3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)（同步练习）（word含解析）

3.2.2
双曲线的简单几何性质(第2课时)（练习）
(60分钟　100分)
1．(5分)“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(5分)(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
3．(5分)已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的l共有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
4.(5分)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
5．(5分)直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1，2)
B．(－2，－1)
C．(－1，－2)
D．(2，1)
6.(5分)过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
7.(5分)过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有________条．
8.(5分)过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|＝________.
9.(5分)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若A，B的中点坐标为，则l的方程为(　　)
A．4x＋y－1＝0
B．2x＋y＝0
C．2x＋8y＋7＝0
D．x＋4y＋3＝0
10．(5分)以双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3，1)，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1
B．y2－＝1
C.－x2＝1
D．x2－＝1
11．(5分)设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　)
A．k2－e2>1
B．k2－e2<1
C．e2－k2>1
D．e2－k2<1
12．(5分)(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
13.(5分)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
14.(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
15.(5分)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
16.(5分)已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－＝________.
17.(10分)已知点A(0，1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
18.(10分)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
3.2.2
双曲线的简单几何性质(第2课时)（练习）
(60分钟　100分)
1．(5分)“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
2．(5分)(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
AD　解析：由得(1－m2)x2－2mx－2＝0.
由题意知1－m2＝0，或解得－≤m≤.
3．(5分)已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的l共有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
B　解析：因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．故选B.
4.(5分)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
　解析：由
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
由题意，得
解得－5．(5分)直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1，2)
B．(－2，－1)
C．(－1，－2)
D．(2，1)
C　解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0.由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，所以y1＋y2＝(x1＋x2)－2＝－4，故弦的中点的纵坐标为－2，所以弦的中点坐标是(－1，－2)．
6.(5分)过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
3x＋4y－5＝0　解析：易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，所以－＝6，所以k＝－，所以所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
7.(5分)过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有________条．
1　解析：依题意得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直于x轴的直线是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.当直线不垂直x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条．
8.(5分)过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|＝________.
　解析：由双曲线的方程得a＝，b＝，
所以c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得5x2＋6x－27＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以AB＝|x1－x2|＝·＝·＝.
9.(5分)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若A，B的中点坐标为，则l的方程为(　　)
A．4x＋y－1＝0
B．2x＋y＝0
C．2x＋8y＋7＝0
D．x＋4y＋3＝0
C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq
\f(x,4)－eq
\f(y,2)＝1，eq
\f(x,4)－eq
\f(y,2)＝1，
所以eq
\f(x－x,4)－eq
\f(y－y,2)＝0.所以－kl·＝0.
所以－kl·＝0.所以kl＝－，
所以l：y－(－1)＝－，整理得2x＋8y＋7＝0.
10．(5分)以双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3，1)，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1
B．y2－＝1
C.－x2＝1
D．x2－＝1
B　解析：由题意设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq
\f(y,a2)－eq
\f(x,b2)＝1且eq
\f(y,a2)－eq
\f(x,b2)＝1，则＝，即＝，则＝＝＝1，即b2＝3a2，则c2＝4a2＝4，所以a2＝1，b2＝3，
即该双曲线的方程为y2－＝1.
11．(5分)设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　)
A．k2－e2>1
B．k2－e2<1
C．e2－k2>1
D．e2－k2<1
C　解析：直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－1.
12．(5分)(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
AC　解析：设双曲线的标准方程为－＝1，由题意＝，所以＝，即a2＝3b2，所以双曲线化为－＝1.
又点(3，)在双曲线上，
所以－＝1，所以b2＝1，a2＝3.
所以双曲线方程为－y2＝1.
同理可得，当焦点在y轴上时，双曲线方程不存在，故A正确．
双曲线的离心率e＝＝＝，B错．双曲线焦点(2，0)恰在曲线y＝ex－2－1上，C正确．
联立消去x得y2－2y＋2＝0.
因为Δ＝0，故D不正确．
13.(5分)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
4　解析：右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x.将x＝2代入渐近线方程得y＝±2.所以A(2，2)，B(2，－2)．所以|AB|＝4.
14.(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
[2，＋∞)　解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，
所以e2＝≥4，
所以e≥2.
15.(5分)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
10　解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2.由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|.当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
16.(5分)已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－＝________.
2　解析：将y＝1－x代入
－＝1，
得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1，
所以－＋1＝0，
即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，
即b－a＝2ab，
所以－＝2.
17.(10分)已知点A(0，1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
解：(1)设P(x，y)，则|PA|＝
＝
＝，当y＝时，|PA|最小，
故所求点P的坐标为.
(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l与双曲线方程联立得(1－2k2)x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16(1－k2)>0且<0，即k2<.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝＝，
S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2，
解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，
所以l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
18.(10分)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
解：(1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(
)
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1故k的取值范围是{k|1(2)由(
)得x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝.
又1所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m，8m)．
因为点C是双曲线上一点，
所以80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
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