3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
双曲线的简单几何性质
o
y
x
F1
F2
A1
A2
B2
B1
复习1
椭圆的图像与性质
标准方程
范围
对称性
顶点
离心率
对称轴：坐标轴
对称中心：原点(椭圆的中心)
A1,A2,B1,B2长轴，短轴
(-c,0)
(c,0)
(-a,0)
(a,0)
(0,-b)
(0,b)
根据的
性质说出
的性质
图
形
范围
顶点
对称性
方程
A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b)
关于x、y轴对称，关于原点对称
|x|≤a
;
|y|≤b
|x|≤b
;
|y|≤a
A1(0,-a)、A2(0,a)、B1(-b,0)、B2(b,0)
关于x、y轴对称，关于原点对称
y
x
o
F
1
F
2
y
x
o
F
1
F
2
A2
A1
B1
B2
A1
A2
B!
B2
离心率
形式一：
（焦点在x轴上，（-c，0）、
（c，0））
形式二：
（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））
其中
复习2
双曲线的标准方程
类比椭圆几何性质的研究方法，我
们根据双曲线的标准方程
得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？
问题1：
2、对称性
一、研究双曲线
的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
课堂探究
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段
叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段
叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
M(x,y)
4、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
（3）
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
结论：
双曲线方程
中，把1改为0，得
（记忆双曲线的渐进线方程的方法）
例如：
5、离心率
离心率。
c>a>0
e
>1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
等轴双曲线的离心率e=
?
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程：
双曲线性质：
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
4.渐近线方程：
5.离心率：
y≥a或y≤-a
关于坐标轴和原点对称
A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
例1
求双曲线
9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
解：把方程化为标准方程
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
标准方程
实半轴长
虚半轴长
顶点坐标
焦点坐标
离心率
渐近线
2
2
(0,±2)
的渐近线方程为:
的渐近线方程为：
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为
,那么双曲线的方程为
当λ
>0时,
当λ
<0时,
当λ
=0时,
,这里λ是待定系数
共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
双曲线焦点在x轴上
双曲线焦点在y轴上
即为双曲线的渐近线方程
1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
2）如何确定双曲线的共轭双曲线？
将1变为-1
例:求下列双曲线的标准方程：
例题讲解
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为
,
法二：设双曲线方程为
∴
双曲线方程为
∴
,
解之得k=4,
1、“共渐近线”的双曲线的应用
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
椭
圆
双曲线
方程
ａ、b、c
关系
图象
y
x
F1
0
F2
M
x
y
0
F1
F2
p
小
结
渐近线
离心率
顶点
对称性
范围
准线
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
　（-a,0)
(a,0)
　(0,b)
(0,-b)
长轴：2a
短轴：2b
(-a,0)
(a,0)
实轴：2a
虚轴：2b
无
小
结
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
A1,A2
标准方程
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
解：
.
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线
的距离的比是常数
，求点M的轨迹。
y
.
.
F
F
’
O
M
.
双曲线的第二定义：
根据双曲线的对称性，
双曲线的第一定义：
直线与双曲线的位置关系
①Δ＞0
直线和双曲线相交
直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0
直线和双曲线相切
直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0
直线和双曲线相离
直线和双曲线相离，无公共点．
一个
两个
一个
没有
1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k的取值范围．
1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，
则k的值为________．
例6：如图所示，过双曲线
的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
F1
F2
x
y
O
A
B
法一:设直线AB的方程为
与双曲线方程联立得A、B的坐标为
由两点间的距离公式得|AB|=
例6：如图所示，过双曲线
的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
F1
F2
x
y
O
A
B
法二:设直线AB的方程为
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0
由两点间的距离公式得
设A、B的坐标为(x1,y1)
、(x2,y2),则
2．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B两
点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
P126
练习1
已知A、B两点的坐标分别是（-6,0）（6,0），直线AM，BM相交于点M,且它们的
斜率之积是2/9，求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状。
求双曲线的离心率？