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与点P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1|
B.2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
7.直线(t为参数)和圆x2+y2=16相交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为( )
A.(3,-3)
B.(3,-)
C.(,-3)
D.(-,3)
8.已知经过曲线(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P与原点O的直线PO,若它的倾斜角为,则点P的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程是( )
A.(t为参数)
B.(φ为参数)
C.(t为参数)
D.(θ为参数)
10.已知直线l:(t为参数)和抛物线C:y2=2x,l与C分别交于点P1,P2,则点A(0,2)到P1,P2两点的距离之和是( )
A.4+
B.2(2+)
C.4(2+)
D.8+
11.若曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
12过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为 .?
14.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=4上的动点,记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C的参数方程为 .?
15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos
θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|= .?
16.若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α= .?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
(1)(φ为参数);
(2)(t为参数).
18.(本小题满分12分)已知直线l1的方程为(t为参数),直线l2的方程为x-y-2=0.求直线l1和直线l2的交点P的坐标及点P与点Q(2,-5)间的距离.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)若A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
21(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中
0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin
θ,C3:ρ=2cos
θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
22.(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
