人教版数学九年级上册 第24章 24.3正多边形和圆同步测试试题（一）（Word版 含解析）

正多边形和圆同步测试试题（一）
一．选择题
1．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（　　）
A．42°
B．40°
C．36°
D．32°
2．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（　　）
A．4
B．
C．
D．
3．已知圆的内接正六边形的面积为18，则该圆的半径等于（　　）
A．3
B．2
C．
D．
4．圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（　　）
A．3
B．3
C．3
D．6
5．正六边形的周长为12，则它的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（　　）
A．60°
B．72°
C．78°
D．144°
7．如图，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
9．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）
A．108°
B．118°
C．144°
D．120°
10．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点坐标为（　　）
A．（1，﹣）
B．（﹣1，）
C．（﹣，1）
D．（，﹣1）
二．填空题
11．正八边形半径为2，则正八边形的面积为　
　．
12．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为　
　．
13．如图，正六边形ABCDEF，连接AE，CF，则＝　
　．
14．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是2cm，则这个正六边形的周长是　
　．
15．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺料，扳手张开的开口b至少为　
　mm．
三．解答题
16．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．
17．（1）解不等式组
（2）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
18．如图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．求证：AB＝AC．
19．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝　
　s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝　
　s时，四边形PBQE为矩形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为＝108°，
正六边形的内角为＝120°，
∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，
故选：A．
2．【解答】解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，
∴OH＝FH＝2，
故选：C．
3．【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB＝60°，OA＝OB＝R，
则△OAB是正三角形，
∵OC＝OAsin∠A＝R，
∴S△OAB＝ABOC＝R2，
∴正六边形的面积为6×R2＝R2＝18，
解得：R＝＝2，
故选：B．
4．【解答】解：如图，
∵圆内接正六边形边长为3，
∴AB＝3，
可得△OAB是等边三角形，圆的半径为3，
直径为3×2＝6，
故选：D．
5．【解答】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC＝12÷6＝2，
∴OB＝BC＝2，
∴BM＝BC＝1，
∴OM＝＝，
∴S△OBC＝×BC×OM＝×2×＝，
∴该六边形的面积为：×6＝6．
故选：D．
6．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：B．
7．【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AH＝AB，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3，
∴AH＝，
∴OH＝＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××3×＝．
故选：A．
8．【解答】解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：
则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，
∵DM⊥OE，
∴△ODM是等腰直角三角形，
∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，
设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，
解得：x2＝2+，
∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，
∴ON＝＝＝＝+1，
即⊙O的半径为：1+；
故选：B．
9．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
10．【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OBcos∠OBH＝×2＝，
∴B（﹣，1），
∴点B关于原点O的对称点坐标为（，﹣1）．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：连接OA，OB，作AC⊥BO于点C，
∵⊙O的半径为2，则⊙O的内接正八边形的中心角为：＝45°，
∴AC＝CO＝2，
∴S△ABO＝OBAC＝×2×2＝2，
∴S正八边形＝8S△ABO＝16，
故答案为：16．
12．【解答】解：当CP⊥BE时，PC的值最小，此时PC＝BCsin60°＝6×＝3，
故答案为3．
13．【解答】解：连接BD交CF于K．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠AFE＝120°，FA＝FE，
∴∠FAE＝30°，
∴∠BAE＝90°，同理可证∠AED＝∠BDE＝90°，
设FG＝CK＝a，则AF＝BC＝AB＝2a，
∴CF＝4a，AE＝2AG＝2a，
∴＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．
故答案为：12cm．
15．【解答】解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM＝CM，
∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，
∴sin∠AOB＝＝，
∴AM＝8×＝4（mm），
∴AC＝2AM＝8mm，
故答案为：8．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝，
∴cos30°＝＝＝，
解得：BO＝2，
即⊙O的半径为2cm．
17．【解答】解：（1）
由x≤3x+2得：x≥﹣1，
由x﹣1＜2﹣2x得：x＜1，
故原不等式的解集为：﹣1≤x＜1；
（2）∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB＝2，
则半径是2×＝，
∴⊙O的面积＝π（）2＝2π．
故答案是：2π．
18．【解答】（1）解：连接OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠O＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴BD2+AD2＝52+122＝169＝132＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC．
19．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．
②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，
∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形PBQE是矩形