3.1.2 椭圆的简单几何性质（同步练习）(WORD含解析）

3.1.2
椭圆的简单几何性质(第2课时)（练习）
(60分钟　100分)
1．(5分)若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
2.(5分)已知点(3，2)在椭圆＋＝1(m>0，n>0)上，则点(－3，3)与椭圆的位置关系是__________．
3．(5分)(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A.
B．－
C.
D．－
4．(5分)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(0，3)∪(3，＋∞)
5．(5分)若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1
B．2
C．1
D．0
6.(5分)若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为____________．
7．(5分)在椭圆＋＝1内，通过点M(1，1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．x＋4y－5＝0
B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0
D．4x－y－5＝0
8．(5分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过F点的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
9.(5分)椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为__________．
10.(5分)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝，则椭圆方程为_________________________．
11.(5分)(多选)已知直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1，则(　　)
A．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)
B．方程
＋＝1表示椭圆的条件为m>0
C．方程＋＝1表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
12．(5分)直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
13．(5分)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2
B.
C.
D.
14.(5分)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
15.(5分)过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
16.(5分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为__________．
17.(10分)已知过点A(－1，1)的直线l与椭圆＋＝1交于点B，C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
18.(10分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是线段PB的中点，求直线m的斜率．
3.1.2
椭圆的简单几何性质(第2课时)（练习）
(60分钟　100分)
1．(5分)若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
B　解析：因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<－.
2.(5分)已知点(3，2)在椭圆＋＝1(m>0，n>0)上，则点(－3，3)与椭圆的位置关系是__________．
点在椭圆外　解析：因为点(3，2)在椭圆上，所以＋＝1，所以＋>1，故点(－3，3)在椭圆外．
3．(5分)(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A.
B．－
C.
D．－
AB　解析：把y＝kx＋2代入＋＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
4．(5分)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(0，3)∪(3，＋∞)
B　解析：由　可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
所以Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.
又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3.
5．(5分)若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1
B．2
C．1
D．0
B　解析：由题意知：＞2，即＜2，
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2个．
6.(5分)若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为____________．
(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：由得＋(2x＋b)2＝1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0，
Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)<0，
解得b>或b<－.
7．(5分)在椭圆＋＝1内，通过点M(1，1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．x＋4y－5＝0
B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0
D．4x－y－5＝0
A　解析：
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,16)＋\f(y,4)＝1，①,\f(x,16)＋\f(y,4)＝1，②))
由①－②，
得＋＝0，
因为所以＝－＝－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.
8．(5分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过F点的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
D　解析：由椭圆＋＝1得
b2x2＋a2y2＝a2b2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，＝－1，
b2x＋a2y＝a2b2，①
b2x＋a2y＝a2b2.②
由①－②得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，
b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，
＝.
又直线的斜率为k＝＝，所以＝.
因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以＝，
解得a2＝18，b2＝9.
故椭圆方程为＋＝1.
9.(5分)椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为__________．
　解析：联立
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
所以弦长|MN|＝|x1－x2|＝
＝＝.
10.(5分)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝，则椭圆方程为_________________________．
＋＝1　解析：因为e＝，所以b2＝a2，
所以椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
将椭圆方程与x＋2y＋8＝0联立，消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0.
由Δ>0，得a2>32，
由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a2)]，
所以a2＝36，b2＝9，
所以椭圆方程为＋＝1.
11.(5分)(多选)已知直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1，则(　　)
A．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)
B．方程
＋＝1表示椭圆的条件为m>0
C．方程＋＝1表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
AD　解析：由于直线y＝kx＋1可以化为y－1＝k(x－0)，恒过点(0，1)，故A正确；而方程
＋＝1表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确．
12．(5分)直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线方程y＝x＋1代入椭圆方程＋＝1中，得x2＋2(x＋1)2＝4，即3x2＋4x－2＝0，则x1＋x2＝－，故中点横坐标x＝－，代入直线方程中，得y＝，则弦的中点坐标是.
13．(5分)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2
B.
C.
D.
C　解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t.
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·.
当t＝0时，|AB|max＝.
14.(5分)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
2　解析：根据题意设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0.因为椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，所以b2＝3，
长轴长为2＝2.
15.(5分)过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
　解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得交点坐标．
不妨令A(0，－2)，B，所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
16.(5分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为__________．
　解析：因为椭圆＋＝1的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，
所以
解得a＝2，b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，
所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,12)＋\f(y,3)＝1，　①,\f(x,12)＋\f(y,3)＝1，　②))
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以－(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
所以直线l的斜率k＝＝.
17.(10分)已知过点A(－1，1)的直线l与椭圆＋＝1交于点B，C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
解：设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，
弦BC中点M(x，y)，则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,8)＋\f(y,4)＝1，①,\f(x,8)＋\f(y,4)＝1，②))
①－②，得eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8)－\f(x,8)))＋eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)－\f(y,4)))＝0，
所以(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③
当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，
所以③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.
所以2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.
当x1＝x2时，因为点M(x，y)是线段BC中点，所以x＝－1，y＝0，显然适合上式．
综上所述，所求弦BC中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.
18.(10分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是线段PB的中点，求直线m的斜率．
解：(1)点M(x，y)到直线x＝4的距离是到点N(1，0)的距离的2倍，则
|x－4|＝2，化简整理得＋＝1.
所以动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件2x1＝0＋x2，2y1＝3＋y2.
椭圆的上、下顶点坐标分别是(0，)和(0，－)．
经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．
设直线m的方程为y＝kx＋3.联立椭圆和直线方程整理得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝.
＋＝＋2?＝?＝?k＝±.
所以直线m的斜率为k＝±.
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