第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( C )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析] 大前提是错误的，故选C．
2．三段论：①“所有的中国人都坚强不屈” ②“武汉人是中国人” ③“武汉人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( A )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②①
[解析] 大前提是“所有的中国人都坚强不屈”，小前提是“武汉人是中国人”，故选A．
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2．
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( C )
A．28
B．76
C．123
D．199
[解析] 利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123．
规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
5．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故选C．
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( C )
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab．
7．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为( A )
A．甲、丁、乙、丙
B．丁、甲、乙、丙
C．丁、乙、丙、甲
D．乙、甲、丁、丙
[解析] 因为甲、丙的阅读量之和等于乙、丁的阅读量之和，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和，所以丁的阅读量大于乙的阅读量且大于丙的阅读量，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲、丁、乙、丙．故选A．
8．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( B )
A．今天是周六
B．今天是周四
C．A车周三限行
D．C车周五限行
[解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故选B．
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是( BD )
A．25＝9＋16
B．36＝15＋21
C．49＝18＋31
D．64＝28＋36
[解析] 这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中的相邻两数之和，很容易发现15＋21＝36,28＋36＝64，只有BD正确．
10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( AC )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝e－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由函数基本性质知，AC是减函数，故选AC．
11．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是( CD )
A．S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)
B．S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)
C．2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)
D．2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)
[解析] 经验证易知AB错误，依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；
同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，综上所述，选CD．
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则下列对于f(a)＋f(b)＋f(c)的取值说法不正确的是( BCD )
A．一定大于零
B．一定等于零
C．一定小于零
D．正负都有可能
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选BCD．
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是__3__．
[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，
所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3．
故答案为3．
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝____．
[解析] 由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝．
15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是__乙__．
[解析] 由题意得，甲、丙两人说的话同真同假，又只有一人说的是假话，所以乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请，故申请人为乙．
16．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3
13＋23＝9
1＋2＋3＝6
13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10
13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝____.(n∈N
，用含有n的代数式表示)
[解析] 由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
＝[]2＝．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：≥．
[解析] 分析法：要证≥，
只需证：≥()2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
综合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥．
18．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得
tan(x＋)＝＝＝，
即tan(x＋)＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－．
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
19．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵cn＝an＋bn
(n＞2)，∴c＞a,
c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0．
∵cosC＝，
∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，
①
注意到条件：an＋bn＝cn，
于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.
②
∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，
即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，
从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn
＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，
这说明②式成立，从而①式也成立．
故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．
20．(本题满分12分)求证：在锐角三角形ABC中，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．
[解析] 因为在锐角三角形中，A＋B>，
所以A>－B，所以0＜－B＜A＜．
又因为在(0，)内，正弦函数是单调递增函数，
所以sinA>sin(－B)＝cosB，即sinA>cosB．
同理可证sinB>cosC，sinC>cosA．
把以上三式两端分别相加，得sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．
21．(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h＝.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A－BCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S，S1，S2，S3表示
)
[解析] 记该四面体A－BCD的三条侧棱长分别为a，b，c，
不妨设S1＝ab，S2＝bc，S3＝ac，
由SH＝S1c，
得H＝，
于是H＝＝
＝，
即H＝．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x．
[解析] (1)f
′(x)＝(x－1)(ex－1)，
当x＜0或x＞1时，f
′(x)＞0，当0＜x＜1时，f
′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e．
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，
则g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，则u′(x)＝ex－，
当x≥1时，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，
所以f(x)>x3－x．
PAGE第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
2．三段论：①“所有的中国人都坚强不屈” ②“武汉人是中国人” ③“武汉人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②①
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
5．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是( )
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
7．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为( )
A．甲、丁、乙、丙
B．丁、甲、乙、丙
C．丁、乙、丙、甲
D．乙、甲、丁、丙
8．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A．今天是周六
B．今天是周四
C．A车周三限行
D．C车周五限行
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是( )
A．25＝9＋16
B．36＝15＋21
C．49＝18＋31
D．64＝28＋36
10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝e－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
11．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )
A．S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)
B．S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)
C．2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)
D．2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则下列对于f(a)＋f(b)＋f(c)的取值说法不正确的是( )
A．一定大于零
B．一定等于零
C．一定小于零
D．正负都有可能
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是____．
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝____．
15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是____．
16．观察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3
13＋23＝9
1＋2＋3＝6
13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10
13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝____.(n∈N
，用含有n的代数式表示)
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：≥．
18．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋)＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
19．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
20．(本题满分12分)求证：在锐角三角形ABC中，sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．
21．(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h＝.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A－BCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S，S1，S2，S3表示
)
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x．
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