3.2.2 双曲线的简单几何性质(第1课时)（同步练习）(word含解析）

3.2.2
双曲线的简单几何性质(第1课时)（练习）
(60分钟　110分)
1．(5分)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
2．(5分)已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　)
A．16
B．8
C．2
D．1
3．(5分)若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
5．(5分)(多选)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．(5分)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
7.(5分)与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是________．
8．(5分)双曲线方程为－y2＝1，其中a>0，双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
9．(5分)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A.
B．2
C.
D.
10.(5分)已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______________．
11.(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
12．(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
13．(5分)(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)
A．对任意的a，b，e1B．当a>b时，e1C．对任意的a，b，e1>e2
D．当ae2
14．(5分)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C．2
D.
15.(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________.
16.(5分)双曲线－＝1上一点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离为________．
17.(5分)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
18.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
19.(10分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
20.(10分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
3.2.2
双曲线的简单几何性质(第1课时)（练习）
(60分钟　110分)
1．(5分)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
C
2．(5分)已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　)
A．16
B．8
C．2
D．1
C　解析：由题意＝，得m＝1，所以虚轴长为2.
3．(5分)若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
D　解析：若00，16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理，方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．故选D.
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
y＝±x　解析：由已知得32－＝1，解得b＝或b＝－.因为b>0，所以b＝.因为a＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．(5分)(多选)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
CD　解析：当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.
6．(5分)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
C　解析：因为双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝.因为＝6，所以c＝10.
因为c2＝a2＋b2，所以a2＝64，b2＝36，
所以双曲线方程为－＝1.
7.(5分)与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是________．
－＝1　解析：设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
因为所求双曲线经过点(3，－3)，所以－＝λ，所以λ＝，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
8．(5分)双曲线方程为－y2＝1，其中a>0，双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：根据题意，可以求得双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，而圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，结合题意有＝1，结合a>0的条件，求得a＝，所以c＝＝2，所以有e＝＝.
9．(5分)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A.
B．2
C.
D.
C　解析：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由可得P.由F1(－c，0)及|PF1|＝|OP|，得＝×，化简可得3a2＝c2，即e＝.
10.(5分)已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______________．
(4，＋∞)　解析：因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2.所以m>4.
11.(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
D　解析：双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝＝2，2＝?＝3，＝.故渐近线方程为y＝±x＝±x.
12．(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
B　解析：由y＝x，可得＝　①，由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9.②.
由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为－＝1.
13．(5分)(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)
A．对任意的a，b，e1B．当a>b时，e1C．对任意的a，b，e1>e2
D．当ae2
BD　解析：e1＝，e2＝
.不妨令e10)，得bma时，有>，即e1>e2；当b14．(5分)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C．2
D.
A　解析：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴．
又因为|PQ|＝|OF|＝c，所以|PA|＝，所以PA为以OF为直径的圆的半径，所以|OA|＝，所以P.
又P点在圆x2＋y2＝a2上，所以＋＝a2，即＝a2，所以e2＝＝2，所以e＝.
15.(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________.
1　2　解析：由2x＋y＝0，得y＝－2x，
所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
16.(5分)双曲线－＝1上一点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离为________．
7或23　解析：由双曲线－＝1知2a＝8.
设F1(5，0)，F2(－5，0)是两个焦点，
因为点A在双曲线上，所以||AF1|－|AF2||＝8.
因为点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离是15＋8＝23或15－8＝7.
17.(5分)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
x±y＝0　解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
18.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
　解析：设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，FB⊥AB，则|AF|2＝|AB|2＋|BF|2.
因为|AF|2＝(a＋c)2，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2，所以c2－a2－ac＝0.
因为e＝，所以e2－e－1＝0.因为e>1，所以e＝.
19.(10分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以焦点坐标F1(－5，0)，F2(5，0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，
cos
∠F1PF2＝
＝
＝＝0，则∠F1PF2＝90°.
20.(10分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
则
解得a＝7，m＝3，则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝＝.
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